книга (Аржаников Н.С., Мальцев В.Н., 1956 - Аэродинамика), страница 15

$18. ВИХРЬ В 5 16 были получены выражения потенциала скорости р и Функции тока ф для плоского источника: р= — 1и г, ф= — 0, 0 Е 2я 2я "де Я вЂ” мощность источника. Рассмотрим теперь такой плоский "оток, в котором потенциал скорости и и функция тока 4~ поменяются местами: е, е 2я е= — 1пг, 0 2я где Я— — некоторая постоянная, физический смысл которой для но- о потока следует определить, Глава Ш. Кинематика жидкости 72 Для определения характера течения найдем линии тока, приравняв функцию тока постоянному: ~р = — ! и г = сопа1 е 2я или г=сопз1. Следовательно, в данном случае совокупность линий тока будет представлять собой семейство концентрических окружностей с центрами в начале координат.

Найдем направление движения; для этого вычислим скорость в какой- либо точке М (фиг, 3. 21) с полярными координатамн~ г н 0. Используя полученные ранее формулы для проекций скорости на полярный ра. днус о, и на направление к нему, перпендикулярное о„ будем иметь и,= — =О, до дг и,= — — = — ) О. 1 дт О Г да 2яГ Следовательно, скорость о в точке М направлена по касательной к окруж.

ности радиуса г, и точка М соверФяг. 3.2!. Течение от вихря, щает движение по ней в сторону возрастания угла 0, т. е. против ча- совой стрелки. Таким образом, все точки жидкости двигаются по концентрическим окружностям с постоянной для данной окружно- сти скоростью, Такое движение жидкости называется плоским вихревым дви- исением, а начало координат в вихревой точкой или плоским вих- рем. Это означает, что вдоль оси х расположен бесконечно длин- ный прямолинейный вихрь, вызывающий в перпендикулярной к нему плоскости движение частиц жидкости по концентрическим окруж ностям (более подробно см.

гл, Ъ'). Выясним физический смысл постоянной 9. Для этого вычислим значение циркуляции в рассматриваемом потоке: Г=фв,йв. Подставляя найденное значение и,= — и выполняя интегрировао 2гг ние по окружности радиуса г, найдем Яя оч Д 2ог ,) 2яг 2п,! о о 73 а !В. Вихрв или т. е, произвольная постоянная Я равна циркуляции Г (как будет показано в гл. Ч, циркуляция связана с так называемым напряжением или интенсивностью вихря, вследствие чего циркуляция рассматриваемого потока будет целиком зависеть от интенсивности вихря; с увеличением последней циркуляция будет возрастать, и наоборот).

Таким образом, выражения для потенциала скорости и функции тока плоского вихря принимают вид г ф= — 0, 2я (3. 65) г ф= — 1пг. 2г. (3. 66) Приравнивая потенциал скорости о постоянному, найдем семейство эквипотенциальных линий: г р= 0=со 1 2я илн 0 =сонэ(, г О=— 2яг (3. 67) Максимального значения скорость будет достигать на поверхности круглого цилиндРа г О о 2~го т. е. совокупность эквипотенциальных линий представляет собой семейство прямых, исходящих из начала координат н ортогоиальных к линиям тока (см.

фиг. 3. 21). Примем одну из линий тока, например, окружность радиуса г=гм за твердую границу, что не нарушит характера потока, и будем рассматривать течение жидкости вне этой окружности. Тогда получим так называемое чисто циркуляционное обтекание бесконечно длинного (в направлении оси а) круглого цилиндра радиуса бь при котором все линии тока — окружности, концентричные цилиндру. Скорость и в любой точке вне цилиндра будет выражаться в следующем виде: 74 Глаеа П1. Кинематика жидкости По мере удаления от цилиндра, т. е. с увеличением радиуса и, скорость будет убывать и на бесконеч- ности о„=О. Как видно ~из формулы (3.67), скорость будет убывать по гипербо- лическому закону Г юг= — = сопз1, 2к что графически изображено на фиг.

3. 22, Таким образом, можно окончательно заключить, что потенциал Р= Г 2к Фиг, 3.22, Чисто циркуляционное обтекание круглого цилиндра. представляет собой потенциал чисто цнркуляционного потока во- круг круглого цилиндра, й 19. БЕСЦИРКУЛЯЦИОННОЕ ОБТЕКАНИЕ КРУГЛОГО ЦИЛИНДРА В настоящем параграфе рассматривается сложное плоское течение жидкости, получающееся в результате наложения друг. на друга двух изученных ранее потоков.

