книга (Аржаников Н.С., Мальцев В.Н., 1956 - Аэродинамика), страница 10

Движение жидкости задано следующими проекциями скоростей: "» =к+ Г ту= У+ Г. ов=б- йх йу х+т — уьг Интегрируя полученное уравнение (считая г фиксированным), находим 1и (х+1) = — 1п ( — у+1)+1п С или (а) Требуется определить: а) семейство линий тока, а также линию тока, проходящую через точку А ( — 1, — 1) в момент 1=0; б) траекторию частицы И, которая в момент 1=0 находилась в точке А ( — 1, — 1).

Решение. Очевидно, что рассматриваемое движение является плоским (и»=0) и неустановившимся, так как в выражение для о„и ит явно входит время д дифференциальное уравнение (3.11) линий тока примет следующий зид: 40 Глава Ш Кинематика жидкости т. е. семейство линий тока представляет в каждый момент времени семейство гипербол Дли нахождении линии тока, проходящей в момент времени Г=О через точку А ( — 1, †!), подставляем эти значении Г, х, у в уравнение (а); тогда получим ( — 1) ° (+1) = С, т. е, С= — 1, и уравнение искомой линни тока примет вид ку=!.

(б) Для определения траекторий необходимо проинтегрировать следующие уран. пунин: дх — — х+г, дт (в) ду = — у+ г. си Переписав систему (в) в виде дх — — х=б ги ду -1-у =С ти замечаем, что каждое из этих уравнений представляет собой линейное неодно- родное уравнение с постоянными коэффициентами, Поэтому х=С,е — г — !.

т (г) и У=Сзе '-1 à — 1. (д) Дли определения уравнении траектории, которую описывает частица М, находившаяся в момент 1=0 в точке А ( — 1, — 1), определим значения констант С, и Сз. Подставляя в выражения (г) и (д) Г=О, х= — 1, у= — 1, получим С,=Се=о. Таким образом, дли искомой траектории будем иметь к= — à — 1, р à — 1, откуда, исключая Г, находим уравнение траектории т. е.

уравнение прямой. Этот пример показывает, что линия тока и траектории при иеустановиашемси движении ме совпадают, й 5. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ При рассмотрении движения произвольной сжимаемой жидкости будем предполагать, что движушаяся жидкость сплошь заполняет все пространство нли определенную его часть, т. е. что пустоты нлн разрывы не образуются. Это условие называется условием неразрывности или оплошности движения. Э 5. Уравнение неразрывности 4! В таком случае, рассматривая протекание жидкости через некоторую фиксированную в пространстве замкнутую поверхность, можно заключить, что если за некоторый промежуток времени количество вытекшей жидкости будет превышать количество втекшей, то внутри этой поверхности произойдет изменение плотности.

(В случае несжимаемой жидкости количество вытекшей жидкости вследствие условия неразрывности должно в точности равняться количеству втекшей жидкости.) Сказанное выше можно представить аналитически в виде дифференциального уравнения, носящего название уравнения неразрывности или сплошности двисгеяия, Уравнение неразрывности в аэродинамике является выражением зако- АР'У г на сохранения материи, ох роде — дг установленного впервые рог великим русским ученым ) — — )- М, В. Ломоносовым в Й !748 г. х Рассмотрим фиксированную в пространстве Х замкнутую поверхность, имеющую форму прямоугольного параллелепипе. да с ребрами ох, Иу, с(г, через который протекает Фиг, 3. 4, к выводу уравнения неразрывности некоторая сжимаемая в декартовых координатах.

исидкость. Пусть в единицу времени и через единицу площади левой грани параллелепипеда в направлении оси х протекает масса жидкости ро,. Так как ро, есть функция координат и времени, т. е. ро,= =!'(х, у, г, 1), то для определения массы жидкости, протекающей в направлении оси х в единицу времени через единицу площади правой грани, надо координате х в функции )(х, у, г, !) дать приращение ~(х, т. е.

надо найти 7(х+е(х, у, г, !) Но с точностью до малых первого порядка )'(х+с(х, у, г, 1)=7'(х, у, г, е)+ — с(х, дх т. е. через единицу площади правой грани в единицу времени протекает в направлении оси х масса жидкости, равная ре„+ — "— Ых. д (ри„) дх Очевидно, разность между подсчитанными выше вытекшим и втекшим количествами жидкости равна — йх, д (вне) дх 42 Глава 111, Кинематика жидкости н, следовательно, за время Ш через грани плошадью Нуата вытечет в направлении оси х масса жидкости '(р"4ахау ( К дх Аналогично разности между вытекшим и втекшим количествами жидкости в направлении осей у и я за время Ж можно получить в виде д (гот) яхт(у оа Ш, ду д(рог) ( дг др д1 и, следовательно, за время Ж количество (масса) жидкости внутри параллелепипеда изменится от величины рс(хггуда до р+ — р сИ) 4(х с(у сЬ.

( —" д1 т. е. на величину — — рдхИусЬИ д1 (здесь берем знак минус, так как выше подсчитывалась разность между вытекшим и етекшилт количествами). В силу условия неразрывности разность между количествами вытекшей и втекшей жидкости должна быть равна изменению коли. чества жидкости внутри параллелепипеда. Поэтому, приравнивая соответствующие выражения, получаем д(рох) д(рот) д(рог) др дх ду дг дт нлн др д (рог) д (рот) д (рог) О (3. 12) + + + —— дс дх ду дх Если эти выражения сложить, то получим суммарную разность между всей вытекшей и втекшей за время с(( жидкостью: [ '+ '+ ' ЫЫЫМ. д(рог) д(рот) д(рог)~ + + Ых 4~ тгх тгг.

дх ду дх Различие в количествах (массе) вытекшей и втекшей жидкости отразится на количестве жидкости внутри параллелепипеда. В самом деле, если в момент времени ( плотность была р, то в момент (+Ф плотность будет равна й 5. Уравнение нераеривноеуи 43 Зто уравнение носит название дифференциального уравнения неразрывности для сжимаемой жидкости. Если движение сжимаемой жидкости установившееся, то, очевидно — =О, и уравнение неразрывности примет вид др де д(ро.д дО у) д(р М дх ду де или в векторной форме б1о( р о) =О (3.

13') Уравнения неразрывности (3. 12) илн (3. 13) часто пишут в несколько иной форме. Для того чтобы ее получить, выполним дифференцирование в уравнении (3. 12); тогда получим др др др др /дех доу дое) — + — тх+ — Оу+ — о,+Р1 — х+ — + — ) =О. ду дх " ду У де дх ду дв Замечая, что первые четыре слагаемых представляют собой пол. ную произвол)ную от р по времени 1, получим уравнение неразрывности в иной форме: Фр рдо, дв до — +р~ — + + — )=О. (3. 14) де дх ду де Иногда это уравнение пишут несколько иначе, вводя коэффициент кубического расширения 0, характеризующий относительное изменение объема жидкости в единицу времени: до» д еу дое 0= — + — + —.

дх ду де Убедимся в этом, Из уравнения (3. 14) находим до доу до 1 др ' 0 — + — '+ — ' дх ду де р Ф Путь уп= р т есть масса небольшого движущегося элемента жидкости и т — его объем. При движении жидкости плотность р и объем х этого элемента могут меняться, однако масса элемента должна оставаться постоянной (уп=сопз1). В таком случае будем иметь ~йн др Жх — = — о+р — =О. де сЧ дг Отсюда 0= —— и де т е. действительно величина 0 характеризует скорость расширения единицы объема жидкости, в связи с чем и называется коэффициентом кубического расширения.

Глааа !П Кинематика жидкости Используя величину 0, перепишем уравнение неразрывности в виде — +ад =О. (3. 15) дт В частном случае, когда жидкость несжимаемая, т. е. р =сопз1, коэффициент кубического расширения й =О, Следовательно, уравнение неразрывности примет вид до„ дат дга — + — + — =О. дм ду да (3. 16) Это уравнение носит название уравнения неразрывности для несжимаемой жидкости.

В векторной форме оно имеет вид б1У о.=О, (3. 17) й 6. ЦИРКУЛЯЦИЯ СКОРОСТИ Г = )т о сов (о, ~й) ~й. лв (3. 18) Это выражение называется циркуляцией скорости по дуге АВ. Обыкновенно циркуляция Г исчисляется по всему замкнутому контуру С, т. е. Г = ) Ф соз (ю, ~й) ~й. (3. 19) с В аэродинамике как теоретической, так и прикладной исключительно большую роль играет понятие о циркуляции скорости, обозначаемой через Г. С величиной цир. куляции связывается понятие интен- У сивности или напряжения вихрей. От закона ее распределения по размаху крыла самолета зависят величины сил и моментов, действующих на крыло.

Выделим в движушейся жидко- А сти произвольный фиксированный в пространстве замкнутый контур С (фиг. 3. 5). Пусть в некоторой его - м р-- -.ьр р. Е с .р д ° ° о сов (о, Ь)дз=осозпА, напоми г наюшее выражение для элементарФпт. з.5. К определению парку- ной работы в теоретической механиляцпв окорасти, ке (там вместо вектора скорости о рассматривается вектор силы с). Возьмем от этого выражения криволинейный интеграл по дуге АВ.

Тогда будем иметь й 7. Движение жидкой частицы Направление интегрирования будем считать положительным, если охватываемая контуром С область (которую можно мыслить как мыльную пленку, натянутую на контур С) остается при интегрировании слева. Заменяя в выражении (3. 19) о соз (о, с(з) через вю где о,— проекция скорости на направление касательной, будем иметь Г=1 п,с(з. (3. 20) с Замечая, что подинтегральное выражение в формуле (3. 20) является скалярным произведением вектора о на вектор с(з, можем написать Г= ~(о, с(з).