Лекции по гидроаэромеханике, страница 4

Если имеем некоторый тензор С=~~с;,, ~ ~~ ранга п и скаляр а, то совокупность величин ~)ас~, ~ (! определяет новый тензор ранга п, который называется произведением исходного тензора С на скаляр а: аС = а )~ с с, с, ...; ~( = )! асс,;, Умножение тензоров. Если имеем два тензора: тензор А ранга т и тензор В ранга и: то, умножая каждую компоненту первого тензора на каждую компоненту второго тензора, получаем совокупность величин, которые образуют новый тензор С ранга т+ и: С= АВ=()а;,~ ..; Ьу,; ... у (.

Тензор С называется произведением (тензорным) тензоров А и В. В том, что совокупность величин а;,;,; Ь; ~, ... ~ действительно образует тензор ранга т+ п, легко убедиться, применяя фор мулы (7.15) . Дифференрирование тензора. Пусть компоненты тензора ранга п являются функциями координат хь х~, хз. Тогда совокупность первых частных производных от компонент тензора по координатам определяет тензор ранга п+ 1, т. е. при дифференцировании по координатам ранг тензора повышается на единицу.

Свертывание тензоров (сокращение индексов). Пусть имеем некоторый тензор ранга и: а = а~ ~ ..; ~~. Выберем у компонент этого тензора два каких-либо индекса Ь и ~', выберем из всех компонент тензора такие, у которых эти два индекса одинаковы: 21 = 1 (1 = 1, 2, 3), и, наконец, просуммируем выбранные компоненты по общему индексу 1. Тогда величины ~3 11 "' '» — ~'»+1 ''' 'т — ~'т+~ '' 'П ~!=1 11 ''' 1» — 1Н»+1 ''' 'т-111т+1" 1П образуют тензор С ранга и — 2, который называется сверткой исходного тензора по индексам 1» и 1' . Представление тензора в виде суммы симметричного и анти- симметричного тензоров.

Тензор второго ранга называется симметричным, если его компоненты не изменяются при перестановке индексов С1»=с»о Тензор второго ранга называется антисимметричным, если его компоненты меняют знак при перестановке индексов, т. е. сг» = — с»ь Общий внд антисимметричного тен- зора О, а, Ь вЂ” а, О, с — Ь, — с, О При преобразовании координат свойства симметричности и анти- симметричности сохраняются. Покажем, что каждый тензор второго ранга ~~ с;» ~~ может быть представлен в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров. Пусть дан тензор С = ~~ с;» ~~.

Образуем новый тензор С* = ~~ с»; ~~ и построим тензор, равный полусумме тензоров С и С*: 1 (С13+ С31) 1 (С23 + С32) 1 — (С12+ с,1) сп 1 — (С21 + С12) 1 (С31 + С13) 5= 1 (С+С) = С22 1 (С32 + С23) СЗЗ Тензор 5 симметричен. Положим Р = С вЂ” 5. Компоненты тензора Р будут иметь вид 1 Р1»= 2 (с㻠— с»1) ° Очевидно, что Р1» = — Р»ь Ри = О, т. е. тензор Р антисимметричен. Таким образом, 22 Тензор 5 называют симметричной, а тензор Р— антисимметричной частями тензора С.

Приведем некоторые примеры. 1. Рассмотрим скаляр 1р(хь х,, хз) (тензор нулевого ранга). Совокупность производных первого порядка по координатам д~р д~р д~р д~р дх дх ' дх, ' дх, определяет некоторый вектор А (тензор первого ранга). Этот вектор А называется градиентом функции 1р д1Р . д(Р . д1Р А = агап Ч=11 +!г + 13 дх1 дхг дхг ' 2.

Рассмотрим тензор второго ранга, образованный из векторов а и Ь,— диаду (( с )!=!( а,.Ь (!. Образуем свертку. Для нее имеем з з Х' 11 Х. 1 1 1 1+ 2 2+ 3 3' Таким образом, свертка есть скаляр (тензор нулевого ранга), известный как скалярное произведение а Ь 3. Рассмотрим тензор второго ранга С = ~~с~~~! и единичный тензор второго ранга ( = 1~б, ~1.

Умножая каждую компоненту тензора С на каждую компоненту тензора (, получаем тензор четвертого ранга В=))В,. „(!=)!с 6 Можно произвести свертывание этого тензора по значкам 1 и т либо по й и и. При этом придем либо к исходному тензору, либо к тензору с переставлен- ными строками и столбцами. 5. П се в доте из о р ы. Обозначим через Л определитель, образованный из направляющих косинусов преобразования осей х1, х2, хз В оси х1, х, х . Известно, что С~11 С~12 С~13 П21 О22 С~23 ПЗ! П32 ПЗЗ Причем Л = 1, если правая (левая) система координат преобразуется в правую (левую), и Л = — 1, если правая (левая) система координат преобразуется в левую (правую).

Введем теперь понятие псевдотензора. Если для каждой прямолинейной ортогональной системы координат х1, х2, хз имеется совокупность 3" величин '1 г " 'и преобразующихся по формулам 1 г " 1 ~ ~ ° .. ~ П11лг1 с'1ллг ~лг1'" ~ли т, щи / в величины 11,1, ... 1, отвечающие другой системе координат х'„ х', х,', то совокупность этих величин определяет новую величину (7.17) которая называется аффинным ортогональным псевдотензором ранга и. Из формулы (7.16) видно, что когда рассматривается преобРазование пРавой системы координат в левую (или наоборот), то Л = — 1 и компоненты псевдотензора меняют знаки на обРатные по сравнению с компонентами тензора.

