TV_lektsia_2 (987177)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 2. Условная вероятность. Независимость событий. Формула длявероятности произведения нескольких событий (независимых изависимых). Формула для вероятности суммы нескольких совместныхнезависимых событий. Формулы полной вероятности и Байеса.Повторные независимые испытания (схема Бернулли). Приближенныеформулы Муавра−Лапласа и Пуассона.ОЛ-1, гл.

3.Условная вероятностьВероятность события A, вычисленную в предположении, что событие Bпроизошло, принято называть условной вероятностью и обозначатьP(A|B).Классическая схема. Пусть событиям A и B благоприятствуют NA и NBэлементарных исходов соответственно. Посмотрим, что дает намимеющаяся информация о событии B. Поскольку событие B произошло,то достоверно известно, что в результате опыта появился один из NBэлементарных исходов, составляющих событие В. Значит, теперь ужепри определении степени возможности события A необходимо выбиратьтолько из NB возможных исходов, причем событию A благоприятствуютNAB исходов, при которых происходят и событие А, и событие B, или,другими словами, происходит событие AB.

При этом по-прежнему будемсчитать все NB входящих в событие B исходов равновероятными.Поэтому условную вероятность P(A|B) события A при условии события Bв рамках классической схемы вероятности естественно определить какотношение числа NAB исходов, благоприятствующих совместномуосуществлению событий A и B, к числу NB исходов,благоприятствующих событию В, т.е.NN / N P( AB)P( A | B)  AB  ABNBNB / NP( B )Статистический подход. Пусть n – общее число экспериментов; nA –число экспериментов, в которых наблюдалось событие A; nB – числоэкспериментов, в которых наблюдалось событие B, nAB – числоэкспериментов, в которых наблюдалось событие AB. Условной частотойсобытия A при условии, что B произошло естественно назвать частотусобытия A, но только не среди всех повторений опыта n, а лишь средитех, в которых наблюдалось событие В, т.е.nrP( AB) defrA|B  AB  AB  P( A | B)nBrBP( B )Определение.

Условной вероятностью события A при условии(наступлении) события B называют отношение вероятности пересечениясобытий A и B к вероятности события B:P( AB)P( A | B) P( B)При этом предполагают, что P( B)  0 .В связи с появлением термина "условная вероятность" будемвероятность события называть также безусловной вероятностью события.Теорема. Условная вероятность P(A|B) обладает всеми свойствамибезусловной вероятности P(A).Замечание. Условная вероятность представляет собой безусловнуювероятность, заданную на новом пространстве Ω1 элементарных исходов,совпадающем с событием B.Геометрическая интерпретация условной вероятности. Припрактическом вычислении условной вероятности события A при условии,что событие B произошло, часто удобно трактовать условнуювероятность как безусловную, но заданную не на исходном пространствеΩ элементарных исходов, а на новом пространстве Ω1 = B элементарныхисходов.Теорема умножения вероятностей (формула для вероятностипроизведения нескольких зависимых событий).

Если A = A1A2...An (т.е.А − пересечение событий A1, A2, ..., An) и P(А) > 0, то справедливоравенство P(A) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(An|A1A2...An − 1), называемоеформулой умножения вероятностей.Доказательство. Поскольку P( A)  P( A1 A2 ... An )  0 , аA1 A2 ... Ak  A1 A2 ... An (k  1,..., n  1)то и P( A1 A2 ... Ak )  P( A1 A2 ... An )  0 . Учитывая это неравенство, согласноопределению условной вероятности, имеемP( A1 A2 ... An )P( An | A1 A2 ... An 1 ) P( A1 A2 ... An 1 )Умножая обе части этого равенства на P( A1 A2 ... An 1 ) получаемP( A1 A2 ... An )  P( An | A1 A2 ... An 1 ) P( A1 A2 ... An 1 )Аналогично находимP( A1 A2 ... An 1 )  P( An 1 | A1 A2 ...

An 2 ) P( A1 A2 ... An 2 ) .ТогдаP( A1 A2 ... An )  P( A1 A2 ... An 2 ) P( An 1 | A1 A2 ... An 2 ) P( An | A1 A2 ... An 1 )Продолжая эту процедуру, получаем формулу умножения вероятностей.Определение. События A и B, имеющие ненулевую вероятность,называют независимыми, если условная вероятность A при условии Bсовпадает с безусловной вероятностью A или если условная вероятностьB при условии A совпадает с безусловной вероятностью B. В противномслучае события A и B называют зависимыми.Теорема.

События A и B, имеющие ненулевую вероятность, являютсянезависимыми тогда и только тогда, когдаP( AB)  P( A) P( B)Теорема. Если события A и B независимые, то независимыми такжеявляются пары событий A и B, A и B , A и B , если вероятностисоответствующих событий ненулевые.Определение. События А1, A2, ..., Аn называют независимыми всовокупности, если вероятность пересечения любых двух различныхсобытий равна произведению вероятностей этих событий; вероятностьпересечения любых трех событий равна произведению ихвероятностей; ...; вероятность пересечения всех событий равнапроизведению их вероятностей.Формула для вероятности произведения нескольких независимыхсобытий).

Если A = A1A2...An (т.е. А − пересечение событий A1, A2, ..., An),P(А) > 0 и события А1, A2, ..., Аn независимы в совокупности, тосправедливо равенство P(A) = P(A1)P(A2)P(A3)...P(An).Теорема. Если события А1, A2, ..., Аn независимы в совокупности, то исобытия А1 , A2 , ..., Аn независимы в совокупности.Замечание. (о связи между совместными и зависимыми событиями).Между понятиями „несовместные" и „независимые" события имеетсяследующая связь:1) если A и B − несовместные события (и P( A)  0 , и P( B)  0 ), то ониобязательно зависимые (убедитесь самостоятельно);2) если A и B − совместные события, то они могут быть и зависимыми, инезависимыми;3) если A и B − зависимые события, то они могут быть и совместными, инесовместными.Следует помнить, что при использовании теоремы сложениявероятностей нужно проверять несовместность событий, а прииспользовании теоремы умножения − независимость событий.Формула для вероятности суммы нескольких совместныхнезависимых событий.

В прошлой лекции была получена формула:P( A1  ...  An )  P( A1 )  ...  P( An )  P( A1 A2 )  P( A1 A3 )  ...  P( An 1 An )  P( A1 A2 A3 )  ...  ( 1) n 1 P( A1 A2 ... An )В случае независимых, но совместных событий она примет видP( A1  ...  An )  P( A1 )  ...  P( An )  P( A1 ) P( A2 )  P( A1 ) P( A3 )  ...

 P( An 1 ) P( An )  P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) ...  (1) n 1 P( A1 ) P( A2 )...P( An )Формула полной вероятности и БайесаПредположим, что в результате опыта может произойти одно из nсобытий Н1, H2, ..., Нn, которые удовлетворяют следующим двумусловиям:1) они являются попарно несовместными, т.е. H i H j  при i ≠ j.2) хотя бы одно из них обязательно должно произойти в результатеопыта, другими словами, их объединение есть достоверное событие.Определение. События Н1, H2, ..., Нn удовлетворяющие условиям 1 и 2,называют гипотезами.Заметим, что если события удовлетворяют второму из двух указанныхтребований, то их совокупность называют полной группой событий.Таким образом, гипотезы – это попарно несовместные события,образующие полную группу событий.Пусть также имеется некоторое событие А и известны вероятностигипотез P(Н1), ..., Р(Нn), которые предполагаются ненулевыми, иусловные вероятности P(А|Н1), ..., P(A|Hn) события A при выполненииэтих гипотез.Теорема.

Пусть для некоторого события A и гипотез Н1, H2, ..., Нnизвестны P(Н1), ..., P(Нn), которые положительны, и P(А|Н1), ..., P(A|Нn).Тогда безусловную вероятность определяют по формулеP(A) = P(H1) P(А|Н1) +... + P(Нn) P(A|Нn)которую называют формулой полной вероятности.Доказательство. Представим событие А в видеA  A  A( H1  ...  H n )  AH1  ...

 AH nС учетом того, что события AH i , i  1,..., n , несовместны, имеемP( A)  P( AH1 )  ...  P( AH n )В соответствии с формулой умножения вероятностей получаемP( AH i )  P( H i ) P( A | H i ), i  1,..., nТеорема. Пусть для некоторого события A, P(A) > 0, и гипотез H1, ..., Hnизвестны P(H1), ..., P(Hn) (P(Hi) > 0, i = 1, ..., n) и P(A|H1), ..., P(A|Hn).Тогда условная вероятность P(Hi|A), i = 1, ..., n, гипотезы Hi при условиисобытия A определяется формулой БайесаP( H i | A) P( H i ) P( A | H i )P( H1 ) P( A | H1 )  ...  P( H n ) P( A | H n )Схема БернуллиПовторные испытания – это последовательное проведение n раз одного итого же опыта или одновременное проведение n одинаковых опытов.Например, при контроле уровня надежности прибора могут либопроводить n испытаний с одним и тем же прибором, если после отказаполностью восстанавливают его исходные свойства, либо ставить наиспытания n опытных образцов этого прибора, которые считаютидентичными.Определение.СхемойБернулли(илипоследовательностьюнезависимых одинаковых испытаний, или биномиальной схемойиспытаний)называютпоследовательностьиспытаний,удовлетворяющую следующим условиям:1) при каждом испытании различают лишь два исхода: появлениенекоторого события A, называемого „успехом", либо появление егодополнения A , называемого „неудачей";2) испытания являются независимыми, т.е.

вероятность успеха в k-миспытании не зависит от исходов всех испытаний до k-гo;3) вероятность успеха во всех испытаниях постоянна и равнаР  A  p .Вероятность неудачи в каждом испытании обозначим q, т.е.Р A  1 p  q Пример. Последовательное подбрасывание n раз симметричной монеты(здесь успехом является появление „герба" с вероятностью р = 1/2) илипоследовательное бросание n раз игральной кости (здесь успехом можносчитать, например, появление шестерки с вероятностью р = 1/6).

Эти двереальные схемы испытаний являются примером идеального соответствиясхеме испытаний Бернулли.Теорема. Вероятность Pn(k) того, что в n испытаниях по схеме Бернуллипроизойдет ровно к успехов, определяется формулой БернуллиРn  k   Сnk pk qnkДоказательство. Результат каждого опыта можно записать в видепоследовательности УНН...У, состоящей из п букв „У" и „Н", причембуква „У" на i-м месте означает, что в i-м испытании произошел успех, а„Н" – неудача. Пространство элементарных исходов Ω состоит из 2nисходов, каждый из которых отождествляется с определеннойпоследовательностью УНН...У.Каждому элементарному исходу ω = УНН...У можно поставить всоответствие вероятность P(ω) = P(УНН...У).В силу независимости испытаний события У,Н,Н,...,У являютсянезависимыми в совокупности, и потому по теореме умножениявероятностей имеем Р    pi qni , i  1,..., n , если в n испытаниях успех„У" имел место i раз, а неуспех „Н", следовательно, n – i раз.Событие Ak происходит всякий раз, когда реализуется элементарныйисход ω, в котором i = k.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций