TV_lektsia_5 (987182)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 5. Двумерные и многомерные случайные величиныДвумерная СВ, совместная функция распределения и ее свойства. Дискретная двумерная СВ. Непрерывная двумерная СВ. Независимые случайные величины. Ковариация икоэффициент корреляции СВ, их свойства. Условное математическое ожидание. Регрессия.ОЛ-1 гл 5, 7, 8.Определение. Совокупность случайных величин X1 = X1(ω), .... Хп = Хn(ω),заданных на одном и той же вероятностном пространстве (Ω, B, Р),называют многомерной (n-мерной) случайной величиной, или n-мернымслучайным вектором. При этом сами случайные величины Х1, Х2, ..., Хпназывают координатами случайного вектора. В частности, при n = 1 говорят об одномерной, при n = 2 − двумерной случайной величине (илидвумерном случайном векторе).Пример.

Отклонение точки разрыва снаряда от точки прицеливания пристрельбе по плоской цели можно задать двумерной случайной величиной(X, Y), где X − отклонение по дальности, а Y − отклонение в боковом направлении.Определение. Функцией распределения (вероятностей)F ( x1 ,..., xn )  FX1 ,..., X n ( x1 ,..., xn )(n-мерного) случайного вектора ( X 1 ,..., X n ) называют функцию, значение которой в точке ( x1 ,..., xn )  R n равно вероятности совместного осуществления (пересечения) событий {X1 < x1}, ..., {Xn < xn}, т.е.F ( x1 ,..., xn )  FX1 ,..., X n ( x1 ,..., xn )  P{ X 1  x1 ,..., X n  xn }Функцию распределения F ( x1 ,..., xn ) называют также совместной (nмерной) функцией распределения случайных величин Х1, Х2, ..., Хп.Теорема. Двумерная функция распределения удовлетворяет следующимсвойствам.1.

0 ≤ F(x1, x2) ≤ 1.2. F(x1, x2) − неубывающая функция по каждому из аргументов х1 и х2.3. F (, x2 )  F ( x1 , )  0 .4. F (, )  1 .5. P{a1  X 1  b1 , a2  X 2  b2 }  F (b1 , b2 )  F (b1 , a2 )  F (a1 , b2 )  F (a1 , a2 ) .6. F(x1, x2) − непрерывная слева в любой точке ( x1 , x2 )  R 2 по каждому изаргументов x1 и x2 функция.7. FX1 , X 2 ( x, )  FX1 ( x) , FX1 , X 2 (, x)  FX 2 ( x) .Доказательство. Утверждения 1 и 2 доказываются точно так же, как и водномерном случае. 3. События {Х1 < −∞} и {Х2 < −∞} являются невозможными, а пересечение невозможного события с любым событием, какизвестно, также невозможное событие, вероятность которого равна нулю.

Отсюда с учетом определения вытекает утверждение 3.Аналогично из того, что события {Х1 < +∞} и {Х2 < +∞} так же, как и ихпересечение, являются достоверными, вероятность которых равна единице, вытекает утверждение 4.Чтобы найти вероятность попадания двумерной случайной величины(Х1, Х2)впрямоугольник{a1  x1  b1 , a2  x2  b2 } (на рис. заштрихован), сначала определим вероятностьпопаданиявполуполосу{x1  b1 , a2  x2  b2 } (отмечена двойнойштриховкой).

Но эта вероятность представляет собой вероятность попадания в квадрант {x1  b1 , x2  b2 } за вычетом вероятности попадания в квадрант {x1  b1 , x2  a2 } т.е.P{ X 1  a1 , a2  X 2  b2 }  F (b1 , b2 )  F (b1 , a2 )Теперь осталось заметить, что вероятность попадания в прямоугольник{a1  X 1  b1 , a2  X 2  b2 } совпадает с вероятностью попадания в полуполосу { X 1  b1 , a2  X 2  b2 } , из которой вычитается вероятность попадания в полуполосу {x1  a1 , a2  x2  b2 } , равная F (a1 , b2 )  F (a1 , a2 ) . Окончательно получим утверждение 5.Подобно одномерному случаю доказывается и утверждение 6.

Наконец,событие {Х2 < +∞} является достоверным, поэтому{ X 1  x1}  { X 2  }  { X 1  x1} { X 1  }  { X 2  x2 }  { X 2  x2 }Утверждение 7 устанавливает естественную связь между двумернойфункцией распределения FX1 , X 2 случайного вектора (Х1, Х2) и функциямиFX1 и FX 2 , которые называют одномерными (говорят также частными,или маргинальными) функциями распределения случайных величин X1 иХ2.Дискретные двумерные случайные величиныОпределение.

Двумерную случайную величину (X, Y) называют дискретной, если каждая из случайных величин X и Y является дискретной.Как и в одномерном случае, распределение двумерной дискретной случайной величины естественно описать с помощью перечисления всевозможных пар (xi, yi) значений координат случайного вектора (X, Y) исоответствующих вероятностей, скоторыми эти пары значений принимают случайные величины X и Y.Для простоты ограничимся конечным множеством возможных значений, когда случайная величина X может принимать только значения х1,..., хп, Y − значения y1, ..., yп.

Такое перечисление удобно представить ввиде таблицы.Используя табл., нетрудно определить совместную функцию распределения FX,Y(x, y). Ясно, что для этого необходимо просуммировать рij повсем тем значениям i и j, для которых xi < х, yj < у, т.е.F ( x, y )   piji: xi  xj: y j  yПример. В соответствии со схемой Бернулли с вероятностью успеха р ивероятностью неудачи q = 1 − р проводятся два испытания. Выпишемраспределение двумерного случайного вектора (X1, Х2), где Xi, i = 1,2, −число успехов в i-м испытании.

Каждая из случайных величин Х1 и Х2может принимать два значения: 0 или 1.Непрерывные случайные величиныОпределение. Непрерывной двумерной случайной величиной (X, Y) называют такую двумерную случайную величину (X, Y), совместную функцию распределения которой можно представить в виде сходящегося несобственного интеграла:F ( x1 , x2 ) x1 x2  p( y , y )dy dy1212 Функцию p ( x1 , x2 ) называют совместной двумерной плотностью распределения случайных величин X и Y, или плотностью распределенияслучайного вектора (X, Y).Так же как и в одномерном случае, будем предполагать, что p ( x1 , x2 ) непрерывная (или непрерывная за исключением отдельных точек или линий) функция по обоим аргументам.

Тогда в соответствии с определением непрерывной случайной величины и теоремой о дифференцированииинтеграла с переменным верхним пределом совместная плотность рас-пределения представляет собой (в точках ее непрерывности) вторуюсмешанную производную совместной функции распределения: 2 F ( x1 , x2 )  2 F ( x1 , x2 )p( x1 , x2 ) x1x2x2x1Теорема.

Двумерная плотность распределения обладает следующимисвойствами:b1b2a1a2l) p( x1 , x2 )  0 2) P{a1  X  b1 , a2  Y  b2 }   dx1  p( x1 , x2 )dx2 3)  p( x , x )dx dx12121 4) P{x1  X  x1  x1 , x2  Y  x2  x2 }  p ( x1 , x2 )x1x25) P{ X  x1 , Y  x2 }  0 ; 6) P{( X ; Y )  D}   p( x1 , x2 )dx1dx2D7) pX ( x) pX ,Y( x, y)dy ; 8) pY ( y) pX ,Y( x, y)dxДоказательство. Свойства 1−5 аналогичны свойствам одномернойплотности распределения. Свойство 6 является обобщением свойства 2.Докажем утверждения 7 и 8. Из свойства 7 двумерной функции распределения и определения двумерной плотности распределения вытекает:x FX ( x)  FX ,Y ( x, ) pX ,Y( y1 , y2 )dy1dy2X ,Y( y1 , y2 )dy1dy2  yFX ( x)  FX ,Y (, y) p откуда, дифференцируя интегралы по переменному верхнему пределу,получаем утверждение 7 для одномерных (частных, маргинальных)плотностей распределения рX(х) и pY(y) случайных величин X и Y.Определение.

Случайные величины X и Y называют независимыми, еслисовместная функция распределения FX,Y(х, у) является произведениемодномерных функций распределения FX(x) и FY(y): FX,Y(х, у) = FX(x)FY(y).В противном случае случайные величины называют зависимыми.Теорема. Для того чтобы непрерывные случайные величины X и Y былинезависимыми, необходимо и достаточно, чтобы для всех х и уpX,Y(х, у) = pX(x)pY(y).Доказательство. Пусть случайные величины X и Y независимые. Тогда,согласно определению, FX,Y(х, у) = FX(x)FY(y). С учетом свойств совместной плотности распределения имеем 2 F ( x, y)  dFX ( x)   dFY ( y)   pX ( x) pY ( y)xy dx   dy Тем самым необходимость утверждения доказана.Для доказательства достаточности следует воспользоваться определением двумерной плотности распределения и определением независимостислучайных величинx yFX ,Y ( x, y )   p X ,Y (v, w)dvdw    p X (v)dv    pY ( w)dw   FX ( x) FY ( y) v  x   pX ,Y ( x, y)  w yТеорема.

Дискретные случайные величины X и Y являются независимыми тогда и только тогда, когда для всех возможных значений xi и yi:pi, j  P{X  xi , Y  y j }  P{X  xi }P{Y  y j }  pXi pYjОпределение. Ковариацией (корреляционным моментом) cov(X1, X2) случайных величин X1 и X2 называют математическое ожидание произведения случайных величин X 1  X 1  M X 1 и X 2  X 2  M X 2cov( X 1 , X 2 )  M( X 1 X 2 )  M(( X 1  M X 1 )( X 2  M X 2 ))Для дискретных случайных величин X1 и X2cov( X1 , X 2 )   ( xi  M X1 )( y j  M X 2 ) piji, jдля непрерывных случайных величин X1 и X2 cov( X1 , X 2 )   ( x  M X )( x1 12 M X 2 ) pX1 , X 2 ( x1 , x2 )dx1dx2Полезное равенство для произвольных случайных величинD( X  Y )  D X  D Y  2 cov( X 1 , X 2 )Теорема.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций