TV_lektsia_4 (987180)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 4. Примеры непрерывных СВ: равномерная, экспоненциальная,нормальная. Числовые характеристики непрерывных СВ. Функция отСВ, нахождение закона её распределения, мат. ожидания и дисперсии.ОЛ-1 гл. 4, 6, 7; ДЛ-2 гл. 4, 5.Примеры непрерывные случайных величинРавномерное распределение. Случайная величина имеет равномерноераспределение на отрезке [а, b], если ее плотность распределенияxa0 1a xbxa, F ( x)  a xbp ( x)   b  abax  a или x  b0xb1Вероятность попадания равномерно распределенной случайнойвеличины в интервал (х1, x2), лежащий внутри отрезка [a, b], равнаF(x2) − F(x1) = (x2 − x1)/(b − а), т.е. пропорциональна длине этогоинтервала. Таким образом, равномерное распределение реализует схемугеометрической вероятности при бросании точки на отрезок [a, b].Экспоненциальное распределение. Случайная величина распределенапо экспоненциальному (показательному) закону, если она имеетплотность распределенияx0x000p( x)   x, F ( x)  xx0x0 e1  eгде λ > 0 − параметр экспоненциального распределения.Экспоненциально распределенная случайная величина может приниматьтолько положительные значения.

Примером случайной величины,имеющей экспоненциальное распределение, является время распадарадиоактивных элементов.Экспоненциально распределенная случайная величина X обладает весьмаважным свойством, которое естественно назвать отсутствиемпоследействия. Трактуя X как время распада атома, рассмотрим событиеA = {xi < X < х1 + x2}и найдем условную вероятность этого события при условии выполнениясобытия В = {X > х1}. В соответствии с определением условнойвероятности P(A|B) = P(AB)/P(B).

Но событие AB, как нетрудно понять,совпадает с событием А. Поэтому P(A|B) = P(A)/P(B). Далее, используясвойство 4 функции распределения, имеем: P( A)  ex1 (1  ex2 ) ,P( A)  ex1 . Значит, P( A | B)  (1  e x2 ) , то есть вероятность распадаатома за время х2 при условии, что перед этим он уже прожил время х1,совпадает с безусловной вероятностью распада того же самого атома завремя x2. Именно это свойство и представляет собой отсутствиепоследействия.

Допуская некоторую вольность речи, отсутствиепоследействия можно трактовать как независимость остаточноговремени жизни атома от того времени, которое он уже прожил. Можнопоказать и обратное: если случайная величина X обладает свойствомотсутствия последействия, то она обязательно должна быть распределенапо экспоненциальному закону. Таким образом, отсутствие последействияявляетсяхарактеристическимсвойствомэкспоненциальнораспределенных случайных величин.Нормальное распределение. Случайная величина распределена понормальному (или гауссову) закону, или имеет нормальное (гауссово)распределение, если ее плотность( x  m )212m, ( x) e 2 (  m  ,   0) 2Нормальное распределение зависит от двух параметров: m, называемогоматематическим ожиданием или средним значением, и σ, называемогосредним квадратичным отклонением.x( x  m )212 m , ( x) e 2  dx 2 Если m = 0 и σ = 1, то такой нормальный закон называют стандартным иего функцию распределения обозначают Ф(x), а плотностьраспределения − φ(х).

С плотностью и функцией стандартногонормального распределения мы уже встречались в локальной иинтегральной формулах Муавра−Лапласа.Гамма-распределение. Другим распределением, также достаточнохорошо описывающим времена безотказной работы различныхтехнических устройств, является гамма-распределение с плотностьюx00  1p ( x)    x(  0,   0) , (  )   x 1e x dxxx00 (  ) e( ) − гамма-функция Эйлера, обладающая следующими полезнымисвойствами: (  1)  () и (n)  (n  1)!, n  Z .Числовые характеристики непрерывных случайных величинОпределение. Математическим ожиданием (средним значением) MXнепрерывной случайной величины называют интегралMX  xp( x)dxПри этом предполагается, что | x | p( x)dx  Дисперсия вычисляется по формуле DX  ( x  MX )2p( x)dxПример 4.

Математическое ожидание и дисперсияраспределенной на отрезке [а, b] случайной величины Xb  a xba, DX MX   xp( x)dx  dx ba212abравномерно2Пример 5. Математическое ожидание и дисперсия случайной величиныX, распределенной по нормальному закону с параметрами m и σ:MX  xm,( x)dx  m , DX  2Пример 6. Математическое ожидание и дисперсия случайной величиныX, имеющей экспоненциальное распределение11MX  , DX  2Пример 7. Математическое ожидание и дисперсия случайной величиныX, имеющей гамма-распределениеMX  , DX  2Модой случайной величины X непрерывного типа называется действительное число dx, определяемое как точка максимума плотностираспределения вероятностей fX(х).Медианой случайной величины X непрерывного типа называетсядействительное число hx, удовлетворяющее условиюP{X < hx} = P{X ≥ hx},т.е. корень уравнения FX(x) = 1/2. Так как данное уравнение может иметьмножество корней, то медиана определяется, вообще говоря,неоднозначно.Квантилью порядка р (симметричной квантилью порядка р) распределения случайной величины X непрерывного типа называется дей^ствительное число tp (действительное число t p ), удовлетворяющееуравнениюP  X  t p   p ( P  X  tˆp   p )Функция от случайной величиныПусть на вероятностном пространстве (Ω, B, Р) задана случайнаявеличина X = Х(ω).