1. Равномерного прямолинейного потока, движущегося в направлении оси х со скоростью, равной единице: е=х; 41=у, 2. Потока, получаемого от диполя с моментом М=2: У х'+ у' х р= х+, х'+ут (3. 68) у ') =у— х'-~-у' (3. 69) Чтобы найти линии тока, приравняем функцию тока постоянной: (=у — — =С, У ха+ ут Как было выше показано .(9 13), для нахождения потенциала скорости ' и функции тока,' сложного течения нужно сложить потенциалы и функции тока исходных потоков. Следовательно, в рассматриваемом случае будем иметь следующие выражения для функций Р н р сложного потока: у 79. Бесциркуляционное обтекание круглого цилиндра 75 откуда у[(хв+ув) — 1)= С(х'+ув).

Как видим, линии тока представляют собой семейство кривых третьего порядка. Для выяснения картины течения найдем нулевую линию тока (соответствующую С=О). Для нулевой линии тока получаем два уравнения: у=о ха+ ув — 1=0, Следовательно, нулевая линия тока представляет собой ось х и окружность радиуса единицы с центром в начале координат, Принимая указанную окружность за твердую границу и ' У рассматривая течение жидкости вне этой окружности, можно трактовать получен- 01 ный поток как поток, обтекающий бесконечно длинный цилиндр радиуса единицы Линии~тока будут иметь вид, О и Х изображенный на фиг.

3.23. Ф О Покажем, что действительно на достаточно большом расстоянии от цилиндра илн, как принято говорить, нц бесконечности, скорость на- Фиг, 3.23 Бесцириуляциоииое обтекание правлена в положительную ' н цил дра сторону оси х и равна з = + 1 (о представляет собой скорость невозмущенного потока на достаточно большом расстоянии от цилиндра). Найдем проекции скорости о, и о„: ' дт х' — ув ю = — =1— дх (хв+ Ув)в ду 2ху ду (х'+ув)в нли, переходя к полярным координатам, сова  — в! пв В 2 сов В Мп В лв Переходя к пределу при г- оо, получаем (о,),= =+1, (о„),= =О. 77 б 20 Циркуллционное обтекание крцглого цилиндра Проекции скорости о, и о, в произвольной точке М в этом случае примут следующий вид (фиг.

3. 24): др 1 г тг = — = — и соз 0 11 1 — — ), дг " 1 гт) 1 дт 1' г~о '1 1' г дз 1 гк Для величины (модуля) скорости на цилиндре находим в этом слу чае следующее выражение: 0=20 )з)п9 ), (3. 72) т. е, скорость в каждой точке на цилиндре равна удвоенной скорости~ на бесконечности, умноженной на синус соответствующего полярного угла, Точки А и В будут по- прежнему критическими точками. Если 0=+- —, то и = 2 =п,„=2п„.

Это означает, что и точках пересечения <риг 3. 24. Бесциркулициоииое обтекание окружности с осью ординат круглого цилиндра. скорость о принимает макси. мальное значение, не зависящее от радиуса цилиндра н равное удвоенной скорости на бесконечности, 0 20. ЦИРКУЛЯЦИОННОЕ ОБТЕКАНИЕ КРУГЛОГО ЦИЛИНДРА Чтобы получить так называемое циркуляционное обтекание круглого цилиндра, наложим на поток, рассмотренный в предыдущем параграфе, чисто циркуляционный поток от плоского вихря, расположенного в начале координат (см. $18). Сложив потенциалы скоростей указанных потоков, получим го~ Г 2 ~ р= — о„соз0 г+ — )+ — 0. (3. 73) г 2к Таким образом, в каждой точке М пространства к скорости ~е „бесциркуляционного потока„обтекающего цилиндр, прибавится скорость о„ от чисто циркуляционного потока, и результирующая скорость будет изображаться диагональю параллелограмма, построенного на скоростях о, „ и и„ (фиг.

3.25). Естественно, что наложение циркуляционного потока нарушит симметрию линий тока, так как наверху скорость от чисто циркуляционного потока будет направлена в ту же сторону, что и ско- 78 Глава ВК Кинематика жидкости рость бесциркуляционного потока, обтекающего цилиндр, а внизу скорость чисто циркуляционного потока будет направлена в обратную сторону. В результате спектр течения примет вид, изображенный на фиг. 3. 26, Вследствие сложения скоростей над цилиндром образуется область повышенных скоростей, а под цилиндром — область пониженных скоростей, так как внизу скорости вычитаются, Критические точки А и В в этом случае сойдут с оси х и будут расположены на цилиндре ниже оси х.

Найдем угол 0„„ опре- 'й Фиг. 3.25. Наложение на поток, дающий бесциркуляционное обтекание круглого цилиндра, чисто циркуляционного потока, Г о=2о„яп0+ —. 2кге Так как в критических точках скорость о=О, то, приравнивая правую часть нулю, находим 2з„з!и 0кр+ — =О, Г 2гго (3 74) деляюший положение критических точек. Для этого найдем про- екции скорости г, и о.