книга (Аржаников Н.С., Мальцев В.Н., 1956 - Аэродинамика), страница 16

в какой-нибудь точке М потока. Так как др / г201 о,= — = — о„сов 0~ 1 — — ~, дг г г/ дт у т1 о,= — — =о„яп0 ~1+ — )+ —, г дн (, г-'! 2кг то для точек, расположенных на цилиндре, где г=гв, (о )г=~ = О, Г (о,)... =2о„яп0+ —. Первое выражение указывает, как и в предыдущем случае, на безотрывность обтекания, а второе дает выражение для скорости, о на цилиндре: р 20. Циркуляционное обтекание кряглого цилиндра откуда Г Б1п 8 яр 4ко та (3. 75) Очевидно, этому значению синуса будут соответствовать два угла, расположенные (при Г)0) в третьем и четвертом квадрантах (где ~У синус отрицателен) и определяющие положение критических точек А и В.

Как видно из формулы (3.75), с увеличением Г критические точки будут смещаться вниз. В случае когда Г=4ко„га, получаем з)пй, = — 1, Это означает, что критические точки слились в одну точку, и картина потока будет иметь вид, изображенный на фиг. 3.27. При дальнейшем увеличении Г, т, е при Фиг. 3. 26. Пиркуляционное обтекание круглого цели лра (Г (4ко га). Г)4но га так как синус не может быть больше единицы, критические точки сходят с цилиндра, и поток будет иметь вид, изображенный на Фиг, 3.27.

Циркуляционное оотекание Фиг. 3.28. Гиркуляционное обте. круглого цилиилра (à — 4ко г„) канне кругл~го цилинлра (Г>4г „г), фиг, 3. 28, В противоположность предыдущему случаю, когда вся омывающая цилиндр жидкость уходила в бесконечность, в этом случае часть жидкости циркулирует вокруг цилиндра, причем эта 0О Глава Ш. Кинематика жидкости циркулирующая жидкость оказывается отделенной от остальной жидкости замкнутой линией тока. В заключение убедимся в том, что в рассматриваемом случае циркуляция скорости вокруг цилиндра будет в точности равна циркуляции вихря Г. Действительно, интегрируя по окружности радиуса г, будем иметь 22п о,ей= з„1+ — в з!п0-1- — гс10=Г.

о Глава 1Ч ОСНОВЫ ГИДРОДИНАМИКИ ИДЕАЛЪНОЙ ЖИДКОСТИ й 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОИ ЖИДКОСТИ В ФОРМЕ ЭИЛЕРА Как было указано в э 1 главы !, динамика идеальной жидкостн была разработана знаменитым математиком и механиком, членом Российской Академии Наук Л. Эйлером в 1755 г., впервые давшим основные дифференциальные уравнения ее движения. Выведем эти дифференциальные уравнения для произвольной идеальной сжимаемой жидкости, двигающейся относительно прямоугольной системы осей координат Охуг. Из всей совокуп- Р ности двигающихся жидких частиц выделим в данный момент какую-нибудь частицу жидкости в форме элементарногб прямоугольного параллелепипе да с измерениями г»х, г»у, с»з (фиг 4.

1). Очевидно, если ли. нейные измерения параллелепипеда стремить к нулю, то в пределе рассматриваемый параллелепипед стянется в точку. Задачу получения динамических уравнений для движу- шейся жидкости будем решать, используя принцип Даламбера. Фиг, 4.1. К выводу дифферениивльных Считая, что в данный мо- .уравнений лвижении в Форме Эйлера. мент времени бесконечно малая жидкая частица как бы отвердела, остановим ее и рассмотрим условия равновесия этой остановленной частицы Как известно, условиями равновесия являются шесть уравнений равновесия — три уравнения для проекций сил на оси координат н три уравнения для проекций моментов, Чтобы составить эти уравнения, нужно разобраться, какие силы будут действовать на рассматриваемую частицу жидкости. На грани частицы будут действовать поверхностные силы Р„...Р„являющиеся результатом воздействия на частицу окружаю- 6 АЭродинамика 82 Глава !1т.

