В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (В.А. Зорич - Математический анализ), страница 2

2.Постановка осиовных вопроаов (356). 3. Сходнмосп и равномерная сходимость семейства функций, завися. щвх от параметра (358). 4, Критерий Коши равномерной сходи. июстн (361). Задачи В упражнения..... - „,... 363 4 2. Равномернаи сходимость рядов функций.............. 363 1. Основные определения н критерий равномерной сходнмости рада (363). 2. Признак Вейерштрасса равномерной рходивюсти вда (366). 3. Признак Абеля-Дирихле. (368).

влачи и упражнения 4 3. Функциональные свойства предельной функции......,..... .1. Конкреткэация задачи (373). 2. Условия коммутнровапвя двух предельных переходов (374). 3. Непрерывность и предельный пере. ход (376). ч. Интегрирование н предельный переход (380). 5. Дифй реицирование и предельный переход (381). чи и упражнения ° ° . ° ° ° . ° . ° 1 387 373 373 4 1, Некоюрые напоминания из линейной алгебры ............ 305 1. Алгебра форм (305). 2, Алгебра кососицметрических форм (306). 3. Линеяиые отображения линейных просграиств.

и сопряженные отображения сопряженных пространств (309). Задачи и упражнения 310 4 2. Многообразие„. 3!2 1. Определение многообразия (312). 2, Гладкие ыиогообразия и гладкие отображения (317). 3. Ориентация. многообразия и его края (320). 4, Разбиение единицы и реализация многообразий з вйде поверхностей в П«(323). Задачи н упражнения 327 6 3. 4(нф)реревциальные формы и их интегрирование иа многообоазнях 329 !. Касательное пространство к многообразию в точке (329). 2.

Диф. фереицизльная форма на многообразии (333). 3. Внешний днффепеицкал (335).. 4. интеграл от формы по многообразию (336). 5. Фор. Мула Стокса (338). Задачи и упражнения .. ... ... ., ...,, ... 340 4 4. Замкнутые и точные формы на многообразии ............. 344 1, Теорема Пуанкаре (344). 2. Гомологни н когомологин (348). Задачи н упражнения . 352 «ф 4. Компактные и плотные подмножества пространства непрерывных функций 390 1. Теорема' Арцела — Асколи (391). 2. Метрическое пространство С(К, У) (393). 3. Теорема Стоуна (394). Задачи и упражнения 398 Г л в в а ХЧ! 1.

Интегралы, зависящие от параметра Гл,вва ХЧП1. Рнд Фурье н преобразвааяне Фурье 6 1. Основные общие представления, связанные с понятием ряда Фурье 488 1. Оргогоийрьные системы. Функций (488). 2. Коэффициенты Фурье (494). 3. Ряд Фурье (499). ' 4. Об одном важном ясточннке ортогоиальиых систем функций в анализе (506).

Задави и .упражнения 610 6 2. Тригонометрический ряд Фурье 516 1. Основные виды схвднмвств классического ряда Фурье (515), 2. Йсследоваинв поточечной схвдвмостн трнгонометрнческогп ряда Фурье (520).' 3. Гладхость фупкцни. и скорость убываяпя кпэф- 3 вциеитов Фурье (530). 4. Полнота тригонометрической системы (535). ачн и упражнения 642 400 а 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра......,....

400 ° 1. Понятие интеграла, завпсящего от параметра (400), 2. Непрерывносюь интезрала, зависящего от параметра (40!). 3. Днфференци!юванне интеграла, зависящего от параметра (402). 4. Интегрирование лнтеграла, зависящего от параметра (405). Задачи и упражнения 406 4 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра ......, .. 407 1; Равномерная сходимость несобственного интеграла относительно параметра (407).

2. Предельный переход под знаком несобственного нптегралв и непрерывность несобственного интеграла, зависящего от параметра (4!5). 3. Дифференцирование несобственного интеграла по параметру (417). 4. Интегрирование несобственного интеграла по параметру (420). Задачи и упражнения 426 4 3. Эйлеровы интегралы . . .

.. ., .. .... 428 1..Бета.функция (428). 2. Гамма функция (429). 3. Связь между й пиниями В и Г (432). 4. Некоторые црвмеры (433). дачи и упражнения 435 6.4.. Свертка функций н начальные сведения об обобщенных функциях 439' 1..Свертка в физических задачах (наводящие соображения) (439). 2. Некоторые общие свойства свертки (442). 3; Дельтаобразиые семейства функций н аппроксимациониая теорема Вейерштрасся 4445). «,4. Начальные представления о распределениях (460) Задачи и упражнения 461 '6 6.

Кратные интегралы, завнсящпе вт параметра ......., .. .. 466 Г. Собственные кратные интегралы, зависящие вт пайвмвтра (466). 2. Несобственные.кратяые иитегралй, зависящие от ВХраэщ)рэ (467). -3. Несобственные интегралы с .переменной особенностью (469). ' 4. Свертка, фундаментальное решение и обойценные функции в многомерном случае (473). Задачи н упражнения 484 огллэлвннв $3. Преобрззовиние фурье 551 1. Представление функции интегрелом Фурье (551). 2. Регулярность икпяи и скорость убивание ее преобрззовеиия Фурье (562) .

Вежнейшне аппаратные свойства преобрезоезннз Фурье (566) 4. Примеры приложений (572). Звдечи и уврежневия ...........,..... 577 ПРЕДИСЛОВИЕ 624 Лвтеретурз Указатель основных обознечений Алфавитный. указатель Г л я в е Х1Х. Асимвтотвческие рязложеиия 4 1. Асимптотпческая "формуле н зснмптотическяй ряд ! 7 Основные определения (586). 2.

Общие сведения аб еснмптотпческнх 4 ядах (591). 3. Степенные есвмптогпческпе ряды (696). чн н упрежненнп 4 2. Асщппотвке иятегрелоп (метод Лапласа) 1. Идея методе Лапласа (602). 2. Приипвп локелизакии длп интегреле Лаплзся (605). 3 Кзнойнческие ннтегрелы н их еснмптотике(607). 4. Главный член есимптотики ннтегрела Лапласа (610). ° 5. Асима. жпическпе резложевня иитегрелов Лапласа (613). Вадечи и упрежпения В предисловии к первой части была дэна. достаточно подроб.

нэя характеристика курса в целом, поэтому я ограничусь здесь замечаниями по содержанию лишь этой второй его части. Основной материал настоящего тома составляют, о одной стороны, кратнь(е, криволинейные и поверхностные интегралы, даве- денные до общей формулы Стокса и. примеров ее приложений, а с другой стороны,. аппарат рядов. н интегралов, зависящих от параметра, включающий ряды Фурье, превбразоиание Фурье и представления об асимптотических разложениях. Таким образом, эта часть Н в основном соответствует програм. ме второго года обучения на математических факультетах университетов.

Чтобы не закреплять жестко порядок следования указанных двух больших тем по семестрам, я изложил их йрактически независимо. Главы 1Х и Х, с которых начинается эта книга, в сжатом и об. щем'виде воспроизводят по существу почти все самое ценное, что было получено в первой чзсти в отношении непрерывных и дифференцируеемых функций. Они отмечеыы звеадочкой и написаны как дополнение к первой части. В нем, однако, содержится иного таких пойятнйз которые уже сейчас фигурируют в любом изложении анализа матема. тыкам, Налнчйе этих двух глав делает вторую книгу формально почти независимой от первой при условии, что читатель достаточно подготовлен, чтобы при чтении этих двух глав обойтиси без многочисленных примеров и наводящих соображений, которые в первой части предшествовали излагаемому здесь формализму, Основной новый материал книги, посвященный интегральному исчислению функций многих переменных, начинается с главы Х1,.

с которой, собственйо; без потери связности восприйтия после первой части можно читать'зту вторую часть курса. При изложении теории криволинейных и поверхностных интегралов разъясняется и используется язык дифференциальных форм н сначала иа элементарном материале вводятся'все основные геометрические понятия и аналитические конструкции, которые ю ПРЕДИСЛОВИЯ 1962 г.

В. Зорич потом составляют лестницу абстрактных определений, ведущую к общей формуле Стокса. Такому итоговому изложению интегрирования дифференциальных форм на многообразиях посвящена глава ХЧ, которую я рассматриваю как весьма желательное систематизирующее дополнение к изложенному и разъясненному на конкретных объектах а обязательных для изучения главах Х1 — Х1Ч. В разделе, относящемся к рядам и интегралам, зависящим от параметра, наряду с традиционным материалом даны (гл. Х1Х) начальные сведения об асимптотических рядах и асимптотике интегралов, поскольку это, несомненно, полезный, благодаря своей эффективности, аппарат анализа. Для удобства ориентировки дополнительный материал или разделы, которые при первом чтении можно опустить, помечены звездочкой.

Нумерация -глав и' рисунков этой книги продолжает нумерацию уже вышедшей из печати первой части: Зорич В. А. Математический анализ, ч. 1.— Мл Наука, 1981. Биографические сведения здесь даются только о тех ученых, которые не упоминались в первой части. Как и прежде, для удобства читателя и сокращения текста начало и конец доказательства отмечаются знаками 4 и Ь соответственна, а когда это удобно, определения вводятся специальными символами := или : (равенства по определению), в которых двоеточие ставится со стороны определяемого объекта.

Сохраняя традиции части 1, в этой книге много. внимания уделено как прозрачности. и логической четкости самих математических конструкций, так и демонстрации содержательных естественно-научных приложений развиваемой теории. З(ЕГЛ А В А !Х НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (ОБЩАЯ ТЕОРИЯ) В втой главе будут обобщены и изложены с единой точки зрения свойства непрерывных отображений, которые были нами »уцтановлены для числовых функций и отображений типа Г: Р'-.» ' -ч.И". Прн этом будет введен ряд простых, но важных понятий, .ийекицих общематематическое употребление.' $ 1. Метрическое пространство 1.

Определение и примеры. Определение 1. Говорят, что множество'Х наделено мет- рикой, или структурой метрическом пространстеа, или что Х есть метрическое пространство, если указана функция й: ХхХ»Р, удовлетворяющая условиям: ', а) й(х„х,)=бс::>хд='хм Ь) й(хд, х,)=д((хд, х,) (симметричность), ' с) а(хд, х,) (й(х,, хд)+а(хд, х,) (неравенство треугольника), где хд, хм х,— произвольные элементы Х. Функцию (1) называют в этом случае метрикой или расстоя- нием в Х. Таким образом, метрическое пространство есть пара (Х; д(), состоящая из множества Х и заданной на нем метрики.