В.А.Зорич-Математический анализ(часть1) (В.А. Зорич - Математический анализ)

В. А. Зорич МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть 1 Издание второе, исправленное и дополненное Рекомендовано Министерством общего и профессионального образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов математических и физико-математических факультетов и специальностей высших учебных заведений ФАЗИС Москва ° 1997 ББК 22.16 386 УДК 517 Издание осуществлено при поддерж Российского фонда фундаментальн исследований по проекту 96-01-1411, Зорич В. А, Математический анализ. 'Часть |.

Изд. 2-е, испр, и доп. М.: ФАЗИС, 1997. — хгч+ 554 с. 18ВХ 5-7036-0031-6 В книге отражена связь курса классического анализа с современными математическими курсами. (алгебры, дифференциальной геометрии, дифференциальных уравнений, комплексного и функционального анализа). Основные разделы первой части: введение в анализ (логнческая символика, множество, функция, вещественное число, предел, непрерывность); дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной; дифференциальное исчисление функций многих переменных. Органической частью текста являются примеры приложений развиваемой теории, а также большое количество задач.

Второе издание дополнено вопросами и задачами коллоквиумов н экзаменов. Издательство ФАЗИС (ЛР № 064705 от 09.06.96) 123557 Москва, Пресненский вал, 42-44 Отпечатано в Московской типографии № 2 РАН 121099 Москва Г-99, Шубинский пер., 6 Заказ № 2543 © ФАЗИС, 19! 18ВМ 5-7036-0031-6 »Полная строеость изложения... соединена с доступностью и полното а также воспитанием привычки иметь дело с реальными задачами естпест вознанил» (Из отзыва академика А. Н. Колмогорова о первом издании этой книг~ ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ко второму изданию Из предисловия к первому изданию Глава 1.

Некоторые общематематические понятия и обозначения ~ 1. Логическая символика... 1. Связки и скобки (1). 2. Замечания о доказательствах (3). 3. Некоторые специальные обозначения (3). 4. Заключительные замечания (3). Упражнения (4). ~ 2. Множество и элементарные операции над множествами,......... 1. Понятие множества (5). 2. Отношение включения (7). 3. Простейшие операции над множествами (8).

Упражнения (10). ~ 3. Функция 1. Понятие функции (отображения) (11). 2. Простейшая классификация отображений (15), 3. Композиция функций и взаимно обратные отображения (16). 4. Функция как отношение. График функции (19). Упражнения (22). 3 4. Некоторые дополнения 1. Мощность множества (кардинальные числа) (25). 1. Об аксиоматике теории множеств (26). 2. Замечания о структуре математических высказываний и записи их на языке теории множеств (29) ..Упражнения (31). Глава П. Действительные (вещественные) числа..............

3 1. Аксиоматика и некоторые общие свойства множества действительных чисел 1. Определение множества действительных чисел (33). 2. Некоторые общие алгебраические свойства действительных чисел (37). 3. Аксиома полноты и существование верхней (нижней) грани числового множества (41). ~ 2. Важнейшие классы действительных чисел и вычислительные аспекты операций с действительными числами 1. Натуральные числа и принцип математической индукции (43). 2. Рациональные и иррациональные числа (46). 3.

Принцип Архимеда (50). 4. Геометрическая интерпретация множества действительных чисел и вычислительные аспекты операций с действительными числами (52). Задачи и упражнения (64). ~ 3. Основные леммы, связанные с полнотой множества действительных чисел .. 1. Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши — Кантора) (68).

2. Лемма о конечном покрытии (принцип Бореля — Лебега (69). 3, Лемма о предельной точке (принцип Больцано — Вейерштрасса (69). Задачи и упражнения (70). 1'лава П1. Предел . Глава 1Ч. Непрерывные функции .. 3 1. Основные определения и примеры . 1. Непрерывность функции в точке (148). 2. Точки разрыва (153). ~ 2. Свойства непрерывных функций . 1.

Локальные свойства (156). 2. Глобальные свойства непрерывных функций (157). Задачи и упражнения (166). Глав а Ч. Дифференциальное исчисление 3 1. Дифференцируемая функция 21 ~1 ~2 Счетные и несчетные множества .. 1. Счетные множества (71). 2. Мощность континуума (73). Задачи и упражнения (74). Предел последовательности 1.

Определения и примеры (77). 2. Свойства предела последовательно- сти (79). 3. Вопросы существования предела последовательности (83). 4. Начальные сведения о рядах (92). Задачи и упражнения (102). Предел функции 1. Определения и примеры (105). 2. Свойства предела функции (109). 3. Общее определение предела функции (предел по базе) (124). 4. Во- просы существования предела функции (128). Задачи и упражне- ния (144).

1. Задача и наводящие соображения (170). 2. Функция, дифференцируемая в точке (175). 3. Касательная; геометрический смысл производной и дифференциала (177). 4. Роль системы координат (180). 5. Некоторые примеры (182). Задачи и упражнения (187).

Основные правила дифференцирования 1. Дифференцирование и арифметические операции (189). 2. Дифференцирование композиции функций (192). 3. Дифференцирование обратной функции (196). 4. Таблица производных основных элементарных функций (200). 5. Дифференцирование простейшей неявно за; данной функции (200), 6. Производные высших порядков (205). Задачи и упражнения (209). Основные теоремы дифференциального исчисления 1. Лемма Ферма и теорема Ролля (210). 2.

Теоремы Лагранжа и Коши о конечном приращении (212). 3. Формула Тейлора (215). Задачи и упражнения (228). Исследование функций методами дифференциального исчисления... 23 ~5 ~ 6 Глава 1. Условия монотонности функции (231). 2. Условия внутреннего экстремума функции (232). 3. Условия выпуклости функции (238). 4. Правило Лопиталя (245). 5. Построение графика функции (246). Задачи и упражнения (255). Комплексные числа и взаимосвязь элементарных функций........ 1. Комплексные числа (258). 2.

Сходимость в С и ряды с комплексными членами (262). 3. Формула Эйлера и взаимосвязь элементарных функций (267). 4. Представление функции степенным рядом, аналитичность (270). 5. Алгебраическая замкнутость поля С комплексных чисел (275). Задачи и упражнения (281). Некоторые примеры использования дифференциального исчисления в задачах естествознания . 1. Движение тела переменной массы (283).

2, Барометрическая формула (285). 3, Радиоактивный распад, цепная реакция и атомный котел (287). 4. Падение тел в атмосфере (289). 5. Еще раз о числе е и функции ехр х (291). 6. Колебания (293). Задачи и упражнения (297). Первообразная . 1, Первообразная и неопределенный интеграл (301). 2. Основные общие приемы отыскания первообразной (303). 3. Первообразные рацно ааьных фун«цвй 1303). 4. Первообразные вида / Я)еоз*,в1вх) йх 1314). 3.

Пер забранные да )'Я1~,у1х))бх )313). Зада у ра кения (319). И. Интеграл Определение интеграла и описание множества интегрируемых функций . 1. Задача и наводящие соображения (324). 2. Определение интеграла Римана (326). 3. Множество интегрируемых функций (328). Задачи и упражнения (340). Линейность, аддитивность и монотонность интеграла......,....

1. Интеграл как линейная функция на пространстве Я[а,Ь~ (342). 2. Интеграл как аддитивная функция отрезка интегрирования (342). 3. Оценка интеграла, монотонность интеграла, теоремы о среднем (345). Задачи и упражнения (352). Интеграл и производная 1. Интеграл и первообразная (354). 2. Формула Ньютона — Леибница (356).

3. Интегрирование по частям в определенном интеграле и формула Тейлора (357). 4. Замена переменной в интеграле (359). 5, Некоторые примеры (361). Задачи и упражнения (365). Некоторые приложения интеграла 1. Аддитивная функция ориентированного промежутка и интеграл (369). 2. Длина пути (371). 3. Площадь криволинейной трапеции (377). 4. Объем тела вращения (378). 5. Работа и энергия (379). Задачи и упражнения (385). Несобственный интеграл Глава ЧП.

<Функции 'многих переменных, их предел и непрерыв- ность ~1 ~2 Глава ЧШ. Дифференциальное исчисление функций многих переменных 4 4 ~1 ~2 33 ~4 1. Определения, примеры и основные свойства несобственных интегра- лов (386). 2. Исследование сходимости несобственного интеграла (391). 3. Несобственные интегралы с несколькими особенностями (398). За- дачи и упражнения (401).

Пространство Ж и важнейшие классы его подмножеств......... 1. Множество Ж и расстояние в нем (403). 2. Открытые и замкнутые множества в 1~~ (405). 3. Компакты в Ж (408). Задачи и упражнения (409). Предел и непрерывность функции многих переменных 1, Предел функции (410). 2. Непрерывность функции многих переменных и свойства непрерывных функций (415).

Задачи и упражнения (420). Линейная структура в Ж 1. Ж™ как векторное пространство (421). 2. Линейные отображения Х: й -+ й" (422). 3. Норма в Ж (423). 4. Евклидова структура в В (425). Дифференциал функции многих переменных 1. Дифференцируемость и дифференциал функции в точке (426).

2, Дифференциал и частные производные вещественнозначной функ- ции (427). 3. Координатное представление дифференциала отображе- ния. Матрица Якоби (430). 4. Непрерывность, частные производные и дифференцируемость функции в точке (431). Основные законы дифференцирования 1. Линейность операции дифференцирования (432). 2. Дифференциро- вание композиции отображений (434). 3. Дифференцирование обрат- ного отображения (440). Задачи и упражнения (441). Основные факты дифференциального исчисления вещественнозначных функций многих переменных 1.

Теорема о среднем (447). 2. Достаточное условие дифференцируемо- сти функции многих переменных (449). 3. Частные производные выс- шего порядка (450). 4. Формула Тейлора (453). 5. Экстремумы функ- ций многих переменных (454). 6. Некоторые геометрические образы, связанные с функциями многих переменных (461), Задачи и упражне- ния (465). Теорема о неявной функции 1. Постановка вопроса и наводящие соображения (471).

2. Простейший вариант теоремы о неявной функции (473). 3. Переход к случаю зависимости Г(х',..., х, у) = 0 (477). 4. Теорема о неявной функции (480). Задачи и упражнения (485). Некоторые следствия теоремы о неявной функции УП ОГЛАВЛЕНИЕ 1. Теорема об обратной функции (489). 2. Локальное приведение гладкого отображения к каноническому виду (493).