книга (Аржаников Н.С., Мальцев В.Н., 1956 - Аэродинамика), страница 17

Уд' дх Тогда получим 1 др дол / дол доу дол1 Х вЂ” — — = — + 1 о„— + Ф вЂ” + чг, — ) + р дх . дг " дх У дх дх) Нетрудно усмотреть, что в первой скобке стоит частная производная по х от половины квадрата скорости. В самом деле, д ог1 д г нач-оч+ог 1 до„до до дх 2 ) дх)1 2 / дх У дх ' дх Поэтому Глава т'У. Основа гидродиномоко идеальной жидкости й 3. НАЧАЛЬНЫЕ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ Интегрируя основные дифференциальные уравнсяия гидродинамики„получим решения, содержащие произвольные функции ~и произвольные постоянные, Для их определения необходимо ввести до; полиительиые условия, носящие название начальных и граничных условий.

Рассмотрим йрежде всего начальные условия. Начальные условия заключаются в задании поля скоростей в начальный момент времени с=О. Это означает, что найденные решения о,(х, у, г, 1), о„(х, у, х, 1), о,(х, у, х, с) должны при с=О обращаться в заданные наперед функции координат )т, )о, )з, т. е. т„(х, у, х, 0) =)'т(х, у, х), о (х, у, х, 0) =~,(х, у, х), .оь(х, у, е, О) =уз (х,,3/, х). (4. 4) Как нетрудно усмотреть, начальные условия необходимы прн решении задач для неустановнвшегося движения жидкости. Граничные условия, играющие 'огромную роль в проблемах гидро- и аэродинамики, делятся на два вида условий — динамические, относящиеся к силам, и кинематические, относящиеся к скоростям.

Динамические граничные условия, выполняющиеся на свободной поверхности жидкости, сводятся к равенству давления П внешней среды на поверхности и давления р жидкости у самой поверхности, т. е. к равенству р= — П. (4. 5) Обратимся к кинематическнм граничным условиям, Рассмотрим, каковы будут граничные условия для неподвижной стенки, уста- ловленной в потоке жидкости. Пусть уравнение стенки имеет вид ~(х, у, х) =О. (а) Выражения, стоящие в скобках справа, как известно, являются удвоенными угловыми скоростями вращения: 2оь, и 2ы, [см. формулы (3. 24)).

В таком случае первое уравнение Эйлера и по аналогии два остальных напишутся в следующем виде; ь дх дГ дх(,2) г ду дь' ду 2 р де д1 дх ~ 2 / 1 Эти уравнения носят название дифференциальных уравнений движения идеальной жидкости в форме Громеко. Достоинством этих уравнений является выделение членов, учитывающих вихревую часть движения. Э 3 Начальные и гранитные усгоеия 87 Фиг.

4.2. Грг~ничное усяо. (4. 7) вне нв неподвижтгой стенке. Представим это условие аналитически. Допустим, что за бесконечно малый промежуток времени Й стенка сместилась и точка М(х, у, «) стенки переместилась в точку М'(х+г(х, у+г(у, х+г(х). Так как точка М' находится на стенке, то ее координаты должны удовлетворять уравнению (б), т. е. 7(х+г(х, у+с(у, а+ага, г+агг) =О. Разлагая функцию ) в ряд и удерживая только члены первого порядка малости, получим 7'(х, у, х, 1)+ — г(х+ — Ыу+ — г(х+ — И=О, дУ ду дУ ду дх ду дг дг откуда, деля почленно на Ж и учитывая уравнение (б), дУ дх дУ ду дУ дх + О. д1 дх дг ду дг дх и1 Так как — =Ф ду у ст дх — Ф г ст~ дх — =Ф .т ст где о,, о„„, о,„— проекции скорости то)ек стенки, то предыду- щее выражение примет следующий вид: ду ду дУ дУ вЂ” е + — и + — и дх "с' ду У' дг " д1 (в) Если скорость о частиц жидкости в какой-либо точке М стенки (фиг, 4.2) будет иметь составляющую о„, направленную по нормали а к стенке, то это означает, что будет либо происходить отрыв жидкости от стенки, либо стенка будет проннцаемой, Таким образом, условие безотрывного обтекания и непроницаемости стенки приводит к требованию о„=О (вдоль стенки), (4.

6) и которое и является кинематическим граничным условием для случая неподвижной стенки, пз Допустим теперь, что стенка подвижная и ее уравнение имеет вид Дх, у, х, ~) = О. (б) Обозначая через о„ нормальную ско- Ф рость точек самой стенки, получим граничное условие (условие безотрывности обтекания) в таком виде: ВВ Глава 1У.

Основы гидттодинаиики идеальной жидкости Используя известные формулы для направляющих косинусов углов нормали дт дт' дт соа(п, х)= — ", соз(п, у)=='-, соз(п, а)= ьт Ф Аь где и формулы о,=о соз (о, х), о„=о соз (о, у), оь=о соз (о, а), уравнение (в) можно представить в следующем виде: Ио„(соз(э „х) сов (и, х)+сов(о„, у) соз(п, у)+ + соз (о„, а) соз (и, а) 3 = —— ду дт или Жо„соз(о„, п)= — —. дт дт Отсюда дУ д~ о вст Аь Следовательно, кинематнческое граничное условие для случая подвижной стенки окончательно примет следующий внд: дт' дс ~и Ов ст ~'(-'-')' (-'.;)' )-.".)' В частном случае, если стенка неподвижная, то — =О, и кинедт' д~ матическое условие (4.

