В.А.Зорич-Математический анализ(часть2) (В.А. Зорич - Математический анализ)

В.А. ЗОРИЧ мАтемАтический АНАЛИЗ чАсть Ц йояущеяо Мииис~ктвом вмсшеео я средявео сяекнаявноео обрявоеаяяя СССР .' в качестве учвбниют дяя студентов университетов, обучающикс* но ютщртаявнщтям «Рдатемитика» и вМеквяика МОСКВА «ИАЩМ ГЛАВНАЯ РЕЙЙШЙЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1964 ',2.16. 3-86 УДК 5!7 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 18 19 29 29 30 31 Ю И»к»тельство «Наука» Главная рея«кави. фи»нко-мат«и»тече«коз литер»туры, гааз Зорвч В. А. Математическпй аиалйз: Учебник, Ч. П.— Мл Наука Главнаа редакция фвзино-математической литературы, 1984.

— 640 с. В книге отражена ставшая более тесной связь курса клвссвческого ана.лиза с совремеииыми математическими курсами (алгебры, диффереициальиой геометрии, дифференциальных уравиеппй, комплекриого п функционального анализа). Во вторую часть учебвнка включены следующие разделы: Многомерный витеграл. Дифференцизльиые формы в ях иктегрирование. Ряды и иитегралы, зависящие от параметра (в том числе ряды в преобразования Фурье, а также аспмптотпческие разложения). Текст спабжеи вопросами а задачами, дополияющими материал книги ы существующих задачников по анализу. Оргаыиуеской частью текста являются примеры приложений развиваемой - теории, котбрымп часто служат содержательные задачи механики и физики.

Для студентов упнверситетов, обучающихся по специальности «Математика» и «Механика». Может быть полезиз студентам факультетов в вузов с расширеивой программой по математике, а так же специалистам в области математикя и ее приложений. Библ. — 29 паза. Илл. — 40. » Глава !Х. Непрерывпые отобрамеиия (общая георвв) й 1. Метрическое пространство !. Определения и примеры (11). 2. Открытые п замкнутые подмножества метрического пространства (13). 3.

Подпростраиство метрыческого простраиства (17). 4. Прямое провзведеиие метрнческых пространств (18). Задачи 'и упражнения й 2. Топологпческое пространство 1. Основные определения (19) 2. Подпространство топологического пространства (23). 3 Прямое произведение топологических просгенота (24). адачи и упражвеиия б 3. Компакты з 1. Определение в общие свойства компакта (25), 2.

Метрические компакты (27). Задачи п упражиеиия '4 4, Спязные топологические простраиства Задачи и упражиеыия $5. Полипе метричеспие пространства К Осиовиые определевив и' примеры (3!). 2. Пополиеиие метраческого простраиства (34). Задачи в упражвеыия й 6. Непрерывные отображения топологических простраиств 1.

Предел отображения (38), 2. Непрерывные отображения (40). Задачи и' упражпепия ' 4 7. Приицпп сжимающих отображепвй Зюшчи ы упражиеиив « е Глава Х. Диффереициальпое псчпслеииес более общей точки зреииа 80 ' б 1. Линейное нормпроваииое простраистао ......., ....., .. 80 !. Некоторые примеры ливейиых пространств анализа(50). 2. Норма в векторвом простраистве (51). 3. Скалярное произведение в век.

торппм пространстве (54). Задачи п упражиеиия 68 4 2. Лиыейные и полвлииейные операторы ......,....,..... 87 1. Определепвя и примеры (57). 2. Норма оператора (60). 3. Прост. виство пепрерывимх оперзто( ов (64). здачи и упражиеииа 68 1« ОГЛАВЛВНИВ ОГЛАВЛВНИВ 165 173 174 181 182 86 87 187 188 194 197 210 101 103 '111 2!3 213 253 279 281 9 3. ренцнал отображения 'М' 1. тображение, днфференцируемое в точке (69). 2, Общие законы дифференцирования (70). 3.

Некоторые примеры (71). 4. Частные производные отображения (77). Задачи и упражнения й 4. Теорема о конечном приращении и некоторые примеры ее использования 1. Теорема,о конечном приращении (80): 2. Некоторые примеры применения теоремы о конечном приращении'(83). Задачи и упражнения $6. Производные отображения высших порядков 1. Определеинел-го диффереиииалз (87). 2. Производнаи по вектору н вычисление значений л-го дифференциала (88». 3. Симметричность диффереицналов высшего порядка (89).

4. Некоторме -заяечаииа (91). Задачи и упражнения й 6. Формула Тейлора в исследование экстремумов ...... 1. Формула Тейлора для отображений (93). 2. Исследование внут. й". иих экстремумов (94). 3. Некоторые примеры (96). ачн ц упражяеиия 4 7. Общая теорема о неявной функции Задачи н упражнения Глава Х1. Кратные интегралы . 1!3 й 1. Интеграл Римана на л-мерном промежутке ..........,,...

113 1. Определение интеграла (113). 2. Критерий Лебега интегрируемостн ункции по Рнману (115). 3. Критерий Дарбу (!20). адачи и упражнения 122 й 2. Интеграл пб множеетау !23 1. Допустимые множества (123). 2. Интеграл по множеству (124); 3. Мера (объем) допустимого множества (!25). Задачи и упражнения 125 й 3. Общие свойства интеграла 127 1. Ин«еграл как линейный функционал (!27). 2. Аддвтизность нитегрцза (!27). 3, Оценки внтеграла (128). Задачи и упражнеимя !30 й 4.

Сведение кратного интеграла к повторному ...,....,...',, 131 1. Теорема Фубвни (131). 2. Некоторые следствия (!34). Задачи н упражнения 138 4 6. Замена переменных в кратном интеграле ............... 139 1. Постановка вопроса и эвристический вывод формулы замены пере. мениых (!32). 2; Измеримые множества и гладкие отображения (141. 3. Одномерный случай (143). 4. Случай простейшего диффео)горфизма в Р' (!45).

5. Композиция отображений и формула замены пере. венных (! 46). 6. Аддигизвос«ъ интеграла и завершение допйэшельства формулы замены переменных з интеграле (!47). У. Некоторые следшиия н обобщенна формулы замены переменных'в кратных ивтевлах (148). чи и упражнения 152 $6, Несобственные кратные интегралы 154 1, Основные определения (!64). 2. Мажоравтнйй признак сходимости .нышбстаеняога интеграла (157)..3. Замена переменньш в несобственном иитеграле.(159).

Задачи н упражнение 162 йяэ а ХП. Пошршшсти и диффереициальиме фор«аы в гсл Ф:. 'Павглхвость в Г»л Задачи и упражнения фаз й)рвеитация поверхности, ..... хф '.'Задачи' и упражнения 3. Край поверхности и его ориентация ...., ... '1. Поверхность с краем (!82): 2.- Согласование ориентации поверх. -:тиштн и края (184). Задачи в 'упршкнеиня й«4. Площадь поверхности в евклэшовом пространстве ' Задачи н упражнения 6 5.«Начальные сведения о дифференциальных формах ..

- 1. Двфференцвадьиая форма, 'определение ц примеры (197). 2. Координатная запись дифференииальной .формы (200), 3.. Внешний дкфференцкал формы (203). 4. Перенос ректоров п форм при отображениях (206).-5. Формы на поверхностях (209). Задачи и упражнении Гб а в а ХП1.

Криволинейные и йоверишстиые интегралы :2 зу Интеграл от дифференциальной формы,....,.......,... 1. Исходные задачи, навшцпцие соображения, примеры (213). 2. Определение интеграла от формы по ориентированной поверхности (2!9). Задачи и упражнения 2 2. Форма объема, интегралы первого н второго родэ.........., .'1. Масса материальной поверхности (227). 2.

Площадь поверлкбств' как интеграл от формы (228). 3. Форма объема (229). 4. Выражение формы объема в декартоаьш координатах (231). 5. Интегральг перэагд в второго рода (232), Задачи и упражнения ,ф-3. Основные яитетральиые формулы анализа.........,..... 1, Формула Грива (236). 2. Формула Гаусса — С(строградского (24!). 3. Формула Стокса в (сэ (244).

4. Общая формула Стокса.!х46). Задачи и .упражнения' Г л а в з ХГЧ. Зиемеиты векторного анализа и теории поли $1. Дифференциальные «зпершгвн векторного аншшза.......,... 1. Сваля яые и векторные поля (263). 2. Векторные пола и формы в ' Р~ ЬЗ). 3. Двфференциальные. операторы йгаб, п«1, «Вч и Хг (256).

4. Некоторые дифференциальные формулы векторного анализа (л59) '5. Векторные операции в кркволииейаых коорди. натах (261). Задачи н 'упражнения 4 2. Иитетрзлъиые'формулы теории поля.....;...,........ 1. Классические интегральные формулы в векторных абозпаченнпз (270).

2. Физическая интерпретация.б«т,'го1, йгаб (273). 3. Некоторые дальнейшие интегральные формулы (277).! Задачв и упражнения 4 3. Потенциальные поля .: .. !. Потзицнал векторного поля !и81). 2. Нш«бходимаэ условие нотвн' пнальвости (282). 3. Критерий потешщшшностп ввкторпатэ Папи (238). ОГЛАВЛВНИВ ОГЛАВЛЕНИЕ 4. Топологическая структура области и потенциал (286). 5. Векторный потенциал. Точные и замкнутые формы (288). Задачи и упражнения $4. Примеры приложений' 1, Уравнение теплопроводиости (295). 2.

Уравнение неразоызности (297). 3. Основные уравнения динамики сплошной среды (298). 4. Волновое уравнение (300). Задачи и упражнения 29! 295 «Г л а в а ХУ. Интегрирование дифференциальных форм на многообразиях 305 Глава ХУ1. Равномерная сходнмость н основные операции анализа пад рядамв и семействазщ фуинций . 4 1. Поточечиая и равномерная сходимость...,............, 355 1, Поточечнав сходимость (355).