TV_lektsia_7 (987185), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Система уравнений (4) соответственно принимает вид n x   /   t2  u1 n  x    /   t1  uгде u  − квантиль уровня α стандартного нормального закона;  (1  ) / 2 .Отсюда, учитывая, что для нормального закона u  u1 , получаемследующие нижнюю и верхнюю границы доверительного интерваладля параметра μT  2  x  u1  / n ,   x  u1  / nДоверительный интервал для μ при неизвестной дисперсии σ2В этом случае исходной центральной статистикой является x  T  n 1 S где x − выборочное среднее; S − выборочная дисперсия. Эта статистика имеет распределение Стьюдента с (n − 1) степенями свободы.Система уравнений (4) в данном случае принимает вид n  1 x   / S  t1 (n  1) n  1  x    / S  t (n  1)где t (n  1) − квантиль уровня α распределения Стьюдента с (n − 1)степенями свободы;   (1  ) / 2 .Поскольку распределение Стьюдента симметрично, то для негоt (n  1)  t1 (n  1) .

Таким образом, нижняя и верхняя границы доверительного интервала с коэффициентом доверия   1  2 для параметра μ в случае с неизвестной дисперсией определяются по формулам  x  t1 (n  1)  S / n  1 ,   x  t1 (n  1)  S / n  1Доверительный интервал для σ при известном среднем μВ этом случае центральная статистика видаnT  xi   22имеет  2 -распределения с п степенями свободы. Система уравнений(4) принимает вид n  xi   2 12 (n)2 i 12 n  xi    2 (n)  2 i 1откуда получаем нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала с коэффициентом доверия   1  2 для σi 11/21/2 n n22    xi    / 12 (n)  ,     xi    / 2 (n)  i 1 i 1Доверительный интервал для σ при неизвестном среднем μВ этом случае в качестве исходной центральной статистики возьмемT  nS 2 / 2которая имеет  2 -распределения с п − 1 степенями свободы.

Система уравнений (4) в этом случае имеет видnS 2 / 2  12 (n  1) 2 22 nS /    (n  1)откуда таким же образом получаем нижнюю и верхнюю границыдоверительного интервала с коэффициентом доверия   1  2 для σв случае неизвестного среднего  n  S / 12 (n  1) ,   n  S / 2 (n  1)Приближенный доверительный интервал для мат. ожиданияПусть x1 , x2 ,..., xn − повторная независимая случайная выборка или,другими словами, п повторных независимых наблюдений некоторойслучайной величины ξ с конечными (неизвестными) математическим ожиданием   M  и дисперсией σ2. При этом закон распределения наблюдаемой случайной величины здесь (в отличие от предыдущих параграфов) неизвестен.

Рассмотрим статистику x  T  n  В соответствии с центральной предельной теоремой эта статистикапри больших объемах наблюдений n имеет приближенно нормальное распределении. Отсюда, аналогично определениям в предыдущем параграфе, получаем, что неравенства x  u1  (*) n  u1  выполняются с вероятностью, близкой при больших n к величине  1  2 . Неравенства (*) эквивалентны следующим:    x  u1     x  u1  n nПрименяя еще одно приближение, а именно, подставляя в указанные неравенства вместо неизвестного точного значения σ его оценˆ  S , получаем нижнюю и верхнюю границы доверительногоку интервала с коэффициентом доверия   1  2 для  S  S   x  u1  ,   x  u1  n n.

Характеристики

Список файлов лекций