Рассмотрим действительную функцию у = Y(х)действительного аргумента х (область определения которой включает всебя множество возможных значений случайной величины X).Определение. Случайную величину Y, которая каждому элементарномуисходу ω ставит в соответствие числоY(ω) = Y(X(ω))называют функцией Y(X) (скалярной) от скалярной случайной величиныX.Функция Y = Y(X) от дискретной случайной величины также являетсядискретной случайной величиной, поскольку она не может приниматьбольше значений, чем случайная величина X.Функция Y = Y(X) от непрерывной случайной величины X может быть какнепрерывной, так и дискретной (если, например, множество значенийфункции Y(X) конечное или счетное).В силу определения FY(y) представляет собой вероятность события{Y < у}, состоящего из тех элементарных исходов ω, для которыхY(Х(ω)) < у.

Для этих же элементарных исходов ω случайная величинаХ(ω) будет принимать свои возможные значения на некоторойсовокупности {Δk}, k = 1,2,..., непересекающихся промежутков числовойпрямой R. Иными словами, событие {Y(Х(ω)) < у} эквивалентнособытию {X () k } , и, следовательно, по расширенной аксиомеkсложения вероятностейFY ( y)  P{Y ( X ())  y}   P{ X ()  k }kЗная плотность распределения рX(х) случайной величины X, имеемP{ X ()   k }   pX ( x)dxkа следовательно, учитывая свойство аддитивности определенногоинтеграла, получаемFY ( y )    p X ( x)dx   p X ( x)dx,     kk kkгде сумма может быть и бесконечной.Поскольку совокупность промежутков {Δk} определена как множествотех значений случайной величины Х(ω), для которых Y(Х(ω)) < у, то длямножества    k , по которому ведется интегрирование, принятоkобозначение: Y(x) < y.

Окончательно получаемFY ( y )   p X ( x)dxY ( x ) yПоследняя запись означает, что интегрирование проводится по всем темзначениям х, для которых Y(x) < у. Множество таких значений можетпредставлять собой совокупность промежутков, и тогда нужноиспользоватьсвойствоаддитивностиинтеграла,апределыинтегрирования по отдельным промежуткам определяются ихграницами.Найдем математическое ожидание функции от случайной величины.Рассмотрим сначала дискретную случайную величину Х принимающуюзначения x1, ..., xn. Тогда случайная величина Y = Y(X) принимаетзначения Y(x1), ..., Y(xn) с вероятностями pi = P{X = xi} и еематематическое ожидание определяется формулойnMY  MY ( X )   Y ( xi ) pii 1Если же величина X принимает счетное числоматематическое ожидание Y определяется формулойзначений,тоMY  MY ( X )   Y ( xi ) pii 1но при этом для существования математического ожидания требуетсяабсолютная сходимость соответствующего ряда Y (x ) pi 1ii Для непрерывкой случайное величины X, имеющей плотностьраспределения р(х), математическое ожидание случайной величиныY = Y(X) можно найти, используя формулуMY  MY ( X )  Y ( x) p( x)dxпричем и здесь требуется выполнение условия Y ( x) p( x)dx  Теорема.

Математическое ожидание удовлетворяет следующимсвойствам.1. Если случайная величина X принимает всего одно значение С свероятностью единица (т.е., по сути дела, не является случайнойвеличиной), то МС = С.2. М(аХ + b) = aMХ + b, где а, b − постоянные.3. М(Х1 + Х2) = МХ1 + МХ2.4. М  Х1 Х 2   МХ1  MХ 2 для независимых случайных величин Х1 и Х2.Доказательство. 1) Если случайная величина X принимает всего однозначение С с вероятностью единица, то МС = С ∙ 1 = С.2) Для непрерывной случайной величины Y  aX  bMY  M (aX  b)  (ax  b) px ( x)dx  a  xpx ( x)dx  b  px ( x)dx  aMX  b3) и 4) утверждения можно доказать с использованием многомернойслучайной величины и ее свойств.Теорема.

Дисперсия удовлетворяет следующим свойствам.1. Если случайная величина X принимает всего одно значение С свероятностью единица, то DC = 0.2. D(aX + b) = a2DX.3. DX = MX2 − (MX)2.4. D(X + Y) = DX + Dy для независимых случайных величин X и Y.Доказательство. 1) Если случайная величина X с вероятностью единицапринимает всего одно значение С, то в силу свойства 1 математическогоожидания (MX = С) получаемDX = М(Х − С)2 = (С − С)2 ∙ 12) Определим дисперсию случайной величины Y = aX + b.

Используясвойство 2 математического ожидания, имеемDY  M (Y  MY )  M (aX  b  M (аХ  b))2  М (аХ  b  аМХ  b)2  М (а( Х  MX )) 2  M (а 2 ( Х  MX )2 )  a 2 М ( Х  MX )2 .3) Далее, согласно свойствам 2 и 3 математического ожидания, получаемDХ  М ( Х  MX ) 2  М ( Х 2  2 ХМХ  ( MX ) 2 )  MX 2  2  МХ   ( MX ) 2  MX 2  ( MX ) 224) Пусть X и Y − независимые случайные величины. Тогда, используяooнезависимость случайных величин X  X  MX и Y  Y  MY , а такжесвойства 2-4 математического ожидания, получаемD( X  Y )  M  X  Y  M ( X  Y )   М (( Х  MX )  (Y  MY )) 2 2 М ( Х  MX ) 2  2 M (( X  MX )(Y  MY ))  М (Y  MY ) 2 oo DX  2( M X  М Y )  DY  DX  DY.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций