Лекции по гидроаэромеханике, страница 10

ПОЛНАЯ ЭНЕРГИЯ Если жидкость движется, то она обладает кинетической энергией. Кинетическая энергия йТ„массы дт, движущейся со ско- 0 Р0 ростью о, равна йТ,=дт — = — дт. Кинетическая энергия массы, заключенной в объеме т. ҄— дт. (2.1) Полной энергией называется сумма кинетической и внутренней энергий данной массы газа и=Т.+Ж. У= Р '2+Е а' (2.2) $3. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ЗАПИСЬ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ Изменение полной энергии некоторой массы жидкости за промежуток времени от 11 до 1~ происходит за счет работы массовых и поверхностных сил, за счет притока за тот же промежуток времени тепловой энергии вследствие наличия объемно- распределенных источников тепла, а также притока тепла через поверхность. Если обозначить через А, работу массовых сил, А~ — работу поверхностных сил, Ят — объемное поступление энергии, Я~ — количество тепла, поступившее через поверхность 64 Здесь в качестве исходного берется состояние, в котором абсолютная температура равна нулю.

Когда нет процессов диссоциации и ионизации, внутренняя энергия состоит из энергии поступательного Е„вращательного Е„и колебательного Е, движений молекул. Для одноатомного газа с, = сопМ и Е= Е„= з = — КТ.Для случая двухатомного газа в определенном диапа- 2 зоне температур (для кислорода и азота примерно при температурах не выше 600 — ?00 К и не слишком низких температурах), когда практически возбуждены только поступательные и вращательные энергии молекул, теплоемкость постоянна и 5 Е=Е„+ Е„= — КТ. Прн более высоких температурах начинает сказываться возбуждение колебательной энергии молекул.

Теплоемкость с, колебательных степеней свободы зависит от температуры, и внутренняя энергия может быть представлена гт 5 гт в виде Е= ~ с, йТ = — КТ+ ~ с, йТ. Зависимость с„от Т ~о к К известна. Для многоатомных газов вид функций Е„и Е„от Т будет зависеть не только от числа атомов, но и от структуры молекулы.

Раб бота, совершенная мас за конечнь я массовыми силами до 12, будет ый промеж ток в у ремени от 1) '=),","'Б ( ')"' (») Работа иове хно Рис. 9. сти д5 с но рхностных сил. о ует сила т,д5 (рис. 9). Раб Равна» ледовательно Работа ости ", будет ЛА,= )(~~(~„. )Н. Р 5 абота поверхностных сил за тных сил за конечный промеж омежуток времени А, = ~' )( ~ ~ ( „.,),)в, Ю Объемное п ся учитывать поглощен оглощение энергии. Иног а п ощение (или ~ыделен~е Н глошения или вы е указывая конк ет дым эле- выделения энергии б е сл секундного п ит У ритока тепла, отнесенного сенного ди ниц объем о поглощения эн а, 3 3 а к.

! 03! энергии. Энергия, (3.4) 65 за время от 1 д в виде 2, то зак кон сохранения эне ~1 энергии запишется ,, — 0~,, =А,+Аз+ (3.1) ние вилюй энергии Ремени ~ -~! полной энергии имеем 1 ц'-' Вычислим слагае, . в п емые, входящие в п зап ом Р б совых сил.

Обо Р с .. бозначим через ЛА, Н , работу д б Ремя И есть д р ( ч) Ы й, откуда лы на перемещении дг г равна г = чй. Работа укакуда следует, что в б "бб=~ (3.5) п оглощенная п . ая за время Ж конеч~ — т, Энергия, пост емом т, будет ДЯ оступившая в объ 2, будет ост ъемтза в 1 о емя от 11 до Поток тепла тепла через по ограничиваю , ог щую объем жи к Колич чество тепла р ' дить вну р ла ающее в объем ч ныи к е сть поток , равно 1,сЬ Ж. В тепла динице пло а энергии пот елич прошедшее щади и едини , тепловой пот дл це времени. рез всю поверх а время хность 5, Я яот1~до1 в т ность 5 п я 2 в объем т проникнет ко оличество те в т через нове тепла т х- (3.6) а, = ~ ' Еб ~ ~ б„ЕЕ. По одста вл я я (3.

2)— Я получаем ) ~2 ергии л р д я конечного интег а р льную запи ) р ого промеж пись — — р б +Е) йт~ =~ Е Яр(Е «) Ет+~'Е7" + Й ест+ 1 Разделим об и т б ~7,ШЕ, (3,7) им обе части паве Я венства на а эне гии ю, получим разность у запись закона — р — +Е с~т= р(Г ч) сИ т т = р (Г «) йт+ ) ) (т„«) ЙЕ+ + ~ ест+ ~ ыми, корости объемн бб пото через пове хность. ного поступ- 5 4 НЕКОТОРЫЕ ПРЕОБРА ЗАКОНА СОХРАНЕ БРАЗОВАНИЯ ИНТЕГРА НИЯ ЭНЕРГИИ ЛЬНОЙ ЗАПИСИ В дальнейшем б дем удем предполагать, что не р с и мее вид (26) П вать: гл., можно преобразо- — р 2 +Е Нт= И р 2 + Е +р 2 + Е 41ЧЧ Нт= 111~( «~ 9 [~д +рд~ч»)( —,+Е1+ — ) р — „— +Е Шт= (и де 1 Используя формулу Коши для т перейдем от интеграла по пове хно 3 поверхности к интегралу по объему: 5 (т„° ч) сЮ = — т„° ч) сов (и, у) + ~ [(т, ° ч) сов (и, х) + (т ° ) + (т, ч) сов (и, 2)] Н5— д (Тх Ч) + — (Ту Ч) + — (Т Ч) Подставляя (4.1) и (4,2) в (3.8), получаем 111[р%+ 'Ф вЂ” ~Е'>- —,'„~.'>- д д — ц Ч) — — (т, ° Ч) — е Нт = ~„с15.

— — — 1 = и (4 3) Равенство (4.3) — одна в интегральном виде Выражен е. ыражение в левой части (4.3) (56 У а е была пол чена можно . ). множив скал личества ч и перенеся все слаг агаемые в одну сто о лярно обе части (5.6 ну, получим на йч д» тх ° — Р ° Ч вЂ” Ч ° — — Ч ° —— дх ду — Ч д = О. (4.4) 67 Левая часть (4.4) содержит группу слагаемых, входяших в (4.3). Так как их сумма равна нулю, уравнение (4.3) примет вид 111 [р —, — т, ° — ~ — тц — ~ — т, ° — ' — е] Шт= 11 !„Ш5. (4,5) Равенство (4.5) есть общая запись закона сохранения энергии в интегральном виде.

$5. ВЕКТОР ПОТОКА ТЕПЛА Получим формулу для потока тепла ~„. Рассмотрим тетраэдр (см. рис. 6), три грани которого параллельны координатным плоскостям. Введем те же обозначения, что и при выводе формулы Коши: 5„5„, 5, — площади граней, перпендикулярных осям координат; 5,— плошадь грани с нормалью и; й — высота тетраэдра, опушенная на грань 5. Объем тетраэдра будет равен 1 т= — 5Ь. Запишем для этого тетраэдра закон сохранения энер- 3 гии (4.5), применив к интегралам теорему о среднем: 1 Г йЕ дч дч дч — 5Ь ~р — — т ° — — т ° — — т ° — — в 3 ~Р 61 х дх и ду ~ дг = 5~ Р + 5х~ Р + 5у~ У~ + Ы-~ ° (5.

1) Здесь 5, = 5 сов(п, х), Я„сов(п, у), 5, = 5 сов (и, г). Сократив все члены равенства (5.1) на 5 и устремив и к нулю, получим 1„+ 1 „сов (и, х) + 1 „сов (и, у) + 1, сов (и, г) = О. (5.2) Из физических соображений ясно, что ~~ 1 „где 1 описывает поток энергии внутрь, а 1 „— поток через площадку с нормалью ( — и) — описывает поток изнутри. Вводя величины Ь, 1~, 1„получаем ~д = ~„сов (и, х) + 1у сов(п1 у) + 1~ сов (п1 2).

(5.3) Из формулы (5.3) следует, что совокупность (1„1„, 1,) образует вектор. В этом легко убедиться, если записать (5.3), выбирая последовательно в качестве и орты новой системы координат х', у', г'. Полученные формулы связи (1,, 1„, 1,) и (1,1„, 1,) представляют собой известные формулы преобразования компонент вектора при переходе от одной системы координат к другой.

Вектор ~Х1 + Я + ~21~ (5.4) называют вектором потока тепла. Величина 1, есть проекция этого вектора на и: 1„= (1 и). 68 $ В. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ЗАПИСЬ ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ Используем формулу (5.3) для п е связанног з ого с вектором теплового потока: у ( . ) для преобразования интеграла в ~ ~ С„со = ~ ~ [С„сов (и, х) + вссов (и, у) + С,сов (о х)~ оо = э у в 2 = ~ ~ ~ [ — + — „+ — ~ Шс. (6.1) Подставим (6.1) в выражение 14.5), п едставля редставля ш~~ собой ~дня энергии: дух дну дух — ~ с1~ = О.

(6.2) Равенство (6.2) справедливо для люб б ого о ъема, следовательно, йЕ д» д» д1'х д1~ д1~ д~ дх + у ду + х д дх ду дг Р авенство (6.3) — запись закона сох анения эне ги ренциальной форме. ГЛАВА Ч1 ПРОСТЕЙШИЕ МОДЕЛИ ЖИДКИХ СРЕД В предыдущих главах были получены дифференциальные уравнения, представляющие собой запись основных законов сохранения. Закон сохранения массы в общем случае при наличии источников массы имеет вид (2.3) гл.

11. При приведении уравнений, представляющих собой запись законов сохранения, к более простому виду предполагалось, что источники массы отсутствуют. Сохраняя это предположение и в дальнейшем, выпишем полученные в дифференциальной форме законы сохранения.

Закон сохранения массы ++рйчч=О. (1) Закон количества движения йч дт„дту дт~ ~й Р + дх + ду + дл Закон моментов количества движения ИМ дух дну д7сл р „=рп+1Х~.+1Хт„+1Хт,+,"+,"+,'. (П1) Закон сохранения энергии НЕ дч дч дч д1„дну д1~ В написанных уравнениях функции Г, П, е обычно известны. Искомые функции — р, ч, тп„М, яи, 1. Таким образом, неизвестных больше, чем уравнений. Общих уравнений сохранения недостаточно для получения замкнутой системы уравнений, описывающей движение сплошной среды. В этих общих уравнениях нет информации о самой среде. Надо ввести модели сплошной среды, которые с некоторой точностью отражали бы действительные свойства жидкости и были бы достаточно удобны для получения замкнутой системы уравнений и ее решения.

Во всех моделях, рассматриваемых в этой главе, тенэор напряжений симметричен, в силу чего уравнение моментов количества движения приобретает вид (2.5) гл. 1Ч. ф 1. ИДЕАЛЬНАЯ ЖИДКОСТЬ И ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ ДЛЯ НЕЕ Жидкость называется идеальной, если в ней отсутствуют касательные напряжения и наблюдаются только нормальные напряжения. Таким образом, на движущуюся жидкость распространяется свойство, которое наблюдается в жидкости при равновесии или ее движении как абсолютно твердого тела.