8) сводится к ранее установленному (4. 6): оь= О. (4. 8) то„= ото= ыь=О. й 4. ИНТЕГРАЛЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ Дифференциальные уравнена~я движения в форме Эйлера илн Громеко не интегрируются в общем виде. Только в частных случаях, когда движение жидкости: 1) потенциальное и 2) движение жидкости установившееся, можно найти первые интегралы дифференциальных уравнений Эйлера. Рассмотрим сначала случай потенциального неустановившегося движения. Если движение жидкости потенциальное, то, как известно, Э 4, Интегральь дифференциальных уравнений движении 80 При этом уравнения (4.

3) Громеко упрощаются и принимают следующий вид: Преобразуем эти уравнения следующим образом. Как известно, при потенциальном движении дт дэ ~х х дх» ду дт дх ду ду д! Тогда уравнения Громеко примут вид (4. 9) Представим первые члены правых частей в виде частных производных по координатам от некоторой функции Р!х, у, я): 1 др др 1 др др 1 др др р дх дх ь ду ду ' р дх дх Умножая эти выражения соответственно на атх, т4у, а!г и складывая, находим — !! — й!х -)- — ььу -)- — Дг) = — а!х+ — Иу+ — ьй 1 ( др др, др ! др дР дР ь ! дх ду дх ) дх ду дх Используя эти соотношения, а также свойство независимости смешанной производной от порядка дифференцирования, можно дих двт дьл частные производные, —, — написать в следующем виде: дт ' дг д! во Глава /$', Основьс гидиодинаники идеальной жидкости или /Р= — "', т откуда (4.

10) Очевидно, функция Р(х, у, в) будет определена, если задана зависимость р от р, ибо в этом случае интеграл (4. 1О) может быть вычислен, Движение, при котором плотность является однозначной функцией только давления, называется баротропным. Для баротропного движения интеграл (4. 1О) является функцией только давления, В аэродинамике обычно рассматриваются такие процессы, когда плотность р выражается непосредственно через давление, т. е.

когда функция Р(х, у, а) действительно существует. Вводя эту функцию в уравнения (4. 9), находим Для интегрирования этих уравнений умножим нх соответствейно на с/х, с(у и с/в и сложим: Хс/х+ )'с(у+ЕЫх= — (Р+ — -+ — ~1 с1х+ дк( 2 дт/ + д (Р о'+ дт) ~ + д (Р+ о. + до) Выражения, стоящие в скобках,— функции не только х, у, я, но и й Поэтому, интегрируя их, будем считать, что переменное / за- креплено.

Тогда правая часть будет полным дифференциалом н, следовательно, Хс/х+ )'ду+ Ес(а=с((Р+ — + — ~). 2 дт/ Поскольку правая часть — полный дифференциал, левая часть также будет являться полным дифференциалом. Но полный диффе. ренциал левой части, представляющей элементарную работу массо вых сил, есть, очевидно, дифференциал силовой функции (/, т. е.

й(/= ((Р+ — "'+ —",). Э 4, Интегралы дифференциальных уравнений движении Такое уравнение проинтегрировать просто. Интегрируя, получаем. Р+ — + — т = У+ С(1), 2 дг где С вЂ” произвольная функция времени й Подставляя вместо Р его значение по формуле (4. 10), окончательно находим — "'+ — '"+ — дт =и+ С(1). р 2 дг (4. 11) Этот интеграл носит название интеграла Лагранжа для потенциаль ного неустановившегося движения сжимаемой жидкости.

Если~ гкидкость несжимаемая, т. е. р =сопз1, интеграл Лагранжа примет вид -Р + — + — т = У+ С (1). р 2 дг (4. 12) При установившемся движении несжимаемой жидкости произдт водная ~ =О, и произвольная функция С(1) превратится в кондг станту. Интеграл (4. 12) будет иметь следующий вид: — "+-""-=и+с. р 2 (4. 13) ' Из изложенного следует, что предположение о потенциальности потока и баротропии приводит й необходимости существовании потенциала массовых сил. Это означает, что потенциальное и баротропное движение жидкости может быть осуществлено только под действием консервативных сил, Этот и~нтеграл носит название интеграла Лагранжа — Бернулли.

Константа С будет иметь постоянное значение для всей массы жидкости '. Рассмотрим теперь, как можно проинтегрировать дифференциальные уравнения движения для произвольного (непотенциальл ного) установившегося течения жидкости. Этот интеграл впервые получил Д, Бернулли и поэтому его называют интегралом или уравнением Бернулли. Пусть жидкость движется по отношению к координатной системе Охуг. Поскольку движение установившееся, траектории и линии тока совпадают, и частица жидкости М движется по траектории, являющсйся одновременно линией тока, с некоторой скоростью о (фиг. 4. 3). За промежуток времени тгт частица жидкости проходит по траек торин элемент пути с(з.