Зи - Физика полупроводниковых приборов том 1 (989591), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Большинство полупроводниковых соединений типа А"В' кристаллизуется в решетку типа цинковой обманки (2, 73. Многие полупроводники, однако, а среди Фивика и свойства полупроводников 1з них и некоторые соединения Ап'Вт', кристаллизуются в решетку типа вюрцита либо каменной соли. Решетка вюрцита показана на рис. 2, а. Ее также можно представить как две вставленные друг в друга плотноупакованные гексагональные подрешетки (например; кадмия и серы в случае СЮ). Как и в решетках типа цинковой обманки, в структуре вюрцита отдельный атом также находится в тетраэдрическом окружении четырех ближайших соседей.
На рис. 2, б показана решетка каменной соли, которую можно рассматривать как две гранецентрированные кубические решетки, вставленные друг в друга. В этой структуре каждый атом окружен шестью ближайшими соседями. Рис, 2. Две влетиеитарпые ячейки решеток полупроводниковых соединений. а — ячейка решетни вюрцита ~Саз, вяз и т. дд; б — ячейка решетки каменной соли (Рва, Рвте и т. дд. Глааа 1 14 Рис. 3. Индексы Миллера основных плоскостей кубического кристалла.
ЬХс а" =- 2п —, — а ЬХсз Ь*: — 2п — ' а ЬХс' (2) с = — 2л —. аХЬ а ЬХс г(ри этом а а* = 2п; а Ь* = О и т. д., а произвольный вектор обратной решетки имеет вид б = Ьа*+ АЬ'+ 1с*, (3) где й, й, 1 — целые числа. Отсюда следует, что скалярное произведение бК = 2л С (где С вЂ” целое число). Следовательно, любой вектор обратной решетки перпендикулярен соответствующим плоскостям прямой решетки, а объем элементарной ячейки обратной решетки обратно пропорционален объему элементарной ячейки прямой решетки, т. е.
$~; = (2гг)а~1'„где $~, =- а Ь Х с. Обычно положение атомных плоскостей в кристаллической решетке определяют индексами Миллера. Для этого нужно сначала найти точки, в которых рассматриваемая плоскость пересекает координатные оси, и записать их в единицах постоянных решетки, а затем взять обратные значения полученных целых чисел и привести их к наименьшему целому, кратному каждому из этих значений.
Полученный результат заключают в круглые Значения постоянных решетки важнейших полупроводниковых материалов и другие данные об их кристаллической структуре (8, 91 приведены в приложении Г. Отметим, что некоторые из полупроводниковых соединений (такие, как сульфид цинка или сульфид кадмия) могут в зависимости от услбвий кристаллизоваться и в структуру цинковой обманки, и в структуру вюрцита.
Для данного набора базисных векторов прямой решетки определим базисные векторы обратной решетки а*, Ь*, с' следующим образом: Фггвикп и свойства ао,гупровоонггков !5 скобки (ЬИ). Это и есть индексы Миллера отдельной плоскости или системы параллельных плоскостей. На рис.
3 показаны основные плоскости кубического кристалла и соответствующие индексы Миллера. Приведем также некоторые другие принятые обозначения: (йИ) — для плоскости, пересекающей ось х при отрицательных значениях этой координаты. (ЬИ) — для плоскостей эквивалентной симметрии. Например, для кубического кристалла (100) соответствует плоскостям (100), (010), (001), (100), (010) и (001). ЬИ) — для кристаллографического направления; например, (100) — направление вдоль оси х.
(ЬИ) — для совокупности всех эквивалентных направлений. 1а,п,.авс1 — для гексагональных решеток, где обычно используются четыре оси (рис. 2, а), причем ось с соответствует направлению 10001 3. Для двух элементарных полупроводников (германия и кремния) атомные плоскости (111) являются плоскостями наиболее легкого разрушения или скола.
В противоположность этому арсе-. нид галлия с такой же кристаллической структурой и сравнительно небольшой ионной компонентой в атомных связях скалывается по плоскости (110). Элементарную ячейку обратной решетки кристалла можно представить в виде ячейки Вигнера — Зейтца. Для ее построения нужно провести перпендикулярные ' плоскости через середины отрезков, соединяющих выбранный центр с ближайшими эквивалептпыми узлами обратной решетки. На рис. 4, а показана построенная ячейка Вигнера — Зейтца для гранецентрированной кубической решетки 110). Сначала проводятся отрезки из центральной точки куба (Г) ко всем восьми его вершинам, а затем через середины этих отрезков проводятся соответствующие перпендикулярные плоскости; в конечном итоге получается усеченный октаэдр внутри куба — ячейка Вигнера — Зейтца.
Можно показать 111), что для гранецентрированной кубической прямой решетки с, постоянной а обратной является объемно-центрированная кубическая решетка с постоянной 4л~а. Следовательно, показанная на рнс. 4, а ячейка Вигнера — Зейтца является элементарной ячейкой обратной решетки, соответствующей гранецентрированной кубической прямой решетке. Аналогичным образом можно построить ячейку Виппера †Зейт и для гексагональной структуры ! 12) (рис. 4, б).
Символы, использованные на рис. 4, заимствованы нз теории групп. Некоторые из них использованы в разд. 1.3. Глава 1 Рис. 4. Зоны Бриллюзна для решетки алмаза и цинковой обманки (а) и для решетки вюрцита (б) 110, 121. Показаны главные точки и линни симметрии: 2п 2п/111! Г: — (О, О, 0) — центр зоны; тл — —,, —, — ! — точки пересечения осей (111> о о 1 2 2 2) 2л (линпя Л) с краем зоны; Х: — (О, О, 1) — точки пересечении осей (100) (ливня Ь) 2л /3 3 е краем зоны: К; — —, —, 0) — точки пересечения осей (110) (лнния л) с краем а (4' 4' эоны.
1.8. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ЗОНЫ Зонный характер энергетических спектров кристаллических твердых тел, т, е. зависимости энергии электрона от его импульса Е (Ф), следует из одночастичного уравнения Шредингера [11, 131 (4) Поскольку потенциал 1~ (г) периодически зависит от координат (с пространственными периодами, равными соответствующим постоянным кристаллической решетки), то„согласно известной теореме Блоха, решения уравнения (4) имеют вид (рй(Г) = Е)йг(.)п(14, Г), (5) где У„((4, г) — периодические функции координат с периодом прямой решетки, а п — индекс соответствующей зоны. Выражения (5) называют блоховскими функциями.
Из теоремы Блоха следует, что энергия Ей является периодической функцией волнового вектора к в пространстве обратной решетки, т. е. Ей —— = Ей+о, где б — произвольный вектор обратной решетки, определяемый формулой (3), Таким образом, функцию Е» при данном значении зонного индекса и полностью определяют ее значения при волновых векторах, лежащих в пределах элементарной ячейки Физика и овойстаа золопроводников 17 г 1ч б~ Ь 77Ш~ Г ~~Я/ К ~, 77Н7 Г т~ К ~. ~И~~ Г ~т~~ К Оолнойай 3ентор Рис. 5. Структура энергетических зон бе, Я и баАз [771. обратной решетки кристалла.
Обычно при этом используют ячейку Вигнера — Зейтца, Применительно к электронным энергетическим спектрам ее называют зоной Бриллюэна или первой зоной Бриллюэна [101. Очевидно, что любой волновой вектор [г можно привести к точке в первой зоне Бриллюэна, вычитая соответствующий вектор обратной решетки, и в дальнейшем рассматривать энергетические состояния только в этом редуцированном объеме М- пространства. Зоны Бриллюэна для решетки алмаза и цинковой обманки такие же, как и зона, показанная на рис. 4, а. На рис. 4 также отмечены главные точки и линии симметрии.
