книга (Аржаников Н.С., Мальцев В.Н., 1956 - Аэродинамика), страница 9

Так как жидких частиц бесчисленное множество, то следует как-то характеризовать данную частицу. Это можно сделать, если в качестве характеристики жидкой частицы выбрать ее координаты в начальный момент времени <=0. Пусть при <=0 координаты данной частицы будут а, Ь, с. Это означает, что из всей бесчисленной сово. купности траекторий данной частице будет принадлежать та, которая проходит через точку а, Ь, с, Таким образом, координаты рассматриваемой жидкой частицы х, у, « будут зависеть от величин а, Ь, с и й называемых переменными Лагранжа, т е.

х=ст<(1, а, Ь, с), у=ав(Г, а, Ь, с), «=<ос(Г, а, Ь, с). (3. 5) Эти уравнения представляют собой уравнения семейства траекторий, заполняющих все пространство, занятое жидкостью„ а, Ь, с являются параметрами, определяющими траекторию. Таким образом', если в методе Эйлера траектории жидких частиц получаются путем интегрирования дифференциальных уравнений (3. 2), в методе Лагранжа они оказываются заданными формулами (3. 5). Пользуясь уравнениями (3.

5), находим проекции скорости и ускорения частиц: дх до<(А а, Ь, с) ~к дс дс дтт< (А а, Ь, с) а — — (3. 5) да дтвв(А а, Ь, с) да ) дех дтт д'у ду дгт(А а, Ь, с) дс дс да дтв да дв дтт(А а, Ь, с) Метод Эйлера получил преимущественное распространение в аэродинамике, так как он более прост и дает возможность широко использовать хорошо развитый раздел математики — векторный анализ.

Метод Эйлера и используется в последующем изложении. меиение в зависимости от времени координат х=х(с), у=у(<), «=«(с) частицы жидкости при ее движении по траектории. Эти производные называются конвекгивными, Частные производные по времени берутся, как обычно, при фиксированных значениях координат х, у, «и называются локальными (местными) производными, д 3. Классификация двиткекии асидкости й 3.

КЛАССИФИКАЦИИ ДВИЖЕНИИ ЖИДКОСТИ В наиболее общем случае движения жидкости проекции скорости о„с„, о„и давление р (для сжимаемой жидкости и плотность Р). будут являться функциями координат х, у, х и времени Т, т. е. о =у,(х,у,х,1),1 о„= Га(х, у, х, с), о,=у,(х,у, г, 1), р=~,(х,у, х, 1), Р=Уъ(х у х~ г) ! (3. 7) о,=у',(х,у, х), т о, = Ге(х, у, а), о,= г,(х, у, ~), р = у',(х, у, г), Р=у"в(х, У, г). (3. 8) Из определения установившегося движения следует, что для него должны выполняться следующие равенства: дв» до дов др дР О (3. 9) дг дг дг дг дг Однако полные производные от этих величин отличны от нуля, так как в общем случае скорость, давление и плотность меняются при переходе от одной точки пространства к другой, Только в част- ' Это о движение имееп место при перемещении твердого тела в жидкости, при вибрациях крыльев или хвостового оперения самолета в полете и в прутик случаях Это означает, что в фиксированной точке пространства с координатами х, у, х проекции скорости о„о„, о, давление р и плотность р будут функциями времени с, т, е.

с течением времени будут изменяться. Такое движение жидкости называется неустановившимся '. Если же в фиксированной точке пространства величины о„ и„, и„, р, р со временем не меняются,— движение жидкости называется установившимся. Это означает, что всякая жидкая частица, приходящая в данную фиксированную точку пространства, будет в ней обладать такими же значениями о„ов, о„р и р, какими обладала в ней любая из предшествующих частиц жидкости. В этом случае выражения (3.

7) напишутся в следующем виде: Глава !П, Кинематика жидкости ном случае, если несжимаемая, однородная ( р =сонэ() жидкость движется равномерно и прямолинейно, т. е. и=сонэ( и р=сопз(, то дв . диу двл = — = — =о Если жидкость движется так, что проекции скорости и„о„о являются функциями только одной' координаты и времени 1, то такое движение называется одномерным неустановившимся.

В частном случае при движении вдоль оси х (о„=о„=О) будем иметь дал двл дил — = — "в +— М дх " дт Движение жидкости называется плоским или двухмерным, если все частицы, находящиеся на одном и том же перпенднкуляре к некоторой неподвижной фиксированной плоскости, движутся одинаково параллельно этой плоскости При плоском неустановившемся потоке жидкости (о,=О) будем иметь дв, дал две — = — пл+ — и +— Ш дх ду У ду иву дву дву дву — ил+ — пу+ —. Ш дх ду " дУ ,Если пространственное движение жидкости симметрично относительно некоторой оси, то такое движение называется осесимметричным, Осеснмметричными течениями являются движения жидости в соплах и днффузорах круглого сечения и осевое обтекание тел вращения различной формы (например, сигарообразной) и т.

п. й 4. ЛИНИЯ ТОКА В аэродинамике наряду с понятием траектории (кривой, очерчиваемой в пространстве движущейся частицеи жидкости) вводится понятие линии тока. Рассмотрим в данный момент времени 1 какую-нибудь точку 1 пространства, заполненного жидкостью, Пусть скорость находящейся в ней Частицы жидкости изображается вектором и, (фиг. 3. 1).

В этот же момент времени 1 возьмем на векторе скорости и, точку 2, бесконечно близкую к точке 1. В этой точке находится другая частица жидкости, Так как точка 2 имеет другие координаты, чем точка 1, то и скорость в ней будет другая, изображаемая векто- зт б 4. Линия тока ром о,. В тот же момент времени 1 возьмем на векторе скорости о, точку 8, бесконечно близкую к точке 2, В ней вектор скорости будет оз и т. д. В результате такого построения (в данный момент времени) получилась ломаная 1, 2, 3, 4, д,..., обладающая тем свойством, что вектор скорости, соответствующий начальной точке любого ее звена, направлен вдоль этого звена. Будем неограниченно увеличивать число звеньев ломаной, устремляя к нулю длину каждого ее звена. Тогда в пределе (фиг.

3. 2) получится кривая, называемая линией тока, Фиг, 3. !. Построение линии тока. Фиг 3.2 Линия тока и трубка тока Следовательно, линия гока обладает тем свойством, что каждая 'частица жидкости, находящаяся на ней в данный момент вренени, имеет скорость, совпадающую по направлению с касательной н этой линии, Посмотрим, какой будет картина распределения скоростей в момент времени й. Если движение неустановившееся, то .в момент Р скорость в точке 1 будет о,', отличная от ов Следовательно, для того чтобы передвинуться в соседнюю бесконечно близкую точку, нужно теперь двигаться по новому направлению, изображенному на фиг.

3. 1 пунктиром, Отсюда следует, что для момента 1' линия тока будет иной. Это означает, что при неустановившсмся движе- нии совокупность линий тока будет меняться по времени. Если же движение установившееся, т. е, скорости в точках 1, 2 и т. д. не меняются по времени, то очевидно, что н линии тока не будут зависеть от времени. Очевидно также, что в случае установившегося движения линии тока и траектории совпадают. В самом деле, за время Ж частица жидкости переместится вдоль вектора н из положения 1 в полог станов ение 2, где скорость изображается вектором о . Так как движени т.

е У ановившееся, то в точке 2 вектор скорости оа за время Ж н из- менится Это означает, что жидкая частица, придя в точку 2, пойдет 38 Глана 111 Кинематика жидкости вдоль вектора о,. Рассматривая последовательно дальнейшее перемещение жидкой частицы, легко убедиться, что прн установившемся движении траектория частицы будет совпадать с линией тока, Найдем дифференциальное уравнение линий тока. Из условия совпадения в данной точке линии тока вектора скорости с касательной к этой линии следует, что (о, сЬ)=О, или, представляя векторное произведение в виде определителя 1,У,Ф тгх' и йх, с(у, их где 1, 1, Й вЂ” единичные векторы, направленные по координатным осям. Развертывая этот определитель по первой строке, будем иметь откуда оеагх — оайУ = О, пах — о4х= О, о,с(у — о йх= О. Полученные уравнения можно написать в следующем виде: — (3.

10) ех(х,у, х, 1) оу (х,у, х, 1) ек(х, у, х, 1) Выражение (3. 10) носит название дифференциальных уравнений линий тока. Дифференциальные уравнения траектории жидкой частицы могут быть записаны в следующем виде (см. 4 1 гл, П1): — — — — йг. (3. 10') от (х У, х, 1) ек (х, У, х, 1) ге (х, У, х, 1) Введем понятие о трубке тока. Для этого проведем в жидкости некоторый замкнутый контур С, не являющийся линией тока, и че- рез каждую точку этого контура проведем линию тока. Совокупность проведенных таким образом линий тока образует поверхность, называемую трубкой токи (см, фиг.

3. 2). Жидкость, протекающую внутри трубки тока, принято называть струйкой, Рассмотрим несколько примеров. П ример 1. Линжение жидкости задано проекциями скоростей и,= — йу, ег — — кх, гь =О, где й — постоянная, Требуется найти линии тока. з 4..Пиния тока Решение. Так как о», иг ат времени явно ие зависят, заключаем, что рассматриваемое движение установившееся и, следовательно, линии тока н траектории совпадают, Так как и»=0, то движение плоское. В случае плоского движения дифференциальные ураваення линий то ка (3, 10) можно написать в следующем виде: йх лу (3 11) Подстаилвн заданные значениЯ о», их в >Равнение (3. 11), получим йх йу — йу йх пли, разделяя переменные, Ых+уг(«=О Интегрируя, находим ха+уз=С, Фиг. 3.3.

Движение жидкости по концентрическим окружностям. т. е, линии тока представляют собой семейство концентрических окружностей с центром в начале координат (фиг. З.З) Для определения направления движения найдем косинусы углов между вектором скорости и осями х и у: и, У соз (и,х)=-- — =- о «ха+уз х соз (а,у) = — =+ в «'хз.г уз Так как для точки М с положительными значениямикоординатсоз (о, х)(0, то скорость образует с осью х тупой угол, и, следовательно, движение совершается против часовой стрелки. Пример 2.