книга (Аржаников Н.С., Мальцев В.Н., 1956 - Аэродинамика), страница 8

4) где коэффициент пропорциональности 1с, зависящий от природы жидкости и ее температуры, называется динамическим коэффициентом вязкости. сительной скоростью скольжения одного слоя поотношению кдругому. Эта относительная скорость скольжения, от величины которой зависит сила внутреннего трения, характеризуется величиной произ„дс водной —, называемой градиентом скорости по нормали. Обозначая дп Глава !!. Основные лонятия гидроаэродинамики 28 Из формулы (2. 4) нетрудно установить размерность динамического коэффициента вязкости р. Очевидно, в технической системе единиц [ игам г 1 [кг сек| Ы=[ Наряду с динамическим коэффициентом вязкости часто рассматривают кинематинеский коэффициент вязкости г, равный частному от деления р на плотность р: ч= —.

Р (2. 5) Размерность кинематического коэффициента вязкости в технической системе единиц следующая: [ ] = [ ~-1 = [ 1= [мг/сек]. Так как величина г имеет чисто кинематнческую размерность, то этот коэффициент и называют кинематическим коэффициентом вязкости. За единицу вязкости в системе Сбо принимают так называемый пуаз. Если в формулу 1г = до дл а =1,82 10-' кг сек]мг, г = 1,45.10-' мг/сек. Лля воды при 1=15'С Р =1,164 10-" кг сек!мг, э=0,1145 10-э мг,гсек подставить величину т, равную одной дине на квадратный сантяФо метр, и — =1 (с размерностью 1/сек), т.

е. считать, что при измедл ненни л на 1 см скорость изменяется на 1 смlсек, то получаемая при этом величина р называется луаэом. Очевидно, что 1 «гсек(мг = 981 000 дина сек!смг= 10 000 =98,1 динасек]сит=98,1 пуаз. Лля воздуха при 1=15'С численные значения коэффициентов вязкости составляют 29 4 г. Понятие о гидродинамичесном давлении Сравнивая эти величины, находим, что 45 10 !2 '7 чволы 0,1145 10 т. е. кинематический коэффициент вязкости воздуха в !2,7 раза больше кинематического коэффициента вязкости воды.

Вязкость воздуха связана с температурой линейным законом, выражаемым следующей формулой: р=(1,745 10 в+5,03 1Π— вг'С) насек[мг Необходимо отметить, что одновременный учет при изучении движения жидкости рассмотренных выше свойств вязкости и сжимаемости вносит исключительные математические трудности, в силу чего в большинстве случаев отдельно выделяются задачи о движении вязких жидкостей и о движении сжимаемых жидкостей. Изучение движения сжимаемых (идеальных) жидкостей вылилось ныне в отдельную область гидроаэродинамики, которая носит название газовой динамики, й 3. ПОНЯТИЕ О ГИДРОДИНАМИЧЕСКОМ ДАВЛЕНИИ В ДАННОЙ ТОЧКЕ ЖИДКОСТИ Выделим на поверхности В рассматриваемого объема жидкости (фиг.

2. 3) элементарную плошадку ЬВ. Пусть на эту плошадку действует результирующая сила воздействия АР со стороны окружающей жидкости. Эта сила в и де а л ь н ой жидкости будет ориентирована н о р м а л ь н о к поверхности элемента АВ, ибо в противном случае имелась бы касательная составляющая, которая, будучи отнесена к пло- аР щади ЬВ, даст касательное напряжение, име- 8 нуемое напряжением трения, существующее лишь в в явкой жидкости, Для определения интенсивности воздействия окружающей жид- ад кости на точку А площадки будем стремить площадь ЬВ к нулю, т.

е. стягивать площадку к точке А, и рассмотрим предел отношения фиг. 2 з. сила гидро. ЬР динамического дввле!пп — = р. (2. б) вия в жидкости. $- вьз Этот предел называется гидродинамаческам давлением в данной точке. Очевидно, размерность гидродинамического давления [р) = [кг/мв). Атмосферное давление обычно измеряется барометром в миллиметрах ртутного столба и обозначается буквой В. Нормальным атмосферным давлением считается давление Вв=7бО мм рт. ст. В аэродинамике принято измерять давление в килограммах на квадратный метр или в мм рт. ст.

Часто при расчетах, например, авиадвигателей, пользуются также технической атмосферой, равной 1 кг7смв Глава ЕС Основные понятия гидаоавоодинаиики 30 В метеорологии пользуются абсолютной единицей давления баром. Бар равен дине, отнесенной к квадратному сантиметру и умноженной на 10', т. е, бар=!0' дина/см'. На практике часто применяют единицу давления миллибар, равную одной тысячной бара. Между единицами измерения давления существуют следующие соотношения: 1 от=760 мм рт. ст.=!,ОЗЗЗ кг/см'=10 ЗЗЗ кг/м'= =1О 333 мм вод, ст, 1 кг/ела=10 000 кг/ма=735,6 мм рт. ст.

1 1 миллибар=дина 10'/см' 10г= — кг/см' 98,1 р миллибар= !,33 В мм рт, ст. й 4. КЛАССИФИКАЦИЯ СИЛ, ДЕИСТВУЮШИХ В ЖИДКОСТИ Силы, действующие в жидкости, принято разделять на силы поверхностные и силы массовые. Выделим в жидкости некоторый произвольный объем )Г, ограниченный замкнутой поверхностью Б (фиг. 2. 4).

В результате воздействия на объем )Г окружающей У /т жидкости по его поверхности Б будут распределены определенным образом касательные (если жидкость вязкая) и нормальные напряжения. Эти внутренние, распределенные по поверхности объема силы, обусловленные наличием О жидкости вокруг рассматриваемого объема, называются поверхностными силами. Как видим, силы гидродинами. ческого давления являются поверхностными силами. Кроме того, на выделенный объем жидкости будут действовать силы, не зависящие от того, существуют ли рядом с ним другие частицы жидкости и распределенные по всему объему )Г.

Такие силы называются объемными или массовыми. К массовым силам принадлежат сила тяжести, электромагнитные силы, центробежные и др. Примем следующие обозначения для массовых сил. Будем относить массовую силу к единице массы, а ее проекции на оси координат обозначать через Х У, Х.

Очевидно, что Х, У, Х вЂ” проекции ускорения массовой силы на координатные оси. Например, если на массу т частицы жидкости будет действовать сила тяжести, являющаяся массовой силой, то проекции этой массовой силы на оси координат в принятых обозначениях равны: Х=О; К= — — '= — д; Х=О. р" д Неэависимость давления в итреальной жидкости от направления 3! й 5. НЕЗАВИСИМОСТЬ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ДАВЛЕНИЯ В ИДЕАЛЬНОИ ЖИДКОСТИ ОТ НАПРАВЛЕНИЯ Рассмотрим в движущейся идеальной жидкости бесконечно малую частицу в форме элементарного тетраэдра с ребрами стх, с(у, сгг. Применим к этой частице принцип Даламбера, т. е., присоединяя к у поверхностным и массовым силам, действующим на данную частицу, сапы инерции, напишем условие ду равновесия указанных сил.

На каждую грань тетраэдра будут действо- й,х вать поверхностные напряжения ,г (гндродинамическне давления) Р, Р„ Р.-, р„, являющиеся результатом воз- я действия окружающей жидкости на данную частицу. Массовые силы (в том числе и инерционные), действующие на тетраэдр, будут величи- гт нами третьего порядка малости вви фат. К 5. Распрелелеаие поаерлду их пропорциональности объему ностяых сая ао элементарному рассматриваемой частицы в отличие тетраэлру.

от поверхностных сил, являюшиссся малыми второго порядка, Поэтому уравнения равновесия по осям координат можно написать в следующем виде: Р,В5,— р а5 соз(п, х)+беск. мал. третьего порядка=О, реа5в — Р а5 соз(п, у)+беск, мал. третьего порядка=О, Р,а5л — Р а5 сов(п, г)+беск. мал. тРетьего поРЯДка=О, где а5, А5„, а5„В5 — площади граней, соответственно нормальных осям х, у, х н нормали п. Так как В5 сов(п, х) =А5ть о5 сов(п, у) =а5„, а5 сов(п, «) =а5., то в пределе, при стягивании элементарного тетраэдра в точку, будем иметь Р,— Р.=О, Р— Р =О, Р: — Р.=О, откуда Ре=Ри=Рт=рь=Р.

(2. 7) Таким образом, гидродинамрческое давление в произвольной тонне идеальной жидкости не зависит от направления и в данной ~очке жидкости в фиксированный момент времени является вполне определенной величиной, т. е. является скалярной функцией только координат и времени: р=)(х, у, а, 1), Глава П1 КИНЕМАТИКА ЖИДКОСТИ й к метОд эйлеРА Задача кинематического изученвя движения жидкости заклю- чается в определении в каждой точке движущейся жидкости для любого момента времени т значенмй скорости. Зная величины ско- ростей, можно, как будет показано в дальнейшем, найти распре- деление давления, а следовательно, и силы, действующие в жидкости, Движение жидкости можно изучать двумя путями.

Первый путь, называемый методом Эйлера, состоит в опреде- лении скорости в той или иной точке пространства, заполненного движущейся жидкостью. Это означает, что в методе Эйлера фикси- руется не частица жидкости, а точка пространства с координатами х, у, г и исследуется изменение скорости в этой точке с течением времени. Таким образом, метод Эйлера заключается в выражении скоростей частиц в функции от времени 1 и координат х, у, г точек пространства, т. е.

в задании поля скоростей. Совокупность вели- чин х, у, г, 1 называют переменныни Эйлера, Следовательно, дви- жение жидкости по методу Эйлера задается следующим образом: о,=1(х, у, г, 1), о„=1.(х, у, г, 1), (3. 1) о,=~з(х, у, г, 1). Предполагая движение жидкости непрерывным, будем считать указанные функции однозначными, непрерывными и дифференци- руемыми функциями координат х, у, г и времени й В таком случае для нахождения траектории жидких частиц следует в уравнениях (3. 1) заменить о„ о„, о, соответственно пх ну их через —, — и — и интегрировать систему дифференциальных ~й Ж ~й уравнений — =Л (х, у, г, 1), у=у',(х,у, г, 1), — '=У,(х, у,, 1).

(3. 2) зз о Л Метод Эйлера После интегрирования получим уравнения к=т, (г, а, Ь, с), у=~а»(С, а, Ь, с), а=чг(г, а, Ь, с), (3. 3) содержащие три произвольные постоянные а, Ь, с, значения которых определяются из начальных условий (см. ниже). Исключая из этих уравнений время г, найдем уравнение траектории жидких частиц. При определении проекций ускорения жидких частиц в переменных Эйлера дог тв йт йг'» тог Ж следует учесть, что о„о„о, в силу уравнений (3. 1) являются функциями х, у, з, где х, у, я в свою очередь при движении частиц жидкости зависят от ~. Следовательно, используя правило дифференцирования сложной функции, будем иметь дог до.г га дт дог йх дгг ду дог дг дх йт — — + —— ду йт дг га или, так как йх — =о., то дог- дог.

до.г дог тсг * +~г +~у +~г д т д х г д у де Аналогично (3. 4) Следует еще раз отметить, что когда берутся полные производные (3. 4), то учитывается не только изменение времени т, но и из- а Лаоааииамииа дог ьо, =— дт д~» тог 1 дт дог дог дог +о„— +о — +о,—, дх г ду дг дог до дог ог +о +~» дх оду дг 34 Глава Ш Кинематика жидкости й Я. МЕТОД ЛАГРАНЖА Второй путь изучения движения жидкости, называемый методом Лагранжа, в отличие от метода Эйлера рассматривает движение индивидуальных жидких частиц вдоль их траектории.