TV_lektsia_7 (987185)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 7. Основные распределения математической статистики:хи-квадрат, Стьюдента, Фишера. Доверительные интервалы. Построение доверительных интервалов для биномиального закона.Построение доверительного интервала для математического ожидания нормального закона при известной и неизвестной дисперсии.Построение доверительного интервала для дисперсии нормальногозакона при известном и неизвестном математическом ожидании.МП-4; ОЛ-2, глава 3Сумма независимых случайных величин, распределенных понормальному законуПусть имеется m независимых случайных величин ξ1, ..., ξm, где ξiимеет нормальное распределение с параметрами (μi, σi), i = 1, ..., m.Тогда их сумма ξ1 + ...

+ ξm также имеет нормальное распределение с  1  ...   mматематическиможиданиемидисперсией 2  12  ...   2mχ2-распределениеПусть ξ1, ..., ξm независимые одинаково распределенные случайныевеличины, каждая из которых имеет стандартное нормальное распределение с параметрами μ = 0, σ = 1. Тогда сумма квадратов этихслучайных величин 12  ...   2m имеет χ2-распределение с m степенями свободы, плотность которого имеет вид1f ( x)  m /2x ( m /2) 1e  x /22 (m / 2)Это распределение является частным случаем гамма-распределенияс параметрами λ = 1/2, γ = т/2.

Тем самым, сумма независимых случайных величин, имеющих χ2-распределение, также имеет χ2распределение с числом степеней свободы, равным сумме степенейсвобода для отдельных слагаемых.Распределение СтьюдентаПусть случайные величина ξ, η − независимы, причем ξ имеет стандартнее нормальное распределение с параметрами. 0, 1, а η имеет χ2распределение с т степенями свободы. Тогда статистикаtmnимеет распределении Стьюдента с m степенями свободы, плотностькоторого имеет вид x2 f ( x)  C 1  m ( m 1)/2гдеС−нормировочнаяконстанта;C  1/ (1/ 2, m / 2) m ;1( y, z )   t y 1 (1  t ) z 1 dt − бета-функция.0Примечание. В случае нормального распределения статистики  n ( x  ) /  ,   nS 2 /  2независимы и имеют соответственно стандартное нормальное распределении и χ2-распределение с п − 1 степенями свободы.

Следовательно, статистикаx Tn 1 n 1Snимеет распределение Стьюдента с п − 1 степенями свобода, на основании чего строится доверительный интервал для параметра μпри неизвестной дисперсии σ2.Распределение дисперсионного отношения ФишераЕсли случайные величины ξ, η − независимы и имеют χ2распределение соответственно с п и m степенями свободы, то статистикаmnимеет распределение Фишера с плотностьюf ( x)  Cx( n2)1 / 1  nx / m  ( n  m )/2где С − нормировочная константа; C  (n / m) n /2 / (n / 2, m / 2) .Доверительные интервалыПри оценивании неизвестных параметров наряду с рассмотреннымивыше точечными оценками часто используются также доверительные интервалы. Пусть x1 , x2 ,..., xn − выборка объема п из генеральной совокупности с функцией распределения F(x, θ) и плотностью распределения f(x, θ), зависящими от параметра θ, значениекоторого неизвестно.

Предположим, что для параметра θ на основевыборки построен интервал [ ,  ] , нижняя и верхняя границы которого являются некоторыми функциями от выборки  ( x1 , x2 ,..., xn ) ,    ( x1 , x2 ,..., xn )Интервал [ ,  ] называется доверительным интервалом для параметра θ с коэффициентом доверия γ, еслиP(     )  (1)при всех возможных значениях θ.

При этом значения коэффициентадоверия обычно выбирается достаточно близким к единице, напри-мер γ = 0.9; 0.95 и т.п.Таким образом, доверительный интервал [ ,  ] представляет собойинтервал со случайными границами, построенный на основе выборки так, что он накрывает неизвестное значение параметра θ с заданной достаточно высокой вероятностью γ. В отличие от точечныхоценок доверительный интервал дает информацию не только о том,где находится неизвестное истинное значение параметра, но и оточности или достоверности оценивания, которая характеризуетсякоэффициентом доверия γ.Методы построения доверительных интерваловОдним из часто используемых для построения доверительных интервалов является метод, основанный на предварительном построении некоторой центральной статистики.Центральной статистикой называется любая функция, зависящая отпараметра θ и от выборкиT  T ( x1 , x2 ,..., xn , )(2)т.е.

такая, что функция распределения статистики F (t )  P(T  t ) независит от параметра θ.Предположим, что центральная статистика (2) является монотоннойфункцией параметра θ, например, монотонно убывающей.Квантилем уровня α функции распределения F(t) случайной величины T называется величина K = K(α) определяемая из условияP(T  K )  F ( K )  Зададимся двумя малыми числами ε1, ε2 и определим величины t1, t2из условийP(T  t1 )  F (t1 )  1 , P(T  t2 )  1  F (t2 )   2Для этого, очевидно, нужно положить t1  K (1 ) , t2  K (1   2 ) .

Тогда для центральной статистики (2) будет выполняться равенствоP(t1  T ( x1 , x2 ,..., xn , )  t2 )  (3)где   1  1   2 .Далее нижняя и верхняя границы  ,  доверительного интерваладля параметра θ определяются как соответственно минимальное имаксимальное значение среди всех θ, удовлетворяющих неравенствамt1  T ( x1 , x2 ,..., xn , )  t2При этом из равенства (3) следует равенствоP(     )  т.е. определенный таким образом интервал [ ,  ] является дове-рительным интервалом с коэффициентом доверия   1  1   2 .В большинстве случаев центральная статистика (2) монотонно зависит от параметра θ. Пусть, например, она монотонно убывает пo θ.Тогда нижняя и верхняя границы доверительного интервала определяются из уравненииT ( x1 , x2 ,..., xn , )  t2(4)T ( x1 , x2 ,..., xn , )  t1Если центральная статистика монотонно возрастает по θ, то границы доверительного интервала находятся из уравненийT ( x1 , x2 ,..., xn , )  t1T ( x1 , x2 ,..., xn , )  t2При этом на практике чаще всего доверительный интервал строитсясимметричным образом, т.е.

полагается 1   2    (1   ) / 2 .Рассмотрим далее построение доверительных интервалов для параметров основных, наиболее часто используемых законов распределения.Интервальная оценка Клоппера−Пирсона для параметра биномиального распределения. Пусть дискретная случайная величинаXi, i = l, ..., n, характеризует исход i-го испытания в серии из n испытаний, проводимых по схеме Бернулли. Тогда случайная величинаK = Х1 + ... + Хп − число успехов в n испытаниях.

При этомK = K(Хп) − функция случайной выборки Xn = (X1, ..., Xn). В рассматриваемом случае T(Xn) = K(Xn).Функция распределения статистики K(Xn) имеет вид Cnj p j (1  p ) n  j , x  0F ( x, p )   j  c 0,x0Эта функция убывающая по p. Нижняя и верхняя границы интервальной оценки с коэффициентом доверия γ = 1 − α − β для параметра p определяются из следующих уравнений:K ( Xn ) 1j 0Cnj p j (Xn )(1  p( Xn ))n j  1   при K(Xn) ≥ 1K ( Xn )Cj 0jnp j ( Xn )(1  p( Xn ))n j   при K(Xn) ≤ n − 1Эти уравнения называются уравнениями Клоппера−Пирсона. ПриK(Хп) = 0 нижняя граница p ( X n )  0 . При K(Хп) = n верхняя границаp ( Xn )  1 .Приближенный доверительный интервал для параметра биномиального распределения. Пусть т − число наблюдаемых "успехов" в серии из п испытаний по схеме Бернулли с неизвестным параметром − вероятностью p в одном испытании.

Случайная величина m имеет биномиальное распределение с параметром р. Для построения доверительного интервал для p возьмем в качестве исходной центральной статистики величинуm  npTnp (1  p )В соответствии с предельной теоремой Муавра−Лапласа эта статистика при достаточно большом объеме наблюдений n имеет приближенно стандартное нормальное распределение. Таким образом, неравенствоm  npu1  u1np (1  p )выполняется с вероятностью, которую при большом n модно считать приближенно равной   1  2 .

Последнее неравенство можетбыть записано в видеm u1m up(1  p)  p   1 p(1  p)nnnnЭти неравенства еще не дают доверительного интервала для p, таккак их левая и правая части также содержат p. Поэтому на практикечасто подставляют в указанные части неравенств вместо неизвестного значения параметра p его оценку pˆ  m / n . В результате получают следующие нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала с коэффициентом доверия   1  2 для параметра p:m u1 m  m m u1 m  m 1   , p  1  nnn n nn n nЭти доверительные границы являются приближенными и могут использоваться в случае достаточно большого объема наблюдений п.При небольших значениях n обычно используются точные доверительные границы Клоппера−ПирсонаДоверительный интервал для параметра экспоненциальногораспределения.

Рассмотри случай экспоненциального закона рас1 xпределения с плотностью f ( x, )  exp    , x > 0. В качестве ис ходной центральной статистики возьмемpnxii 1 Эта статистика имеет стандартное  2 -распределение с 2n степенямисвободы. Систем уравнений (4) в данном случае имеет видnnxx2 i  t2  12 (2n) , 2 i  t1   2 (2n)i 1 i 1 2где   (2n) − квантиль уровня α для  2 -распределения с 2п степенями свободы,   (1  ) / 2 .Отсюда получаем, что нижняя и верхняя границы доверительногоинтервала с коэффициентом доверия   1  2 для параметра экспоненциального закона распределения имеют видnnxx  2 2 i,   2 2 ii 1 1 (2 n )i 1   (2 n )Доверительные интервалы для параметров нормального распределенияРассмотрим построение доверительных интервалов для параметровμ, σ нормального закона распределения, которые имеют смысл соответственно среднего значения (математического ожидания) исреднеквадратичного отклонения для этого закона.Доверительный интервал для μ при известной дисперсии σ2В этом случае в качестве исходной центральной статистики возьмемследующую: x  T  n  которая имеет стандартное нормальное распределение с параметрами 0, 1.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций