Лекции по гидроаэромеханике, страница 8

(4.16) в) Сферические координаты (г, О, Л). В этом случае Ж =г> Чг=О> Чз=Л' и(= и>> пг= па> пз= пг.» х=гз1пОсозЛ, у=гяпОз1пЛ, я=гсозЛ. Коэффициенты Ламе Н, = Н,=1, Н,= На= г, Н,= Нг„—— гз1пО, Уравнение (4.14) в сферических координатах примет вид г япΠ— + — (ро,г япО)+ (роагяпО) + + — (розог) = дгг я'пО. дА (4.17 Обратимся к обшему уравнению (4.14). Будем дифференци. ровать произведения, отделяя множители, содержашив Р, и раз.

делим затем все члены на Н( Нг.Нз. Получим др ~»( др ~2 др 0з др д1 Н( д(~( Нг ддг Нз джаз + >> >> >> (~ (>>>Н>Н>( -(- (>>Н>Н>( + — (>>>Н~Н>~)= д д д (4. 18 Рассмотрим первые четыре слагаемых и учтем при этом (4.3) др з о др др з др др с-~з др Ив,.

Ир = — + ~ — — ' = —. (4.19 д~ ~;-(дз,. Ж Ж ' Связь между цилиндрическими и декартовыми координатами имеет вид Подставляя (4.19) в (4.18), получим уравнение неразрывности в виде (4.20) Сравнивая уравнение (4.20) с уравнением неразрывности, записанным в инвариантной форме (2.6), заметим, что в криволинейных координатах Йчю= [ — (о,К,Н,)+ — (о,Н,Н,)+ — (о,Н,Н)]. (4.21) ГЛАВА Ш ЗАКОН КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ Закон количества движения для системы материальных точек устанавливает связь между изменением количества движения и силами, которые вызывают это изменение. При рассмотрении движения жидкости в отличие от движения системы материальных точек приходится иметь дело с силами, непрерывно распределенными по объему или по поверхности.

э 1 СИЛЫ МАССОВЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ Силы, приложенные к частицам жидкости, можно разделить на два класса. Массовые силы — силы, действующие на каждый элемент объема независимо от того, имеются ли рядом другие части жидкости. Пусть Гм — главный вектор сил, действующих на массу М жидкости, заполняющей объем т. Средней массовой Ем силой, действующей на массу М, называют величину Г,р —— Вектор Ем 1гп м ~~о ~~о (1.1) называется массовой силой, действующей в данной точке.

Точнее называть вектор Г массовой силой, отнесенной к единице массы (в случае сил тяжести Г = д). Обычно сила Г известна как функция координат точек пространства и времени Г = Г(х, у, г, ~), Если сила Г известна во всех точках выделенного объема т, то можно подсчитать главный вектор Г'" сил, действующих на массу жидкости в этом объеме. На объем дт с массой дт = рот действует сила Гдт = = Грдт.

Отсюда главный вектор массовых сил будет Гм,Г Д, (1.2) Поверхностные силы. Пусть объем т ограничен поверхностью 5. Жидкость, находящаяся вне объема т, действует через поверхность 5 на жидкость внутри т. Силы, с которыми частицы жидкости, находящиеся снаружи поверхности 5, действуют на поверхностные частицы объема т, называют поверхностными. Выделим на 5 элемент поверхности Л5 с нормалью и. Глав. ный вектор поверхностных сил, действующих на Л5, обозначим ЛГ„. Среднее напряжение, действующее нв плошадку Л5, лг„' будет т'„Р = —. и АЯ Вектор Пусть площадка Л5 стягивается в точку.

~~п т = 11гп тч — 11гп лз-эо лз-эо (1.3) (1 А) Поверхностные силы описывают взаимодействие между различ- ными областями жидкости. $2. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ЗАПИСЬ ЗАКОНА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ Выделим в движущейся жидкости некоторый объем т, ограниченный поверхностью 5. Пусть вектор К вЂ” количество движения массы жидкости, заполняющей этот объем. В элементарном объеме дт заключена масса рот. Количество движения этой массы, имеющей скорость ч: ЛК = рч дт.

Количество движения массы, заключенной в объеме т: К= рч дт. (2.1) Для выделенной массы жндкости вектор К, как и объем т,— функции времени. Закон количества движения можно сформулировать так: производная по времени от количества движения некоторой системы масс равна главному вектору внешних сил, действующих на эту систему. Следовательно, "К рм+ рз Ю (2.2) Подставляя в (2.2) выражения (1.2) и (1.4) для главных век- торов массовых Г~ и поверхностных Г5 сил и выражение (2.1) для К, получаем запись закона количества движения в виде — рч И = рГ Дт+ т„д5. (2.3) 50 называют напряжением поверхностных сил, действующим в рассматриваемой точке (вектором поверхностной силы, отнесенным к единице площади). Вектор т. зависит от координат точки, времени и положения площадки (т.

е. от направления нормали и). Из (1.3) следует, что на элемент поверхности д5 действует сила т.д5. Главный вектор поверхностных сил, действующих на поверхность 5: Проинтегри ова р (~з) ка времени =1, 'Б "+ ° Изменение » ~~ ~е количеств Я 2.4) мени равно ва движен ностных сил. сумме ч импульса м который п ратимся к а ил н импульса п равенству (2З . ил н а поверх- нтегр ла имее оложив = 111( — „, +р>й>ч)шт. Принимая во вни а (2 3) [~ ~ [ — „(р>)+ + рчйчч — рР дт= т„д5. Рис.

6. З), (2А) (2.6) гральн ю за запись закона Запиш ф 3. ФОРМУ ЛА КОШИ ем закон объема т За об ыберем тет аэ а объем т в рдинатным плоскост ,> 8 ивоположно Ося б Означи ~в фо м . к объему б лч — рГ~дт= =Ц . +~. Ц вЂ” +Ц -*-+' ° с~, + т„д5. (3. 1) Ъ б1 ванной площадки может быть вычислено, если известна таблица из девяти величин: тхк ткд тхк тух тдд тдк (3.8) таад туг ф 4, тензОР нАпРяжении Будем исходить из формулы Коши (3.7).

Докажем, что таблица (3.8) является аффинным ортогональным тензором второго ранга, Для этого надо найти формулы преобразова!!ия т!д при переходе от одной системы координат х, у, г к другои х', у', г'. Обозначим орты координатных осей соответственно через 1, 1, Ь и 1', 1', 1с'. Вспомним таблицу (7.1) гл. 1 для направляющих косинусов а,х и будем пользоваться формулой Коши, выбирая за и последовательно Г, )', 1'. Получим (4.1) (4.2) (4,3) тх'Х' а! !а! !тхх + а! !а!2тхд + а!!а!4тхх + + а!2а!! ~ух + а!2а!2туд + а!2а!атд~ + + а!за!!т,~ + аца!.т,д + а!,а!,!т„, (4.7) Используя (4.2) и (4.3), получаем аналогичные выражения для остальных шести составляющих. Из равенства (4.7) видно, что составляющие таблицы Т при переходе от одной системы 53 тх = тха!! + тда!~ + т,а„; тд' тха2! + Тда22 + тЛы~ т, =тка!!+ тди~~+ т,а-з. Рассмотрим одну из этих формул, например (4.1).

Представим т„через проекции тх к, ~х „, тх, на оси л', у', я': (ФА) Соответственно г„, тд, т,— через проекции на осн х, у, г. тх = 1тхх + 1тхд + 1сткг> тд = 1тдх + 1тид + 1~ад (4,5) тг = 1ткк + Зажгу + 1стхкПодставляя (4А) и (4.5) в (4.1), получаем векторное равенство т„,1+ 'х д Г+ тк, ~'=а!! (.хх1+.ку1+.к.~)+ + а!2 (гукай+ туд1+ тд,Е) + ац~ (т „1+ т,у~ + т, Й). (4,6) Умножая последовательно (4,6) скалярно на Г, 1', М', получим выражения для т„„, тк „, тх, через составляющие таблицы Т в координатах (х, у, г).

Выпишем одно из равенств (заметим, что (1'-1) = а! !, (Г 1) = а!2, (Г Е) = а!з): ванной площадки может быть вычислено, если известна таблица из девяти величин: тхк тху тхх тук туу тук (3.8) Т= тгу тхх тхх $4. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИИ (4.1) (4.2) (4.3) тх' = тха1! + туа!2 + тха13', ту тка2! + туа22 + т~а23 т ' = тхаЗ! + туаЗ2 + т,аЗЗ Рассмотрим одну из этих формул, например (4.1).

Представим тх через проекции тх х, тх у, т„, на оси х', у', г: к' = ! тх'к' + 1 тх'у' + 1~ тх'х' Соответственно т„, ту, т, — через проекции на оси х, у, г: тх 1тхк + утку + 1~тхх> ту 1 ту + ~туу + 1~ту т, =1т,х+ 1т,у+ Кт„. Подставляя (4.4) и (4.5) в (4.1), получаем векторное равенство тх х 1'+ тх у Г + тх . "' = ам (т 1+ т. Л + тх,1~) + + а!2 (тух1+ туу1+ ту,1с) + а!3 (т,х1+ т,у~ + т„1с). (4.6) Умножая последовательно (4.6) скалярно на Г, 1', 1с', получим выражения для т„х, тх у, тх, через составляющие таблицы Т в координатах (х, у, г).

Выпишем одно из равенств (заметим, что (1' 1) = а!1, (1' 1) = а12, (Г 1с) = а!3): тХ'Х' а11а11тхХ + а!1а12тху + а11а13тхх + + а12а!!тук + а12а12туу + а12а13ту + + а!за!!т х + а!за„т,у + а!за!зт„. (4.7) Используя (4.2) и (4.3), получаем аналогичные выражения для остальных шести составляющих. Из равенства (4.7) видно, что составляющие таблицы Т при переходе от одной системы 53 Будем исходить из формулы Коши (3.7).

Докажем, что таблица (3.8) является аффинным ортогональным тензором второго ранга. Для этого надо найти формулы преобразования т;~ при переходе от одной системы координат х, у, г к другой х', у', г'. Обозначим орты координатных осей соответственно через 1, 1, К и 1', !', К'. Вспомним таблицу (7.1) гл. 1 для направляющих косинусов а!у и будем пользоваться формулой Коши, выбирая за и последовательно 1', !', К'. Получим координат к другой преобразуются как компоненты аффинного ортогонального тензора второго ранга.