В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (В.А. Зорич - Математический анализ), страница 4

если в любой окре- стности этой точки имеются как точки, принадлежащие, так и точки, 'не принадлежащие множеству Е). Пример 13. Все точки шара В(а; г) являются его внутрен- ними точками, а множество САВ(а; г)=Х~,Ь(а; г) состоит из точек, внешних по отношению к шару В(а; г). В случае пространства (сл со стандартной метрикой й в Р' сфера 5(а; г)=(хаем" ~й(а, х)=с~О) является множеством' граничных точек. шара В(а; г) е). Определение 7. Точка а ен Х называется предельной для множества Ес: Х, если для любой ее окрестности О(а) множе- ство ЕЛО(а) бесконечно.

л) В сэаэи с примером !3 см, также эахачу Я.а копке этого параграфа. Оп р еделени е -8. Объединение множества Е и всех его предельных точек в Х называется замыканием множества Е в Х. Как и прежде, замыкание множества Е с- Х будем обозначать через Е. Утверждение 2. Множество У с: Х замкнуто в Х тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные' точки. Итак, (г замкнуто в Х) с::>(.У'= У' в Х). Доказательство мы опускаем, так цак оно повторяет доказательство аналогичного утверждения в случае, когда Х = Р', изложенного в гл.

УП, $ 1. 3. Подпространство метрического пространства. Если (Х; й) — ' метрическое пространство, а Е-подмножество Х, то, -полагая для любой пары точек. х„ха из 'Е расстояйие равным 'й(х1, х,), т..е. расстоянию между этими точками в Х, мы получим метри- ческое пространство '(Е; а), которое-по отношению к исходному пространству (Х; й) принято называть подпространством. Итак, мы принимаем следующее Определение 9. Метрическое пространство (Х! с(!) назы- вается подпространством метрического пространства (Х; й), если Х, с: Х и для любой пары точек а, Ь множества Х! справедливо равенство йа(а, Ь)=й(а, Ь).- Поскольку- шар В,(а; г)=(х ~ Х! !аа(а, х)(г) в нодпро- странстве (Х,; й!) метрического пространства (Х; й), очевидно, является пересечением В,(а; г)=Х,ОВ(а; г) множества Х,с-Х с.шаром В(а; г) в Х, то всякое отирытое в Х, множество имеет вид 6,=Х,ПО, где 6 — множество, открытое в Х,.

а всякое замкнутое в Х, множество )г! имеет -вид -,У',= Х(),У, где,У' — множество, замкнутое в Х. Из сказанного следует, что свойство множества, лежащего: в метрическом пространстве, быть открытым нли замкнутым относительно и зависит от этого объемлющего пространства. Пример 14. Интервал ~х~(1, у=О оси абсцисс. плоскости )сэ со стандартной метрикой в !Кэ является метрическим пространством (Х1, й!), которое, как и всякое метрическое пространство, замкнуто в себе, ибо содержит все свои предельные точки в 'Х,, Вместе с тем очевидно;"что Х! не является замкнутым множеством в )сэ Х.

$2 тОпОлОГическое пРОстРАнстзо а(А, В) !п1 д(а, Ь). лшл. ьшв или Задачи в упражнения !8 Глг!Х. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБШАЯ ТЕОРИЯ! Этот же пример показывает, что и понятие открытости множества также относительно. Пример 15. Множество С[а, Ь) непрерывных на отрезке [а, Ь) функций с метрикой (7) является подпространством метрического пространства еЯ'р[а, Ц.

Однако если на С[а, Ь1 рассматривать метрику (б), а не (7), то это уже не будет иметь место. 4. Прямое произведение метрических пространств.' Если (Х,; йз) и (Хз; де) — два метрических пространства, то в прямом произведении ХгхХ, можно ввести метрику й. Наиболее распространенные способы введения метрики в Х,?сХ2 состоят Б следующем. Если (х„х,) БЕХгхЛ; и (х1, х;) ен ХзхХ,, то можно поЛожить й((х„хз), (х1, хз)) =[? й1(х„х1[)+<И(х„хз), й ((хг, хз), (х1, х2)) = йг (хг, х1) + де (хз х2) й((хю х,), (хь хз)) =шах(й,(х„х1), йз(хз, хз)). Легко видеть, что в любом из этих случаев мы получаем метрику на Х,хХ2. Определение 10.

Если (Х,; йэ), (Х,; йз) — два метрических пространства, то пространство (Х, х Х,; й), где й — введенная любым из указанных выше способов метрика в Хг х Хю будем называть прямым произведением исходных метрических про. странств. Пример 16. Пространство (чз можно считать прямым про. изведением двух метрических пространств Й со стандартной метрикой на )с, а метрическое пространство мз есть прямое произведение (чз хР метрических пространств (сз и (чх= )ч. 1. а. Развивая пример 2, покажяте, что если /: (?+ -ь(2+ — иепрерывная .строга выпуклая вверх функция, а (Х; д) †метрическ йространство, то на Х можно определить новую метрйку а/ следующим соотношением: д/(хг, хз) = /(д (хг, хз)). Ь.

Покажите, что на лабом метрическом пространстве (Х; д) можно ввести метрику а' (х„хз) = ', в которой расстояния между точками не бу. д(хг, хз) 1+а(хг, хз)' дуг превосходить единицу. 2. Пусть (Х; а) †метрическ просйранство с указанной в начале примера 2 тривиальной (дискретной) метрикой, н пусть а'т Х. Каковы в данном случае множества В(а; 1/2), В(а; 1), В(а; 1), В(а; 1), В(а; 3/2) н мно жествз (х ез Х ! а (а, х) =1/2), (х т Х,! д (а, х) 1). В (а; 1уэ,В (а; 1), В (а; !ГАВ (а; 1) ? 3. а. Верно ли, что объединение любого семейства аамкнутых множеств является множеством замкнутым? Ь. Всякая лн граничвая точка множества является его предельной точкой? ;/З,с.

Верно ли, что в любой окрестности граничной точки множества име1отся изк внутренние, так и внешние точки этого множества? б, Покажите, что множество граничных точек любого множества ивляется азвкиутым множеством. 4. з. Докажите, что если (У; дг) есть подпространство метрического про'етраисгва (Х; ак), то для любого открытого (замкнутого) множества О,(УР) 222 )г найдетсЯ таксе откРытое (замкнУтое) множество Ок (Эс ) в Х, что О, = =.у?",ПО„(.Р„='у 0~„) Ь. Проверьте, что если открытые множества О'„О; из 'г' не пересекаются, то соответствующие множества О'„, О'„в Х можно выбрать так, что они тоже Бв будут иметь общих точек 3; Имея метрику д на множестве Х, можно попытаться определить расстояние й(А, В) между множествами А с Л' и В с Х следу1ощим образом: а.

Приведите пример метрического пространства и двух замкнутых не пере,секающихся его подмножеств. А, В, для которых й(А, В) =О. . Ь. Покажите, следуя Хаусдорфу, что на множестве подмножеств метричаского пространства (Х; д) можно ввести метрику Хаусдор4ю 1?, полагая, что для А с Х и В с Х 1?(А, В):= гпах) знр Й(а, В), знр й(А, Ь)~.

(лшл ьшв $, 2. Топологическое'пространство Для вопросов, связанных с понятием предела функции или отображения, во многих случаях существенным является не наличие той или иной метрики в пространстве, а возможность сказать, что такое окрестность точки. Чтобы убедиться в этом, до,статочно вспомнить, что само определение предела или опреде-, ление' непрерывности может быть сформулировано в терминах ..окрестностей. Топологическое прострайство является тем матема, тическим объектом, на котором операция предельного перехода н непрерывность отображения изучаются в наиболее общем виде. 1; Основные определения. О и р еде лени е !.

Говорят, что множество Х наделено структурой топологического пространства, или наделено топологией, или, что Х есть тппологическое пространства, если указана система т подмножеств Х (называемых открытыми множествами в Х), Обладающая следующими свойствами: а) ф Бет; Х Бит. ь) ()/и е(„.= ))=? Ц „=т. аши л с) ('21 Б= т; 1= 1, °, и) =Ф П т1 ее т с -- М Гп. !Х, НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ1' 4 я, топологическое пРОстРАнстВО Таким образом, топологическое пространство есть пара (Х; т), состоящая из множества Х и системы т выделенных его подмножеств, обладающей теми свойствами, что т содержит пустое мно-.

жество и есе множество Х, что объединение любого числа множеств системы т есть множество системы т и пересечение конеяного числа множеств системы т есть множество системы т. Как видно, в аксиоматике а), Ь), с) топологнческого пространства постулированы те свойства открытых множеств, кото.- рые мы уже доказали в случае метрического пространства. Таким образом, любое метрическое пространство с определенным выше понятием открытого множества в нем является топблогическим пространством.

Итак, задать топологию в Х значит указать систему т подмножеств Х, удовлетворяющую аксиомам а), Ь), с) топологического пространства. Задание метрики в Х, как мы видели, автоматически задает топологию на Х, иидуцировапную этой метрикой. Следует, однако, заметить, что разные метрики на Х могут порождать на этом множестве одну и ту же топологию. П р'й м е р 1.

Пусть Х 1(" (н~ 1). Рассмотрим в 'Я" метрику й,(хн х,),'задаваемую соотношением (5) 9 1, и метрику йя(х„хя), определенную формулой (3) 9 1. Из неравенств йе (х„х,) ( йя (х„х,) « )I"ййе (х„ха), очевидно, следует, что каждый шар В(а; г) с центром в произвольной точке а ЙХ, понимаемый в смысле одной из этих метрик, содержит шар с тем же центром, понимаемый в смысле другой метрики, Отсюда в силу.

определения открытого подмноже-. ства метрического пространства вытекает, что обе метрики индуцир.укж на Х одну'и ту же топологию. Почти все топологические пространства, которьуе мы' будем активно использовать в пределах этого курса, являются метрическими. Не следует,-однако, думать, что всякое топологическое пространство можно метризовать, т. е. наделить его метрикой; открытые множества, в которой будут совпадать с открытыми -: множествами системы т, задающей топологию на Х.

Условия, при которых это можно сделать, составляют содержание так называемых метризационных теорем. Определение 2, Если (Х; т)-топологнческое пространство, то множества системы т называют овисрытыми, а дополнения к.ним в Х вЂ” замкнутыми множествами топологического пространства (Х; т). Топологию т в множестве Х редко задают перечислением всех множеств системы т. Чаще систему т задают, указывая лишь некоторый набор подмножеств Х, объединением и пересечением которых можно получить любое множество системы'т. Весьма важным поэтому является Определение 3. Базой тоаологического пространства (Х; т) (открытой базой или базой топологии) называется такое семейство 3 открытых подмножеств Х, что каждое открытое множество б ен т является объединением некоторой совокупности элементов семейства 3.