Зонные энергетические спектры твердых тел рассчитываются теоретически с помощью различных приближенных методов. Для полупроводниковых кристаллов наиболее часто используются метод ортогонализованных плоских волн [14, 15[, метод псевдо- потенциала [161 и [г р-метод [5[. Результаты теоретических расчетов энергетических спектров Ое, Я и баАз [17 [ приведены на рис. 5. Обратим внимание, что в спектрах каждого из этих полупроводников имеется область запрещенных энергий, в которой не существует электронных состояний. Эти состояния образуют разрешенные зоны с энергиями выше и ниже этой энергетической щели.
Верхнюю разрешенную энергетическую зону называют зоной Глава ! Рис. 6. Упрощенная аонная схема полупроводника. — а стая я проводимости, а нижнюю — валентной, Расстояние между ниж11им (дном зоны проводимости) и верхним (потолком валентной зоны) краями называется шириной запрещенной воны Еа. Эта величина — один из важнейших параметров полупроводнйков. Прежде чем детально изучать структуру энергетических вон, полупроводников, рассмотрим сначала упрощенную зонную схему, показанную на рис. б.
Здесь, как обычно, положение дна воны проводимости обозначено символом Ес, а потолка валентной зоны — Ер. Энергия электрона считается увеличивающейся в направлении снизу вверх, в то время как для дырок энергия тем больше, чем ниже она отстоит от потолка валентной зоны. Значения ширины запрещенной зоны Ев для основных полупроводниковых материалов 19, 18) приведены в приложении Д. Валентная зона в кристаллах со структурой цинковой обманки состоит из четырех подзон (если пренебречь спином в уравнении Шредингера), двукратно вырожденных по спину. Три из них вырождены в центре зоны при Й = О (Г-точка) и формируют верхний край валентной зоны, а четвертая подзона образует ее дно. Спин-орбитальное взаимодействие частично снимает вырождение при и = О и приводит к отщепленню одной подзоны.
Как видно из рис. 5, две оставшиеся подзоны у потолка валентной зоны можно аппроксимировать параболическими зависимостями с различной кривизной. Зона, которой отвечает меньшая производная д'Е~дР, называется зоной тяжелых дырок, а зона с большим значением даЕ(дР— зоной легких дырок. В общем случае эффективная масса является тензором, компоненты которого определяются соотношением 1 1 даЕ (1с) ,и',. йа дй;дсе (6) Значения эффективных масс для важнейших полупроводников приведены в приложении Д.
19 Фивика и свобсвви полупроводников Зона проводимости также состоит из нескольких подзон (рис. 5). Дно зоны проводимости может быть расположено либо на осях (111) (Л), либо на осях (100) (Ь), либо при ]с = 0 (Г). Более точных выводов о положении энергетических минимумов на этих осях из соображений симметрии сделать не удается. Как показывает эксперимент, в бе имеется восемь эквивалентных минимумов на осях (111), в Я вЂ” шесть на осях (100), а в баАз дно зоны проводимости находится при й = О. На рис.
7 показаны соответствующие изоэнергетические поверхности 119).В бе границы зоны Бриллюэна проходят точно по середине эллипсоидов, так что от каждого из них в первой зоне Бриллюэна остается половина (четыре полных эллипсоида в ячейке Вигнера— Зейтца), и, следовательно, эти поверхности постоянной энергии центрированы в Е-точке. В Я имеется шесть эквивалентных эллипсоидов, центрированных на осях (100) на расстоянии от центра зоны, равном примерно трем четвертям полной длины соответствующей оси. В баАз изоэнергетическими поверхностями являются сферы с центром в центре зоны Бриллюэна. Из экспериментальных данных для параболических зон можно получить эффективные массы электронов: одну для баАз и две 1продольную т~ (вдоль осн симметрии) и поперечную т7 (в направлении, перпендикулярном этой оси)1 для бе и Я. Значения электронных эффективных масс приведены в приложении Д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
