Зи - Физика полупроводниковых приборов том 1 (989591), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Простейшей теоретической моделью примесных уровней в полупроводниках является водородоподобная модель. Энергия ионизации атома водорода равна (20) где е, — диэлектрическая постоянная вакуума. Энергия ионизации донора Е, получается отсюда при замене и, на эффективную массу электрона в зоне проводимости 151: (21) а е, на е„где ее — диэлектрическая проницаемость полупровод- ника. Это дает Е, = ( — ") ( — ") Ен Рассчитанная по формуле (22) энергия ионизация донорного состояния в бе, Я и баАз равна 0,006, 0,025 и 0,007 эВ соответственно.
Аналогичным образом водородоподобная модель используется для расчета энергии ионизации акцепторного уровня. При этом валентная зона с отсутствующим в ней электроном рассматривается как суперпозиция полностью заполненной валентной зоны и изображающей «дырки», двигающейся в центральном поле отрицательно заряженного акцепторного примесного атома. Рассчитанная таким образом энергия связи акцепторного уровня (отсчитывается вверх от потолка валентной зоны) равна 0,015 эВ для бе, 0,05 эВ для Я и примерно 0,05 эВ для баАз.
Упрощенная водородоподобная модель, конечно, не позволяет точно рассчитать энергию связи'примесного состояния. В особенности это относится к глубоким уровням в полупроводниках 124— 25). Однако для мелких уровней, таких, как В, Р и %, выражение (22) дает правильные по порядку величины значения энергии ионизации. На рис. 13 приведены экспериментальные значения энергий ионизации различных примесных атомов в бе, Я и баАз 124 †).
Отметим, что некоторые примеси дают в запрещенной зоне полупроводника несколько различных уровней. Так, например, золото в бе дает три акцепторных уровня и один донорный 1291. 1.4.3. Определение положения уровня ферми Из выражения (18) видно, что уровень Ферми в собственном полупроводнике лежит вблизи середины запрещенной зоны. Этот случай показан на рис. 14, а, где слева направо приведены упро- Глава 1 Ес Е„ Ел Е П Р5' /Р а(Е) Г(Е~ лиГ Рис. 14.
Зонная диаграмма, плотность состояний, функция распределения Ферми — Дирака н концентрация носителей в собственном полупроводнике (а), в полупроводнике и-типа (б) и в полупроводнике р-типа (в), щенная зонная схема, плотность состояний У (Е), функция распределения Ферми — Дирака Р (Е) и концентрации электронов и дырок (заштрихованные области). Поскольку в собственном полупроводнике концентрации электронов и дырок равны друг другу (п = р = п;), заштрихованные области на рис. 14, а в валентной зоне и зоне проводимости одинаковы.
В полупроводнике, содержащем примесные атомы, уровень Ферми смещается от середины запрещенной зоны настолько, насколько это необходимо, чтобы обеспечить выполнение условия электронейтральности образца (рис. 14, б и в). Рассмотрим сначала полупроводник, легированный донорной примесью с концентрацией Уп (см-') (рис. 14, б). Для сохранения электронейтраль- Физика и свойства полупроводников Здесь и — концентрация электронов в зоне проводимости, р— концентрация дырок в валентной зоне, а ЖЬ вЂ” концентрация ионизированных доноров, равная 131) Яв= ~п 1 1+ — ехр (24) где д — фактор вырождения донорного примесного уровня.
Он равен двум, поскольку электрон на этом уровне может иметь одно из двух значений спина. Для полупроводниковых кристаллов, легированных акцепторной примесью, условие электронейтральности записывается аналогичным образом. Концентрация ионизированных акцепторов в этом случае равна ~еА Е Е е (25) 1+ .- ( -'„") где яА — фактор вырождения акцепторного состояния. В бе, Я и баАз о„= 4 из-за двукратного вырождения валентной зоны при )с = О. Подставив в выражение (23) соответствующие выражения для концентраций, получим трансцендентное уравнение 1 -(- 2 е ( — ~ ) 'кТ +Меехр( х ), (2б) позволяющее при заданных Юо, Л'о, У„, Ео, Е„, Е~ и Т однозначно определить положение уровня Ферми Е~.
На рис. 15 показан изящный графический метод решения этого уравнения 1311. Лля частного случая Ио = 10' см-' и Т =- 300 К уровень Ферми расположен у края зоны проводимости ниже энергии связи донорного состояния, так что почти все донорные центры при этом оказыва|отся ионпзированными. Для определения положения уровня Ферми при другой температуре нужно сначала вычислить соответствующие значения Мо и Мр (пропорциональныс Т'<2), а затем, определив с помощью выражения (19) или по графикам рис. 11 величину и;(Т), провести пересекающиеся прямые линии ности концентрация всех отрицательных зарядов (электронов и ионизированных акцепторов) должна быть в точности равна концентрации положительных зарядов (дырок и ионизированных доноров).
В рассматриваемом случае легирования донорной примесью (УА = О) условие электронейтральности имеет вид а= Ир+ р. (23) п = ( ") ш~ ехр ( — е~(ит), (27) где Е~: — Ео — Ео — глубина донорного уровня по отношению к краю зоны проводимости, и и =(Ноас)1 ~'ехр ( — Е,~2ИТ), 1/2 (28) когда Ио )) — йо ехр ( — Е„~ИТ) )) Фл !51. Типичная темпе. ! ратурная зависимость концентрации электронов в зоне проводимости приведена на рис.
