книга (Аржаников Н.С., Мальцев В.Н., 1956 - Аэродинамика), страница 12

Напишем уравнение этого шара в виде х, +У1з+ ха=ад 1 у 7, Движение жидкой частицы Обозначим через хз, у«, г«координаты (относительно центра 0), которые буде~ иметь точка )т' частицы через бесконечно малый промежуток времени йт. Тогда, ограничиваясь рассмотрением только движения деформации, на основании (3,31) можно написать дФ де, Хз=»1 + — йГ=Х1+ — Х, йт, дх1 дх дФ дст Уз-У1+ — йг=у1+ — у, йт дуз ' ду дф дт тз = «1+ — йг=хт + — ' г, йг, д«1 дх дФ дФ дФ ибо — , — и — — скорости деформации.

дх1 ' ду1 д«1 Отсюда х= 1 до» 1+ — йг дх Уз Ут= 1+ — тут ду г« до« 1+ — йг дг Подставляя значения х„уь х, в уравнение шара, находим хз 2 2 хз Уз »2 а«(1+ — йт а«1+ — тйг ат 1+ — «йт Это уравнение является уравнением зллипсоида с полуосями: а (1+ — йг ), а (1+ — Ш), а (1+ — йг ), Так аким образом, бесконечно «1алый шар, деформируясь, обращается в бесконечно ма««1й эллипсоид, оси которого направлены по главным осям деформации (см. фнг. 3.8). 52 Глава 1И, Кинематика жидкости Найдем изменение объема рассматриваемой бесконечно малой частицы, Для этого необходимо из объема эллипсоида вычесть объем шара: ссэг= — аз ~1+ — сГГ )(1-1 — '" сгс)(1+ — х сст ) — — иаз = 4 /дох доз дох1 4 = — каз ~ — + — т+ — ) Ш= — яазй дс, 3 ~дх ду дх) 3 до, дог дох где 0= — + — + — — коэффициент кубического расширения.

дх ду да Если жидкость несжимаема, то коэффициент кубического расширения 0 =0, и мы получим известное уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости дох дог дох — — О + — + дх ду дх й 8. ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ Для большого количества задач аэродинамики и газодинамики весьма важно изучение потенциального движения жидкости. Потенциальньсм движение,и жидкости назьсвается безвихревое движение, т. е. такое движение, в котором компоненты вихря ш„ш„, ш, равны нулю. Следует отметить, что в действительности в связи с неидеальностью жидкости в ней постоянно наблюдается образование вихревых движений, Причиной этого служит ряд факторов, в том числе главнейший — наличие внутреннего трения в жидкости. Несмотря на это, схема безвихревого потенциального движения дает близкую к действительности картину во многих случаях, важных для решения практических задач.

Итак, сделав допущение об отсутствии завихренности потока„ рассмотрим основные свойства потенциального течения жидкости, Исходя из определения потенциального движения жидкости будем иметь 1 сдох дох 1 - — ( — — — ')=О, 2 Гдн дх! 1 с'дог дох сг 2 ~дх ду) В векторной форме это условие напишется в виде в=О или го1 о=О. оЗ д В. Потенциальное движение жидкости Из полученных выражений следует: де» де» (3. 32) Ф дк дх де де, дх ду Функция ы носит название потенциала скорости и играет большую роль в аэродинамике'. Раскроем ее полный дифференциал, тогда получим о йх+ о ау + о, йг = — Ых + — йу + — Ыг. дт де де дх ду де Сравнивая коэффициенты при йх, йу, йг, будем иметь т.

е. проекция скорости на координатную ось равна частной производной от потенциала скорости по соответствующей координате. Это важное свойство потенциала скорости сохраняется и для произвольного направления. В самом деле, рассмотрим какую- нибудь точку М в жидкости, находящуюся на произвольной кривой (фиг. 3.

9). Пусть скорость в точке М равна о. Проведем в точке М касательную к кривой. Так как мы рассматриваем потенциальный поток, то существует потенциал скорости р и можно написать: дт дт дх др ду дт ~й дз дх дз ду дз дв дз =о~сов(о, х) — +сов(о, у) — + сов(о, г) — 1. дх оу д»1 дз вз дз " (3. 33) н нымн Нулем прецполагатгч что функция т непрерывна вместе со своими частик производными цо второго порядка включительно.

Рассмотрим теперь дифференциальный трехчлен о,их+ оейу+, +о,йг. Как известно, равенства (3. 32) являются необходимыми и достаточными условиями того, чтобы этот дифференциальный трех- член был полным дифференциалом некоторой функции т(х, у, г), т. е. оытх+оьйу+о„йг=с1 р(х, у, г). Глана Ш, Аинеиагика жидкости Так как — =сов(з, х), — = Их ау да дн =сов(з, у), — =сов(з, г), ае то окончательно будем иметь — '= о соз (о, з) = о,.

(3. 34) др дл Аналогично для произвольного направления г др — = о сов (о, г) = о„(3. 35) дг др З г д 1 (3. 36) дт 1 дт Ф де г дз где о„ о. — проекции вектора скорости о точки М на направление полярного радиуса-вектора г и на направление, перпендикулярное полярному радиусу-вектору (фиг, 3. 10). Фиг. 3.10. Составляющие око рости в полярных координатах, Фиг 3. 9, К выводу основного свойства потенциала скорости. В заключение отметим, что рассмотренная в предыдушем пара. графе квадратичная функция Ф является, очевидно, потенциалом скоростей деформаций, так как частные производные от нее по координатам равны соответствуюшим компонентам скоростай дефор- т. е.

проекция скорости на произвольное направление равна произ- водной от потенциала скорости по этому направлению. В частности, для полярных координат на плоскости будем иметь э 9. Уравнение неразрывности в декартовык координатак маций (см. формулы (3. 27)). Следовательно, деформационное дви- жение жидкости есть потенциальное движение в бесконечно малой области. й 9. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ Выше было показано, что уравнение неразрывности в общем виде можно написать следующим образом: (3. 37) В случае если жидкость несжимаемая, т.

е. Р=сопз(, уравнение неразрывности примет следующий вид: — + — + — =О. дтт д'-т д'т дке ду' дее Указанное уравнение носит название уравнения Лапласа, а функция Р, удовлетворяющая этому уравнению„— гарлтонической Функции. Таким образом, для потенциального потока несжимаемой жидкости потенциал скорости будет являться гармонической функцией координат х, у, г. Уравнение Лапласа (3.38) является линейным дифференциальс ным уравнением в частных производных второго порядка. Методы решения этого уравнения в настоящее время достаточно хорошо изучены, Каждому, конкретному потенциальному потоку соответствует свой потенциал скорости, т, е. решение уравнения (3.

38). Так как потоков существует бесконечное множество, то уравнение (3. 38) имеет бесчисленное множество решений. Возникает вопрос, как определить решение уравнения (3.38), т. е. потенциал о, из этого бесчисленного множества решений, соответствующий данному конкретному потоку. Для того чтобы найти то решение уравнения Лапласа, которое отвечает телу заданной формы с здданным условием на внешних границах потока, вводятся так назтяваемые краевые, или граничные условия.

Предположим, что какое-нибудь твердое тело, поверхность которого задана уравнением 7'(х, у, г) =О, обтекается потоком, скорость которого на бесконечности (г=оо) параллельна оси х и равна и . В таком случае необходимо, чтобы при г=оо скорости ок=п„, пег и =О. (3. 38) Подставляя значения компонентов скорости по формулам (3. 33), будем иметь 56 Глава Ш, Кинематика жидкости Предполагая, что поток обтекает тело безотрывно, т, е. в каждой точке тела жидкость скользит вдоль него, имеем второе граничное условие: на поверхности тела о„=О.

В случае плоского потенциального движения уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости (уравнение Лапласа) примет вид д т дтт — + — =О. дхз ду' Отсюда можно заключить, что только гармонические функции могут определять потенциальное течение несжимаемой жидкости. й 1О. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОИ ЖИДКОСТИ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ НА ПЛОСКОСТИ Фиг, 3.11. К выводу уравнения неразрывности в полярных координатах, Рассмотрим плоский потенциальный поток несжимаемой жидко.

сти. Выделим в потоке бесконечно малую площадку АСРВ, ограниченную двумя бесконечно близкими полярными радиусами и двумя бесконечно близкими окружностями радиуса т и «+Нт (фиг. 3. 1!). Вычислим количества жидкости, втекающей через грани АВ и АС и вытекающей через грани С0 и .0В. У Через грань АС втекает в единицу времени масса жидкости, равная Ю ронге(6, с1Г а через грань АВ— С о ро,гтд Через грань РВ вытекает в единицу т А времени масса жидкости бй) Г д в .и т 0 рэ,т с(9+ — (ро,г М) й', аналогично через грань СР вытекает масса рэ, Ыт + — (ро, Иг) с)8. д Для несжимаемой жидкости условие неразрывности требует, чтобы количества вытекающей и втекающей жидкости были одинаковы.

Приравнивая вычисленное количество втекшей жидкости количеству вытекшей, будем иметь — ( ро,г й 6) гУГ + — (ро, стлг) 06 = О. дт дВ Заменяя о, и о, их выражениями по формулам (3. 36), получим р П, Циркуляция скорости е потенциальноль потоке 57 Выполняя дифференцирование и деля почленно на г, окончательно получаем дтт ! дт 1 дтр — + — — + — — =О. (3. 39) дг' г дг г' дуя Уравнение (3.

39) представляет собой уравнение Лапласа в полярных координатах на плоскости. а 11. циРКУЛЯЦИЯ СКОРОСТИ В ПОТЕНЦИАЛЬНОМ ПОТОКЕ Выражение для циркуляции скорости в потенциальном потоке приобретает простую форму, В самом деле, если мы напишем выражение для циркуляции вдоль какой-нибудь произвольной дуги АВ Г = ( ю„тТх + пт ату + о с(х АВ и подставим вместо о„о„, вл их выражения по формулам (3.

33), то получим тьх = ) ты" = Т дт Г = ) — стх+ — ату+ Гдт дт ,~ дх ду (3. 40) Фиг 3. !2. К расчету циркуляции ско- рости в потенциальном потоке, 9=0, угол. Требуется вычислить (фиг. 3. )2): Г по кругу С, уравнение которого ха+уе=ттв; Г по кругу Сь уравнение которого (х — а) е+уа =)ра где 0 — полярный а) циркуляцию б) циркуляцию где а)В, АВ Это означает, что циркуляция вдоль дуги АВ не зависит от формы дуги и равна разности значений потенциала скорости в конечных точках дуги. В случае когда точки А и В совпадают, т, е.

контур замкнутый и функция о является однозначной функцией координат, циркуляция становится равной нулю. Следует отметить, что потенциал скорости может быть как однозначной, так и многозначной функцией координат. Поясним зто на следующем примере. П р и м е р. Потенциальный скорости плоский поток задан потенциалом 58 Глана !В. Кинематика жидкости Решение.