книга (Аржаников Н.С., Мальцев В.Н., 1956 - Аэродинамика), страница 13

Циркуляцию по кругу С вычислим по формуле Г=!а — е . Так как в этом случае !тл — — 0А=О, ае — — 0а=2а, ибо при полном обходе круга угол 0 получает приращение 2я, то циркуляция' Г=2а, т. е. не равна нулю и Фа — — ~А+ 2а. Примем полученное значение еа за начальное, соответствующее точке А, и сделаем вновь полный обход по кругу С, Тогда новое значение потенциала скорости (а е )„„ в точке В согласно предыдущему равенству напишется в следующем виде: !те)нов те+2 л+ Продолжая этот процесс далее, мы приходим к выводу, что потенциал скорости в одной и той же точке может иметь множе. ство различных значений (потенциал не является однозначной функцией точек плоскости) где! п — любое целое число.

При этом, как мы видели, циркуляция скорости по кругу С оказывается отличной от нуля, Иной результат мы будем иметь для круга С!. Для круга С, вычислим циркуляцию по той же формуле тв! тА!' Так как в этом случае угол 0 при полном обходе по контуру С, возвращается к своему первоначальному значению, то и, следовательно, циркуляция по кругу С, равна нулю. Рассмотренный пример показывает, что если потенциал не является однозначной функцией точек плоскости, то 'имеются как замкнутые контуры, циркуляция скорости вдоль которых отлична от нуля, так и замкнутые контуры, циркуляция скорости вдоль которых равна нулю. й !2.

ФУНКЦИЯ ТОКА В аэродинамике большую роль в исследовании потоков играет так называемая функция тока у!. Выясним ее смысл и значение для плоского потенциального, установившегося движения несжимаемой жидкости, 59 Э !2. Функция тока Как известно, дифференциальное уравнение линий тока для плоского движения жидкости имеет вид д.к Ы или (а) о,Ыу — о,я(х= О. Подставляя в это уравнение значения о, и ои, выраженные в функции координат х и у, и интегрируя, можно получить уравнение, связывающее х, у и произвольную постоянную, Каждому значению произвольной постоянной будет соответствовать определенная линна тока.

Дифференциальный двучлен, стоящий в левой части уравнения (а), интегрируется крайне просто, так как он оказывается равным полному дифференциалу некоторой функции Е (х, у). В самом деле, уравнение неразрывности в рассматриваемом случае можно- написать в следующем виде: до, д ( — оя) (б) дх ду Из этого соотношения следует, что о, и о„можно выразить через некоторую функцию 1 следующим образом: о,= — ип = — —. дй дф (3. 41) ду ~ дх Действительно, подставляя (3.

41) в (б), получаем д'ф д~4 дхду дхду ' т. е. тождество. Подставляя затем значения о, и о, из (3. 41) в (а), будем иметь Р Ыу+ — и'х=Ыф=О, ду дх откуда, интегрируя, найдем уравнение линий тока ф (х, у) =С, (3. 42) где С вЂ” произвольная постоянная. Уравнение (3. 42) является уравнением семейства линий тока. Давая постоянному С различные значения, будем получать различные линии тока, принадлежащие данному семейству, Функция 1 называется функцией тока.

Сравнение формул (3.33) и (3.41) приводит к важному соотношению дх ду (3. 43) дт дй ду дх 60 Глава Ш, Кинематика жидкости Если потенциал скорости чз, являющийся функцией координат х и у, приравнять постоянному т(х, у) =С, (3. 44) то, очевидно, будем иметь семейство линий, обладающих тем свойством, что вдоль каждой такой линии потенциал скорости сохраняет постоянное значение. Такие линии носят название аквипотенциаль- ных линий, т. е. линий равного по- У тенцнала, Из формул (3.43) путем перемножения можно установить следующее соотношение между функциями гр и р: "и дч ду' дт дф — — + — — =О.

дх дх ду ду Как известно из математики, это с15 соотношение является условием ортогональности кривых ~р (х, у) =С и ) (х, у) =С. Таким образом, в плоском установившемся потенциальном потоке семейство линий тока и се- 0 мейство эквипотенциальных линий взаимно ортогональны. С помощью соотношения (3. 43) можно показать также, что функция тока ф для потенциального потока, как и потенциал скорости о, удовлетворяют уравнению Лапласа.

Действительно, используя условие потенциальности дих двг — — — =О' ду дх и соотношение (3. 43), получаем т. е. уравнение Лапласа. Выясним физический смысл функции тока ф. Рассмотрим в пространстве, заполненном плоским потенциальным потоком, произвольную дугу, соединяющую какие-либо две точки А и В (фиг. 3. 13). Возьмем на дуге некоторую точку М и пусть скорость в ней будет изображаться вектором о. Подсчитаем элементарный расход, т.

е. расход через бесконечно малый элемент контура с(з". Очевидно, Под расходом жидкоств через некоторую дугу при плоском потоке понимают расход через цилиндрическую поверхность, построенную на этой дуге как на образуюшей, высота которой равна единице.

В 12, Функция тока 61 где о — проекция скорости на нормаль в точке М. Известно, что проекция скорости на нормаль о может быть выражена через проекции скорости на координатные оси о, и о следующим образом: о =о, соз (и, х),+в„соз (п, у), откуда Щ=(о, соз (и, х)+в„соз (и, уЦ йз.

Используя известные выражения для косинусов углов, образуемых нормалью с осями координат; соз(п, х)= —, сов(п, у)= — — х, ду дз а'3 а также формулы (3. 43), получим а'Я = ~ — — + — — ~ аз =* — ах -1- — йу, Гдф дх дэ Ну1 дф дй ~дх дя ду ти~ дк ду т. е йЯ=Н~. Таким образом, дифференциал функции тока равен расходу жидкости через элемент дуги йз в единицу времени, Для определения расхода через всю кривую АВ нужно проинтегрировать выражение' (3. 45): Я = .( ат' = 'тз — 'тл. (3. 46) Ав т.

е, расход жидкости через произвольный отрезок кривой АВ равен разности значений функции токо, в конечных ее точках и не зависит от формы кривой. Отсюда следует, что если гама кривая АВ являет- У ся участком линии тока, то расход 1ч'=О (так как вдоль линии В тока. ф =сонэ(). Из формулы 'тт=С; (3. 46) и фиг. 3. 14 видно, что количество жидкости, протекающей %~2 между двумя линиями тока, на" Ч'=С, пример, 4 =Сл и с =Св, на всем их протяжении есть величина по- Ф=с стоянная. Если контур замкнут й т.

е. если точки А и В совпадают, то при однозначности функции тока т расход Я=О, если же у фяг. з.14 семейство линий тока. неоднозначная функция, т. е. если при полном обходе замкнутого контура функция тока не возвратится к своему первоначальному значению, то расход Я через такой контур будет отличен от нуля. Это может иметь место, если внутри контура осуществляется либо подвод, либо отвод жидкости, т, е. если в внутри контура расположены так называемые источники илн ~токи (подробнее см.

ниже $ 16). 62 Глава /П, Кинематика жидкости й 13. МЕТОД НАЛОЖЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОТОКОВ Большое практическое значение в исследовании потенциальных потоков имеет метод наложения потенциальных потоков, заключающийся в следующем. Пусть мы имеем два потенциальных потока, обладающих потенциалами о1 и 22, удовлетворяющими, как известно, уравнению Лапласа, т. е. дхе ду' (3.47) — + — =О. дете д-"те дхт дуа В таком случае потенциал скорости, равный нх сумме 9 = Т 1'+ Та (3.

48) также будет удовлетворять уравнению Лапласа, т. е. будет представлять некоторый новый поток несжимаемой жидкости. В самом деле, в силу (3. 48) и (3. 47) будем иметь Новый сложный поток с потенциалом Ч1=о1+оа является результатом наложения двух исходных потоков, т. е.

результатом гео метрического суммирования в каждой точке пространства скоростей первого и второго потоков, В самом деле, для сложного потока ч~л + ~л1 + Ол2~ дт ' дт1 дте дх дх дл (3. 49) "й = — = — + — = Ф 1+.й 2. дт д21 дте У ду ду ду У' У' Аналогично можно показать, что для нового сложного потока функ. ция тока Ф Ф1+ Ф2 (3.

50) т, е. равна алгебраической сумме функций тока исходных потоков. Следовательно, наложение двух и более потоков сводится к простому алгебраическому суммированию потенциалов и функций тока исходных потоков. Таким образом, если нам известен ряд частных решений уравнения Лапласа (3. 38) или (3. 38'), то в силу линейности этого уравнения любая линейная комбинация частных решений будет также являться решением этого уравнения, Поэтому, располагая рядом простейших решений, соответствующих некоторым простейшим течениям жидкости, мы путем суммирования различных сочетаний этих решений можем получить более сложные решения, соответствующие более сложным потокам жидкости.

й Ьй Тгрлмолинейнаш" равномерный поток В последующих параграфах будут рассмотрены наиболее характерные примеры простейших плоских, установившихся потенциальных потоков, комбинацией (наложением) которых могут быть получены сложные практически важные потоки, й 14. ПРЯМОЛИНЕЙНЫЙ РАВНОМЕРНЫЙ ПОТОК Предположим, что плоскопараллельный поток задан потенциалом Р=ах+Ьу, где а и Ь вЂ” некоторые действительные числа. Для того чтобы исследовать характер течения, продифференцируем потенциал Р по координатам х и у; тогда йолучим — =а, — =Ь. дт дх ' ду Следовательно, составляющие скорости течения по координатным осям о о,=а и ое=Ь, т. е. поток движется с постоянной скоростью о, равной э=)т а'+ Ь'.