TV_lektsia_3 (987178)

Файл №987178 TV_lektsia_3 (лекции 1-7)TV_lektsia_3 (987178)2015-07-30СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 3. Случайные величины (СВ). Дискретная СВ, её рядраспределения. Примеры дискретных СВ: биномиальная, пуассоновская,геометрическая.ЧисловыехарактеристикидискретныхСВ:математическое ожидание, дисперсия, среднеквадратичное отклонение.Функция распределения дискретной СВ. Непрерывные СВ: функцияраспределения, плотность вероятности, их свойства.ОЛ-1 гл. 4, 7; ДЛ-1 гл. 4, 5.Случайной величиной естественно называть числовую величину,значение которой зависит от того, какой именно элементарный исходпроизошел в результате эксперимента со случайным исходом.Множество всех значений, которые случайная величина можетпринимать, называют множеством возможных значений этой случайнойвеличины.Следовательно, для задания случайной величины необходимо каждомуэлементарному исходу поставить в соответствие число − значение,которое примет случайная величина, если в результате испытанияпроизойдет именно этот исход.Определение.

Скалярную функцию Х(ω), заданную на пространствеэлементарных исходов, называют случайной величиной, если для любогомножествоисходов,x : Х    х элементарныхудовлетворяющих условию Х    х , является событием.Пример. На плоский экран падает частица. Будем считать, что намизвестна вероятность попадания частицы в любое (измеримое, т.е.имеющее площадь) множество на экране.

Случайными величинами вданном случае будут, например, расстояние X от центра экрана до точкипадения, квадрат этого расстояния Y = X2, угол Z в полярной системекоординат и т.д.Дискретные случайные величиныОпределение. Случайную величину X называют дискретной, еслимножество ее возможных значений конечно или счетно.Определение. Рядом распределения (вероятностей) дискретнойслучайной величины X называют таблицу, состоящую из двух строк: вверхней строке перечислены все возможныеX x1 x2 ... xi ... xn значения случайной величины, а в нижней −P p1 p2 ... pi ... pn вероятностиpi = P{X = xi}того,чтослучайная величина примет эти значения.Таким образом, функция распределения дискретной случайнойвеличины является кусочно постоянной функцией, принимающей напромежутке (−∞, х1] значение 0, на промежутках (xi, xi + 1], 1 ≤ i <n, −значение р1 + ...

+pi и на промежутке (xn, +∞) − значение 1.Биномиальное распределение. Дискретная случайная величина XпоX 01...i... n распределенабиномиальному закону, еслиP q n Cn1 pq n 1 ... Cni p i q n i pi ... pn она принимает значения 0,1,2,... , n в соответствии с распределением, заданным формулойP X  i  Pn (i)  Cni pi qni , i  0,..., nили, что тоже самое, рядом распределения, представленным в таблице,где 0 < p, q <1 и p + q = 1.Биномиальное распределение является не чем иным, как распределениемчисла успехов X в п испытаниях по схеме Бернулли с вероятностьюуспеха p и неудачи q = 1 − p.Распределение Пуссона.

Дискретная случайная величина XпозаконуX 012...n... распределена2nПуассона,еслионапринимает  P e e...... целыеeeнеотрицательные2n!значениясвероятностямиiP  X  i  P(i; )  e , i  0,1,..., или, по-другому, с вероятностями,i!представленными рядом распределения в таблице, где λ > 0 − параметрраспределения Пуассона.Распределение Пуассона также называют законом редких событий,поскольку оно всегда проявляется там, где производится большое числоиспытаний, в каждом из которых с малой вероятностью происходит"редкое" событие. В соответствии с законом Пуассона распределены,например, число вызовов, поступивших в течение суток на телефоннуюстанцию; число метеоритов, упавших в определенном районе; числораспавшихся частиц при радиоактивном распаде вещества.Геометрическое распределение.

Рассмотрим схему Бернулли.Пусть X − число испытаний, которое необходимо провести, прежде чемX 0 12 ... n ... появится первый успех. Тогда X −случайнаявеличина,P p qp q2p ... qnp ... дискретнаяпринимающая значения 0, 1, 2, ..., n, ...Определим вероятность события {X = n}. Очевидно, что X = 0, если впервом же испытании произойдет успех.Поэтому P X  0  p . Далее, X = 1 в том случае, когда в первомиспытании произошла неудача, а во втором − успех. Но вероятностьтакого события, равна qp, т.е. P X  1  qp . Аналогично X = 2, если впервых двух испытаниях произошли неудачи, а в третьем − успех, и,значит, Продолжая эту процедуру, получаемP X  i  pqi , i  0,1,...,Случайную величину с таким рядом распределения называютраспределенной согласно геометрическому закону.Числовые характеристики дискретных случайных величинОпределение.

