Лекции по гидроаэромеханике, страница 6

Записывая условие коллинеарности элемента вихревой линии иг и вектора Й, получаем дифференциальные уравнения вихревой линии !1х ау ~УЗ 1~х 1~!! 1~я Если взять кривую АВ, не являющуюся вихревой линией, и через каждую ее точку провести вихревую линию, то получим вихревую поверхность. Вихревые линии, проведенные через точки замкнутого контура, образуют вихревую трубку. Если замкнутый контур малый (бесконечно малый), то вихревую трубку называют элементарной трубкой, или вихревой нитью. в 13.

ЦИРКУЛЯЦИЯ СКОРОСТИ Возьмем в жидкости некоторую кривую 1. Пусть 1! — ско. рость частиц жидкости в точках этой кривой, о! — проекция 1! на касательную к ней. Циркуляцией скорости по некоторой кривой АВ называется вычисленный вдоль этой кривой интеграл !в гв Г= ~ о!И= ~ асов(1!, и'г) й, А А где иг — вектор перемещения вдоль кривой ~с~г~ = Н. Так как о сов(1!, !1г) й= 1! ° иг, то выражение для Г часто записывается в виде гв гв Г = ~ 1! ° с~г = ~ о„с~х + о„с~у + о, с~г. Если контур замкнутый (точки А и В совпадают), то исполь- зуют такую запись: Г = 1! и'г. ! Направление обхода должно быть указано. 33 2 зак, 1031 Теорема Стокса устанавливает связь между криволинейным интегралом по замкнутой кривой и интегралом по поверхности, ограниченной этой кривой.

Применяя теорему Стокса к циркуляции Г, получаем $т Не=11(го!т и)ш5=11зз„ззо. ! 3 3 Интеграл ~~ (О и) ШБ = ~ ~ аз„ШЯ называют питонов вихря через поверхность 5. э 14. СКОРОСТЬ ОБЪЕМНОГО РАСШИРЕНИЯ ЖИДКОСТИ Рассмотрим в момент 1 некоторую массу жидкости в объеме т, ограниченном поверхностью 5.

В момент 1+ Л1 та же масса жидкости будет занимать объем т', ограниченный поверхностью 5'. Скоростью объемного расширения жидкости в данной точке называется предел 1=1пп (14.1) 1.+О Л~-р О l Величина есть относительное приРис. 4. тИ ращение объема в единицу времени. Вычислим величину 1, определяемую формулой (14.1). Имеем т' — т=11~шт — 111зй=111 шт. (142з (14.3) сИ = йз Ьп = сБ ° о„° Л1, где Ьп — расстояние по нормали между поверхностью 5 и поверхностью 5', в которую перешли точки поверхности 5 за время Л1; о„ вЂ” проекция скорости точек поверхности 5 на внешнюю нормаль к ней. Теперь т' — т можем записать в виде от = Л~ о„ЫЯ.

Отсюда (14.4) 34 Так как Л1 мало, то объем т' — т представляет собой тонкий слой между поверхностями 5 и 5'. Тогда элемент объема с1т можно взять в виде (рис. 4) Разделим обе части на М и ст е мы получим к нулю. При этом А' (П вЂ” —,-, с(т+ А~ с(~ Я (15.5) Как обычно, преоб аз ем . пове бъем поверхности к интегралу , у в, сов (и, г)] сЮ = = Ц[[ —,'„(Л..(+ —,', (Л.„(+ — '(Л.

( ( Та аким образом ,у Ггг у Ггг , для производи й ои пол 'чим — л 111 т= и — учим выражение = [[[[ —, + — „. (Л~„(+ — Л ( „(+ (Лг,(] Шт. (15.6( Подынтегральное вы а ое выражение можно у, р крывая произво н преобразовать к дА + д д одные от произведен~ ": енин: к другому — — (Ао„) + — (Ао ) +— х " ду " д дА дА — — + о —. + ~ дхУд+ у хднф (15.7) 2. .

Вычисление в рим объем т выделенной ма агранжа. наты частиц э того объема можно за , с, ), у = у (а, Ь, с, 1), г = г а, ц г е,, — координаты э товы координа1ы сов дали момент врем енп о . ), оторый нужно д е . ) о дифференцировать, пе еГ- г анжа. огда Соответственно дх д + д, —— ,~~ +АС11чч. нно равенство (15.6) примет вид — А сИ= — „+ А йчч сИ. т в различных Н нтеграл есть ресовать величина унк .ция времени ни = (((), ~И д д,=т А (15.2) 1Ц ' При малых Л( т х ( можем за писать А Ыт+ А'~(т, с'-~ лх=х' — х=11~~л' — А>а +11~А'а Подынтегральная т с' — ~ ему т, но А вь б ем, вычисляется в дка точностью в момент ( до малых ,аА'— ~х олее го (15.3) дА высоко читывая это, приходим к р к равенству Л(=~( — „' + А' ' Преобразуем вто о т'-т 4 ое в (15.4 Элемент ат так, как это объема т' — т это уже де— огда — т выберем в виде Ыт = й5Ьп А' а'т = Ж А'о„а'5.

Равенство (15. ) р ь .4 м ожно теперь рь записать в виде д~ т+ ~л (15.4) К Получим вы а выражение для п ременных Л а Й вЂ” в п 1. В х Лагранжа. — переменных Э"- ычисле — в ние — в п ых йлизких момента зо Х=~~~лат, Х = А' 36 — А а'т= — „+ А Йчч Ит. (15.7) 2. Вычисление — в ие — „, в переменных Рассмотрим объем т вы ~х Лагранжа.

Коо и ъем т выделенной массы жи рдинаты частиц этого объ идкости в момент 1. о ъема можно записать в , с,, у=у(а, Ь, с, 1), г=г(а, Ь, с г,, — рдинаты этих части в г ан рем рдинаты совпа а д ли с координатами Л , который н жно о ъем то. дем от переменных х у дифференцировать х, у, г к переменным Л ь, переиагранжа. Тогда п(а ь ) ЫаЫЬдс (15.8) З7 Р азделим обе част асти на Л1 р "д т в А, и мы получим к нулю. При этом А' — — д~ + А о'„д5, (15. 5) 3 Как обычно, преобраз ем и разуем нтеграл по по ер.

хности к интегралу 11Ло„д5=11Л~и гог, г и, ~ о ц 0~ соз (п1 х) + Оу соз (п~ 1) + 0 о сов, д и у о сов(п г)1д5= =~~~( —,' ~л.„)+ —,' ~л.„)++(л.,)1а.. Таким об азом р м, для производной — пол ' й — „получим выраже ние — ( к)+ ( ~~)+ ( — и„— (А о,) ат, (15.6) П одынтегральное вы аж вид а у, раскрывая производ ~ражение можно п еоб р о разовать к другом дА д дные от произведени"; д ~и: ому — +, (Ао,)+ (Ао)+,А, дА дА = — + ΄— '+.„— + дц ~дг до~ до~ дА дО~ Соответственно равенство (15.6) примет вид Но в этом случае объем интег и ов вр -р р ва я,о дл ля всех интегра ча Таким б ом ~11 д аю аю А ат аг А а ИЬ И 'Сэ \ э с Сделаем переход в правой к переменным х, у г части авенс р тва от переменных Ь , учитывая при этом, , что а, 0(а, 0, с) Г0(х, у, ~) 0(х, у, г) ~0(а, 6 Тогда ~олу~им д ) дА+ д 0(х, у г)1 — — — п ' ', ~Н.

(15.9) ГЛАВА 11 ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МАСС Одним из основных законов механики является закон сохранения масс. Это физический закон, справедливый для движений, происходящих со скоростями, незначительными по сравнению со скоростью света. В этой главе будут получены различные математические формы записи этого закона. 5 1. ИНТЕГРАЛ ЬНАЯ ЗА П ИСЬ ЗАКОНА СОХРАНЕН ИЯ МАСС М=М'. (1.1) По определению плотности р масса в объеме дт равна дт = = рот.

Масса в объемах т и т' соответственно будет М= рот, М'= р'дт. (1.2) Закон сохранения массы примет вид рот = р'дт, (1.3) или — р дт=О. (1.4) Предположим, что в пространстве, заполненном движущейся жидкостью, имеются пространственно-распределенные источники. Пусть в объем дт в течение промежутка времени й за счет источников поступает масса жидкости Ыт = ддтй. Здесь д имеет смысл поступающей за счет источников массы жидкости, отнесенной к единице объема и единице времени.

Поэтому величину д можно назвать плотностью источников. Масса жидкости, которая в момент 1 находилась в объеме т, будет изменяться во время движения. За время й она получит 39 Рассмотрим в момент времени 1 некоторый объем жидкости т, ограниченный поверхностью 5. Обозначим через М массу жидкости в этом объеме. Частицы жидкости, находившиеся в момент 1 в объеме т, перемещаясь, заполнят в момент 1' объем т' с массой М'.

Предположим, что в процессе движения жидкости нет ни возникновения, ни исчезновения массы; тогда закон сохранения массы запишется в виде приращение Лт = Й д о приращение массы б удет равно ' =5,'[555 ")" Теперь м ожем записать (1.5) (1.6) (1.7) (1.9) ф 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ЬНАЯ ЗАПИСЬ (УРАВНЕНИЕ В ПЕР ЗАКОНА СОХР Е НЕРАЗРЫВНОС РЕМЕННЫХ ЭЙЛ ЕРА АН ЕН ИЯ МАСС Исходим из записи з СТИ В ПЕРЕМЕН НЫХ ЭИЛЕРА) (1 9) Д олнения диф ля вып ения масс енной ан еренци для конечно А=р: р ее формулой 15 б го . ) гл. 1 п оль- И (, положив в ней ~~~др д д х " ду " дг 5 .9), и олучи м в 1.9 р + д д д 5[ае —,(Ро„)+ — ( ) — аа Рпи + а (РО,) — Ч]Не=О. (2. (2.2) 40 М'=М+ ЛМ.

Поаетавляя (1.2) а (1.5) в 1. ( .6), получаем Рдт+ Цдка Й = р'Дт. Равенство (1.7)— '$ п ространственно. ) — запись зак -расппе она сохран н р де енных ст е ия масс онечного промеж очников для при наличи ии Д ля конечного малог тегральную запи 1.7 ого промежут тка времени. ись закона (1,7 ( . ) можно запи для б исать в виде П ы~н)л(нк~ 1' = им = 1+Ы.

. Тогда р'дт — рот=И Одт. 1. Поделив (1.8) на (1.8) на Ы и устремив Ы к н л к нулю, получим н Равенство (1.9) — сь ного бы~ — запись ст для данного м ранения масс ремени для конечспред л нных сто точников. ии про- Равенство (2.2) имеет место для любого объема т. Это возможно только в том случае, когда подынтегральная функция равна нулю. Таким образом, из (2.2) следует, что ,~~ + дх (Р х) + ду (Р у) + дх (Р~~) — Ч.