Если же при 23 преобразовании правая (левая) система координат переходит в правую (левую), то различия в формулах преобразования тензоров и псевдотензоров нет (Л=1). Поэтому когда в рассмотрении имеют дело только с правой системой координат, псевдотензоры часто называют просто тензорами. Приведем примеры псевдотензоров. 1. Векторное произведение векторов а и Ь меняет знак на обратный прп переходе от правой системы к левой (н наоборот), т. е.

с = а)( Ь вЂ” псевдотензор первого ранга 1псевдовектор). 2. Угловая скорость вращения твердого тела является псевдовектором, 3. Псевдотензор Леви — Чнвита — псевдотензор третьего ранга Р =- = ~~дд~„~|, антисимметричный по всем парам индексов и удовлетворяющий условию д1зз = 1 в какой-либо правой системе координат. Все его компоненты, имеющие два одинаковых индекса, равны нулю, и тензор имеет только шесть компонент, у которых все три индекса различны.

Составляющие с~и~(1ФФФ1) принимают значение, равное единице, если 1, Ь, 1 — четная перестановка тройки 11, 2, 3), и равное — 1, если 1, К 1 — перестановка нечетная. Таким обра. зом, с~|зз = г1зз ~ = с~з и = 1, с~из = с~з ~з = с~зз ~ = — 1 Во всех правых системах координат псевдотензор Леви — Чивита имеет один и тот же вид. 6. Умножение псевдотензоров и тензоров.

Произведение псевдотензора на псевдотензор является тензором (так как Л' = 1). Если А и  — псевдотензоры рангов т и и, то А  — тензор ранга т + и. Произведение тензора на псевдотензор является псевдотензором. Если А — тензор ранга т,  — псевдотензор ранга и, то А  — псевдотензор ранга т+ и. Рассмотрим примеры. 1. Возьмем псевдотензор Леви — Чивита Р = )|А~ ~) и тензор второго ранга, образованный из векторов а и Ь (диаду): С = ~! срч ~! = 11 а,Ьч ~!. Перемножив псевдотензор Р на тензор С, получим псевдотензор пятого ранга т = 1! 1дп.а,Ь,11. Выполним два раза операцию свертывания по индексам 1 и р и индексам т и д. При двухкратном свертывании ранг псевдотензора понизится на четыре и получим псевдотензор первого ранга (псевдовектор К). Положим 1 = р = 1, т = д = 1.

Тогда И =~, ~ г1,,а,.Ь (1=1, 2, 3). Используя значения с4;1, получаем И, = г1та,Ьз + г11з,азЬ, = а,Ьз — а,Ь,, Из = азЬ~ — а~Ьз, 1сз —— а~Ь, — азЬь Из выражений для проекций видно, что К = а Х Ь, т. е. К вЂ” векторное произведение векторов а и Ь. 2. Если псевдотензор Леви — с1ивита Р умножить на тензор второго да ранга где а~ — составляющие вектора а, то получим псевдотензор пядх, 24 до~ того ранга. Если этот тензор ~~~„, ~ свернуть два раза по нндексам ~' н дх л н индексам Ф н т, то получим псевдотензор первого ранга.

Это будет го1 а. 7. П р и м е ч а н и е. В теории аффинных ортогональных тензоров использовались прямолинейные ортогональные координаты и их преобразование опять в прямолинейные ортогональные координаты. Эти линейные ортогональные преобразования определялись таблицей направляющих косинусов. Можно рассматривать и неортогональные линейные преобразования. Пусть преобразование координат определяется формулой Тогда для инвариантной функции гр(г) получим др ~з др дх, ~ з др дх~ ~~-1 дх~ дх, ~й=~ дх~ Вообще говоря, матрицы д,д и д', не обязательно совпадают (совпадение имеет место для ортогональных преобразований), поэтому законы преобразования компонент градиента скалярной функции и компонент вектора г различны.

В связи с этим в общей теории тензоров оказывается необходимым различать два вида векторов и тензоров — контравариантные и ковариантные. Не приводя полного определения, дадим часто употребляемое. Говорят, что контравариантный вектор — это такой вектор, компоненты которого А; преобразуются при переходе к другой системе координат, как компоненты вектора г. Аналогично величины А; определяют ковариантный вектор, если прй переходе от одной системы координат к другой эти компоненты преобразуются как компоненты градиента функции, т. е. как частные производные по координатам.

Для аффинных ортогональных векторов понятия ковариантного и контравариантного векторов являются совпадающими. В общей теории тензоров рассматриваются не только неортогональные, но и нелинейные преобразования координат. $ 8. СКОРОСТИ И ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ТОЧЕК БЕСКОНЕЧНО МАЛОГО ОБЪЕМА СПЛОШНОИ СРЕДЫ Пусть в пространстве, связанном с системой координат х, у, г, движется жидкость. Рассмотрим некоторую малую частицу жидкости с объемом т в момент времени 1. Выберем в этом объеме некоторую точку А и примем ее за полюс (рис. 1). Обозначим ее радиус-вектор через гв. Выберем в этом же объеме другую точку В и обозначим ее радиус-вектор через г.

Относительный радиус-вектор АВ обозначим через р, его проекции— 25 через $, 11, ~. Если координаты точки А обозначить через х, у, г, то координаты точки В будут х+ с, у+ 11, г+ ~. Рассмотрим ту же массу жидкости в момент 1+ Л. Точки А и В займут новое положение А' и В'. Радиус-векторы, соответствуюшие новому положению точек, обозначим через г', г„', р' Очевидно, что 1 =г — г,, р'=г' — г,'. (8.1) Вектор Ыр = р' — р с проекциями Ы$, Ыт), Ы~ характеризует изменение относительного положения точки В по отношению к точке А за время Ж.