16, При высоких температурах здесь расположена область собственной проводимости, где и = р )) Уо. ~~то тп Е~ и (Е,) Ел Е~ рие, 15. 1'рвфичееиий метод определения уровня Ферми 13П. и (Е ) и р (Е~). Пересечение первой из них с кривой р+ Фо дает положение уровня Ферми. При достаточно низких температурах уровень Ферми приближается и в конце концов пересекает донорный уровень (в полупроводнике и-типа). Для случая частичной компенсации, когда в полупроводнике кроме донорных содержится и некоторое число акцепторных примесей (У„с. Мо), 1 при Йл)) — Мо ехр( — Е„!ИТ) Физика и свойства полупроводников Рнс. 16. Температурная аави симость концентрации алек тронов в кремнии прн концсп трацин доноров 10'а см ' 151.
6 Я /6 Л' Л66/7; Л-~ 6,8 66 й,т . 6,2 'и -6,3 -0,6 Рнс. 17. Температурная зависимость положения уровня Ферми в кремниевых образцах с различным уровнем легирования, рассчитанная с учетом температурной зависимости ширины запрещенной зоны 1321. При очень низких температурах происходит вымораживание электронов на примеси. В зависимости от степени компенсации 1 наклон кривой 1п а — — определяется выражением (27) или Т (28).
В довольно широкой области промежуточных температур (на рис. 16 она простирается от 100 до 500 К) концентрация 32 Комбинируя выражения (29) и (19), для равновесных концентраций электронов и дырок в полупроводнике п-типа получим и„,= — ~(Л/р — Л/ )+ тl(Л/о — Л/,~)'+ 4аД = Л/о (30) 2 2 Рпо = аппо — и/~п (31) если ~Л/о — Л/~~)> и; и Л/о)) Л/,~. При этом Ес — Е„= Ит1п ~ — ~/.
(Ус~ ~м,/' (32) Учитывая выражение (18), получим Ер — Е, ИТ!п("— "'). (33) Для концентрации дырок и электронов в полупроводнике Р-типа выражения будут иметь вид Рро= ~ КЛ/л — Л/р)+у (Л/м — Л/о) +4пД=Л/л (34) (35) про = %/Рло — %/Л/л при ~ Л/А — Л/В ~ )) П~ и /ЧА )) Л/Ор г,— я,=ать(~'), Л~А (36) или Е; — Е = йТ1п (37) электронов в зоне проводимости слабо зависит от температуры и равна (Л/а — Л/,~). На рис.
17 приведены зависимости положения уровня Ферми от температуры при различных концентрациях легирующей примеси 1321, рассчитанные с учетом тем-. пературной зависимости ширины запрещенной зоны (рис. 8), Отметим, что и в легированных полупроводниках независима от концентрации примесей произведение аР по-прежнему определяется формулой (19) (закон действующих масс). Прп относительно высОких температурах почти все доноры и акцепторы в полупроводнике ионизированы, и условие электронейтральности можно с достаточной точностью записать в виде + ЛА Р + ЛО* (29) Физика и своиапва полупроводников В этих формулах индексы и и р обозначают тип проводимости полупроводника, а индекс 0 указывает, что речь идет о термодинамически равновесных концентрациях. В полупроводниках а'-типа электроны называются основными носителями, поскольку их больше, чем дырок.
Дырки называются здесь пеосповными носителями. В дырочном полупроводнике основными носителями служат дырки, а неосновными — электроны. 1.5. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА 1.5.1. Подвижность При малых электрических полях дрейфовая скорость носителей вв пропорциональна напряженности электрического поля Ю: п,~ = рд'. (38) Коэффициент пропорциональности есть подвижность ц 1см' х хВ-' с-'1. В неполярных полупроводниках, таких, как бе и Я, основными механизмами, определяющими подвижность носителей, являются рассеяние на акустических фононах и рассеяние на ионизнрованных примесных атомах.
Значения подвижности, определяемой рассеянием на акустических фононах, задаются следующим выражением (33): (щв)-з,'зу-за (39) Ру 3Е и" ' И7)з'2 ™ м где ф— средний продольный модуль упругости полупроводника, Е„, — смещение края зоны на единицу деформации кристаллической решетки, пР— эффективная масса электрона проводимости. Согласно выражению (39), подвижность уменьшается с ростом температуры и при увеличении эффективной массы. Подвижность, обусловленная рассеянием на ионпзированных примесях, определяется выражением (34 ) 64~/пв.,(2ЬТ) 12иввИ' ~) — пзл — 1 узы Э (40 ( ) где М, — концентрация ионизированных примесей, в, — диэлектрическая проницаемость. Видно, что в этом случае подвижность также уменьшается с ростом эффективной массы т~, но с ростом температуры она увеличивается, Результирующая подвижность (41) 1 1 14 1 ~ (5 1 1 /б Канц енп~рат1 ил Рис.
18. Дрейфовав подвижность в бе, Б! сти от концентрации легирующей примеси 11ю 10т7 ЮУв пдаттеси, си-т и баАз при Т = 300 К в зависимо- 19, 36, 381. В полярных полупроводниках, таких, как баАз, определяющую роль играет рассеяние на оптических фононах. В этом случае 135) ( „~) — заучила (42) Кроме названных выше механизмов, влияющих на подвижность носителей, следует отметить междолинное рассеяние, когда электрон при рассеянии переходит из одного энергетического минимума в другой (рис. 7), испуская или поглощая при этом соответствующий коротковолновый фонон. На рис. 18 приведены экспериментальные зависимости подвижности вбе, 51 и баАзпри комнатной температуре от концентрации примеси 19, Зб — 38 ). Видно, что с ростом концентрации примеси (при комнатной температуре большая часть примесных атомов ионизирована) подвижность уменьшается, что соответствует выражению (40), Поскольку при увеличении эффективной Физика и свойства полупроводников 35 Рид, 19, Температурная зависимость недвижности электро.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