Основы гидродинанини идеальной жидкости щей жидкости (см. фиг 4. 1). Величина каждой нз ннх определится, очевидно, произведением среднего гидродинамического дав. ления р, действующего по соответствующей площадке, на ее площадь сЬ.

Помимо поверхностных сил, на частицу будут действовать массовые силы, распределенные по всему ее объему, т. е. воздействующие на каждую точку внутри~ частицы (например, сила тяжести). Проекции массовых сил, отнесенных к единице массы частицы, обозначим через Х, У и Е. Тогда, чтобы получить проекции~ массовых сил, действующих на всю частицу, нужно величины Х, У, Х умножить на массу частицы, равную р аехаеу с(г. Таким образом, проекции массовой силы могут быть написаны в виде рХ «(х с(у с(г, р У с(х с(у с(г, о Я е(х е(у с(г, Установив, какие силы действуют на частицу жидкости — поверхностные силы Р,, Р„,Р, и массовые силы Х, У, Л,— для получения уравнений равновесия нужно применить принцип Даламбера, Согласно этому принципу действующие на частицу поверхностные и массовые силы в каждыи момент времени уравновешиваются силами инерции; Найдем величины сил инерции.

Обозначим через о„еи и и, проекции скорости бесконечно малой частицы по координатным осям, Тогда проекции ускорения частицы могут быть написаны в виде дол, йоу йое — — и ей ат ей а'ол — р — е(х с(у с(г, — о — с(х с(у с(г. сй сй дол — р — й(х с(у а'г, ш Для удобства последующих выкладок составим таблицу проекций на координатные оси всех полученных выше сил (табл.

4. 1). Чтобы получить уравнения равновесия, нужно приравнять нулю сумму поверхностных, массовых и инерционных сил. Для этого просуммируем сначала первую строку таблицы и приравняем сумму нулю, затем то же сделаем со второй строкой и, наконец, с третьей. В результате будем иметь следующие три уравнения равновесия: (р, — р,) с(у Иг + рХ Ых Ыу Ыг — р — "" е(х ау с(г = О; сй йиу (р, — р,) с(г аех+ р 1' сгх с(у сгг — о — ссх Ыу аег = О; сй (Рв — Р,) с(хЫУ+РЯаехс(Ус(г — Р— 'аехЫУетг=О. до щ Известно, что сила инерциями численно равна произведению массы на ускорение, но направлена обратно ускорению. Следовательно, для проекций инерционной силы будем иметь следующие выражения: д 1.

Уравнения движения идеальной жидкости в форме Эйлера ЬЗ Прежде чем преобразовывать эти выражения, заметим следую1цее. Когда составляются уравнения равновесия твердого тела, пишутся также три уравнения для моментов относительно координатных осей. Очевидно, что в данном случае писать эти трн уравнения не надо, потому что в пределе частица будет стягиваться в точку и все силы будут сходящимися, т е.

уравнения моментов тождественно обратятся в нуль. Таблица 4. 1 Инерционные Силы в проекции на Поверхностные в Массовые — р — йх ауйл йт йоу — р — йх йу и» йт йов — р — йх йу с1» йг рсйуй» вЂ” Р» йУ й» Рв — Рв и» йх р Хйхйу й» Ось х р )'йхйуй» Ось у Рв йх йУ Рвй" йУ р. Е с1х йу й» Ось» Следовательно, искомая разность р, — ра = р — р — — сух = — — с(х.

др др дх дх Подставим найденное выражение для рт — р, в первое уравнение, Получим — — Ых Фу Ыз+ рХ й'х с(у Ж вЂ” о — Ых Ыу сЬ = О. др а'6» дх йт ' Здесь рь р», р», рв, рв, рь — гидродннамические давления на соответствую- вФ площадках (см. фиг. 4.1). Для преобразования полученных трех уравнений вычислим прежде всего разность р,— ра. Так как давление в идеальной жидкости не зависит от направления, то, следовательно, давление по трем взаимно ортогональным бесконечно малым площадкам, проходящим через одну и ту же точку, одинаково. Обозначим его через р.

Тогда, очевидно, р,=р,= =рв=р (см, фиг, 4. 1), В общем случае давление в жидкости есть функция координат и времени, т. е. р=р(х, у, г, 1). Поэтому давление ра на правую грань параллелепипеда, отстоящую от левой грани на расстоянии йсх, равно ра — — р(х+с(х, у, г, 1). Разлагая функцию р в ряд Тейлора и удерживая в разложении только члены первого порядка малости, получим р,=р(х, у, з, с)+ ' ' ' Ых=р+ — с)х. дх дх Глава 1!т. Основы гидродинаники идеальной жидкости Сокращая на ах, йу, атх, будем иметь следующее уравнение: др йо, — — +рХ вЂ” р "=О. дх М Это уравнение можно переписать иначе: йох 1 др — =Х вЂ” — —.

йт р дх Два другие уравнения получаются аналогично. В результате будем иметь следующую систему дифференциальных уравнений: ".=х ™, 1 й! р дх (4. 1) ти р ду г сЧ р де Полученные уравнения являются основными дифференциальньт- ми уравнениями движения идеальной жидкости в форме Эйлера. Эти уравнения применимы как к несжимаемой жидкости, так и к сжимаемой, т. е. к газу, Различие будет только в характере изме- нения плотности р.

Если жидкость несжимаемая, то р — величина постоянная; для газа р будет величиной переменной, Таким образом, эти уравнения являются исходными уравнения- ми для построения не только гидроаэродинамики, но и~ газовой ди- намики. Преобразуем уравнения Эйлера. Для этого выразим проекции ускорения через проекции скорости согласно формуле (3. 4). Тогда получим следующие дифференциальные уравнения, являющиеся уравнениями Эйлера в развернутом виде: до„дох до„до„1 др — "+о — +о — "+ и,— "=Х вЂ” — —, д! дх у ду дх р дх дт 'тдх у ду ох р ду дое доь до отт 1 др дт дх у ду дг р дг ! В частном случае идеальной несжимаемой жидкости (р=сопз1) основная задача гидроаэродинамики заключается в определении в каждой точке двигающейся жидкости и~ в любой момент времени 1 трех проекций скорости о„ ото о, и давления р, т.

е, в определении четырех функций: о.=Г (х, у, х 1) ои=т'а(х у а ь) оь=1е(х, У, Я, 1), р=1 (х, у, х !). 4 2. Уравнения двивоения идеальной жидкосггг в форме Громеко 88 Чтобы найти эти четыре функции, нужно составить систему из четырех уравнений. Такими уравнениями будут три уравнения Эйлера (4. 2) и уравнение неразрывности дол доу дол — + — + — =О. дх ду дх й 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ В ФОРМЕ ГРОМЕКО Профессор Ипполит Степанович Громеко (185! — 1889 гг.), ру- ководитель кафедры механики Казанского университета, был одним из первых русских гидромехаников.

Ему принадлежит ряд выдаю-- щихся работ в этой области, В частности, И. С. Громеко впервые в своей докторской диссертации в 1881 г. предложил новую весьма удобную форму дифференциальных уравнений дни>кения (значи- тельно позже указанных английским ученым Лэмбом). Для вывода уравнений движения в форме Громеко обратимся к дифференциальным уравнениям движения в форме Эйлера: 1 др дол до до„дол Х вЂ” — — = — х+ол +и,,— "+ол=', р дх дг дх Я ду де 1 др две до до до )' — — — = — +о — -1- о — -1- о,—, р ду дг дх у ду дх 1 др дол дол дол доь х.— — — = — '+Чг — -г-~ — + Ф р дх дг "дх ' У ду дх Преобразуем первое уравнение Эйлера. Прибавим и вычтем в правой части первого уравнения следующие величины: двь, дг» О г Ол —.