Математическим ожиданием (средним значением) MXдискретной случайной величины X называют сумму произведенийзначений xi случайной величины и вероятностей pi = P{Х = xi}, скоторыми случайная величина принимает эти значения: M X   i xi pi .При этом, если множество возможных значений случайной величины Xсчетно, предполагается, что| x | pii 1i т.е. ряд, определяющий математическое ожидание, сходится абсолютно;в противном случае говорят, что математическое ожидание случайнойвеличины X не существует.Определение. Дисперсией DХ случайной величины X называютматематическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Xот ее среднего значения, т.е.D X  M( X  M X ) 2Дисперсия дискретной случайной величины вычисляется по формулеD X   ( xi  M X ) 2 piiНетрудно видеть, что дисперсия DX имеет размерность квадратаразмерности случайной величины X.

Для практических же целей удобноиметь величину, характеризующую разброс значений случайнойвеличины вокруг ее математического ожидания, размерность которойсовпадает с размерностью X. В качестве такой величины естественноиспользовать   D X , которую называют средним квадратичнымотклонением случайной величины X (иногда также стандартом, илистандартным отклонением).Определение. k-тым начальным моментом (обычно опускают слово„начальный") mk дискретной случайной величины X называютматематическое ожидание от Xk:mk  MX k   xik piiОпределение. k-тым центральным моментом дискретной случайнойвеличины X называют математическое ожидание от k-той степеницентрированной случайной величины:oomk  M X k  M  X  MX kМомент первого порядка совпадает с математическим ожиданием,центральный момент первого порядка равен нулю, центральный моментвторого порядка является дисперсией.

Отметим также, что втеоретических изысканиях рассматривают моменты не обязательноцелого порядка k.Мода случайной величины дискретного типа определяется как такоевозможное значение хт, для которогоP  X  xm   max P{ X  xk }kТаким образом, мода случайной величины дискретного типа есть еенаиболее вероятное значение в случае, если такое значение единственно.Мода может не существовать, иметь единственное значение(унимодальное распределение) или иметь множество значений(мультимодальное распределение).Пример 1. Математическое ожидание и дисперсию случайной величиныX, распределенной по биномиальному закону (число успехов в nиспытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успеха р):nnnn!MX   iPn (i )   iCni p i q n i   ip i q n i  npi!(ni)!i 0i 0i 0Можно посчитать по-другому.

Представим число успехов X в nиспытаниях по схеме Бернулли в видеX  X 1  ....  X nгде Хi − число успехов в i-м испытании. Нетрудно видеть, что22MX i  0  q  1 p  p , DX i   0  MX i  q  1  MX i  p  pqЗначит, в силу свойства 3 MX  np . Учитывая, что случайные величиныХi являются независимыми, в силу свойства 4 дисперсии получаемDX  npq .Пример 2. Пусть случайная величина X имеет распределение Пуассона.Тогдаi i 1 MX   i e    e i!i 0i  0 (i  1)!MX 2   i 2i 0 i e   ( MX  1)   2  , DX   2     2  i!Пример 3.

Пусть случайная величина X имеет геометрическоераспределение:'nq n MX   ipq i  pq  iq i 1  pq   q i  i 0i 1 i 1 q pqDX  2pОпределение. Функцией распределения (вероятностей) случайнойвеличины X называют функцию F(x), значение которой в точке х равновероятности события {X < x}, т.е. события, состоящего из тех и толькотех элементарных исходов ω, для которых Х    х :F(x) = P{X < x}Обычно говорят, что значение функции распределения в точке х равновероятности того, что случайная величина X примет значение, меньшее х.Теорема. Функция распределения обладает следующими свойствами:1) 0  F ( x)  1 ;2) F(x1) < F(x2) при x1 < x2 (т.е.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
472,99 Kb
Материал
Тип материала
Высшее учебное заведение

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6439
Авторов
на СтудИзбе
306
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее