TV_lektsia_5 (987182), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Ковариация имеет следующие свойства.1. cov(X, X) = DX.2. cov(X1, X2) = 0 для независимых случайных величин X1 и X2.3. Если Y1 = a1X1 + b1 и Y2 = a2X2 + b2, то cov(Y1, Y2) = a1a2cov(X1, X2).4.  D X1  D X 2  cov( X1 , X 2 )  D X1  D X 2 .5.

Равенство cov( X1 , X 2 )  D X1  D X 2 верно тогда и только тогда, когда случайные величины X1 и X2 связаны линейной зависимостью, т.е.существуют такие числа a и b, при которых X2 = aX1 + b.6. cov(X1, X2) = M(X1X2) − MX1MX2.Доказательство. 1) Утверждение вытекает из очевидного соотношенияcov(X, X) = М(Х − MX)2.2) Если случайные величины Х1 и Х2 являются независимыми (и имеютматематические ожидания), тоcov(X1, X2) = M((X1 − МХ1)(Х2 − МХ2)) = (M(X1 − МХ1))(M(Х2 − МХ2)),откуда приходим к утверждению 2.3) Пусть Y = a1X1 + b, Y2 = a2X2 + b2.

Тогдаcov(Y1 , Y2 )  M((Y1  M Y1 )(Y2  M Y2 ))  M((a1 X1  b1  a1 M X1  b1 )(a2 X 2  b2  a2 M X 2  b2 ))  M(a1a2 ( X1  M X1 )( X 2  M X 2 )).4) Рассмотрим дисперсию случайной величины Yx = xX1 − X2, где х −произвольное число. В силу свойств дисперсии и свойства 3 ковариацииDYx  D  xX1   2cov( xX1,  Х 2 )  D( Х 2 )  x2 D X1  2x cov( X1, X 2 )  D X 2Дисперсия DYx, как функции от х, представляет собой квадратный трехчлен. Но дисперсия любой случайной величины не может быть меньшенуля, а это означает, что дискриминант D = (2cov(X1, X2))2 − 4DX1DX2квадратного трехчлена DYx является неположительным.5) Пусть выполнено равенство cov( X1 , X 2 )  D X1  D X 2 . Значит, дискриминант D равен нулю, и уравнение DYx = 0 имеет решение, котороеобозначим а.

Тогда случайная величина Ya = аХ1 − X2 принимает всегоодно значение (допустим, b), и, следовательно,Х2 = аХ1 − b, т.е. случайные величины X1 и X2 связаны линейной зависимостью.Наоборот, пусть X2 = aX1 + b. Тогда в соответствии со свойством 1 дисперсии DYa = 0, а значит, дискриминант D является неотрицательным.Поскольку при доказательстве утверждения 4 было показано, что этотдискриминант неположителен, то он равен нулю, откуда следует, чтоcov( X1 , X 2 )  D X1  D X 26) Раскрывая скобки в формуле, определяющей ковариацию, и используясвойства математического ожидания, получаем требуемое.Определение. Случайные величины X и Y называют некоррелированными, если их ковариация равна нулю, т.е.

cov(Х, Y) = 0.Определение. Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y называют число ρ = ρ(X, Y), определяемое равенством (предполагается, чтоDX > 0 и DY > 0)cov( X , Y )D X  DYТеорема. Коэффициент корреляции имеет следующие свойства.1. ρ(X, X) = 1.2. Если случайные величины X и Y являются независимыми (и существуют DX > 0 и DY > 0), то ρ(X, Y) = 0.3. ρ(a1X1 + b1, a2X2 + b2) = ±ρ(X1, X2) При этом знак плюс нужно брать втом случае, когда а1 и а2 имеют одинаковые знаки, и минус − в противном случае.4.

−1 ≤ ρ(X, Y) ≤ 1.5. |ρ(X, Y)| = 1 тогда и только тогда, когда случайные величины X и Y связаны линейной зависимостью.Условные распределенияВ случае дискретной СВ закон распределения двумерного случайноговектора(X, Y)удобнозадаватьнаборомвероятностейpij = P{X = xi, Y = yj} для всех значений i и j. Зная вероятности pij, нетрудно найти законы распределений каждой из координат по формуламmnj 1i 1p Xi  P{ X  xi }   pij , pYj  P{Y  y j }   pijОпределение. Для двумерной дискретной случайной величины (X, Y) условной вероятностью πij, i = 1, ..., n, j = 1, ..., m, того, что случайная величина X примет значение xi при условии Y = yj, называют условную вероятность события {X = xi} при условии события {Y = yj} т.е.P{ X  xi , Y  y j } pijij  P{ X  xi | Y  y j } P{Y  y j }pYjПри каждом j, j = 1, ..., m, набор вероятностей πij, i = 1, ..., n, определяет, скакими вероятностями случайная величина X принимает различные значения хi, если известно, что случайная величина Y приняла значение yj.Иными словами, набор вероятностей πij, i = 1, ..., n, характеризует условное распределение дискретной случайной величины X при условии Y = уj.Аналогично определяют условную вероятность *ij того, что случайнаявеличина Y примет значение yj при условии X = хi.P{X  xi , Y  y j } pij*ij  P{Y  y j | X  xi } P{ X  xi }pXiПример 1.

Условное распределение числа Х1 успехов в перX2вом испытании по схеме Бернулли при условии, что число X10 1 PX1успехов во втором испытании X2 = j, j = 0, 1, задается таблицей. Из этой таблицы следует, что, независимо от числа 0 q q qуспехов во втором испытании, 0 или 1 успех в первом ис- 1 p p pпытании происходит с одними и теми же вероятностями р и P q pX2q. Это очевидно, поскольку испытания по схеме Бернуллиявляются независимыми.Пример 2. Условное распределение случайной величины X (числа очков,выпавших на верхней грани игральной кости) при условии Y = yj (числаочков, выпавших на нижней грани игральной кости), j = 1, ..., 6, представлено в таблице.

Действительно, если, например, на нижней гранивыпало одно очко, то на верхней грани может выпасть только шесть очков (π61 = 1).YX1 2 3 4 5 6 РX1 0 0 0 0 0 1 1/62 0 0 0 0 1 0 1/63 0 0 0 1 0 0 1/64 0 0 1 0 0 0 1/65 0 1 0 0 0 0 1/66 1 0 0 0 0 0 1/6PY 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6Перейдем к случаю, когда двумерный случайный вектор (X, Y) имеет непрерывную совместную плотность распределения р(х, у) и непрерывныемаргинальные плотности распределенияp X ( x) p( x, y)dy , pY ( y)  p( x, y)dxУсловная функция распределенияx1FX ( x | Y  y)  lim P{ X  x | y  Y  y  y}  p(u, y)duy 0pY ( y) y1 p( x, v)dvx 0pX ( x) Определение.

Условной плотностью распределения случайной величиныX (случайной величины Y), являющейся координатой двумерного случайного вектора (X, Y), при условии, что другая его координата приняланекоторое фиксированное значение у (значение x), т.е.

Y = y (X = x), называют функцию рX(x|у) (рY(y|x)) определяемую соотношениемp ( x, y ) p( x, y) pX ( x | y)  pY ( y | x) pY ( y ) p X ( x) Критерий независимости случайных величин X и Y. Случайные величины X и Y являются независимыми тогда и только тогда, когда условноераспределение (функция распределения, плотность распределения) случайной величины X при условии Y = у совпадает с безусловным распределением (функцией распределения, плотностью распределения) случайной величины X.FY ( y | X  x)  lim P{Y  y | x  X  x  x} Определение.

Для дискретной двумерной случайной величины (X, Y)значением М(Х | Y = yj) условного математического ожидания дискретной случайной величины X при условии Y = yj, называют числоnM( X | y j )  M( X | Y  y j )   xi iji 1Определение. Условным математическим ожиданием М(Х|Y) дискретной случайной величины X относительно дискретной случайной величины Y называют функцию M(X | Y) = g(Y) от случайной величины Y, гдеобласть определения функции g(у) совпадает с множеством значенийy1, ..., ym случайной величины Y, а каждому значению yj аргумента у поставлено в соответствие число g(уj) = М(Х | уj).Подчеркнем еще раз, что условное математическое ожидание М(X|Y) является функцией от случайной величины, т.е.

также случайной величиной.Пример 3. Найдем условное математическое ожидание М(Х|Y) случайной величины X − числа очков, выпавших на верхней грани игральнойкости, относительно случайной величины Y − числа очков, выпавших нанижней грани (см. пример 2). В соответствии с таблицейM( X |1)  1 0  2  0  3  0  4  0  5  0  6 1  6M( X | 2)  1 0  2  0  3  0  4  0  5 1  6  0  5M( X | 6)  11  2  0  3  0  4  0  5  0  6  0  1Полученный результат в терминах условного математического ожиданияможно записать в виде М(Х|Y) = 7 − Y.Теорема. Условное математическое ожидание M(Х|Y) обладает следующими свойствами.1.

М(с|Y) = с.2. M(aX + b|Y) = aM(X|Y) + b.3. M(X1 + X2|Y) = M(X1|Y) + M(X2|Y).4. Пусть случайные величины Х1 и Х2 являются независимыми при условии, что случайная величина Y приняла любое конкретное значение. Тогда M(X1X2|Y) = M(X1|Y)M(X2|Y).5. MX = M(M(X|Y)).6. Пусть и(Х) и v(Y) − функции от случайных величин X и Y. ТогдаM(u(X)v(Y)|Y) = v(Y)M(u(X)|Y).7. Если X и Y − независимые случайные величины, то М(X|Y) = MX.Определение.

Для непрерывной двумерной случайной величины (X, Y)значением М(Х|у) = M(Х|Y = y) условного математического ожиданиянепрерывной случайной величины X при условии Y = у называют числоM( X | y)  xpX( x | y)dxОпределение. Для непрерывной двумерной случайной величины (X, Y)условным математическим ожиданием M(X|Y) непрерывной случайнойвеличины X относительно случайной величины Y называют функциюg(Y) = М(Х|Y) от случайной величины Y, принимающую значениеg(у) = М(X|у) при Y = у.Определение.

Функцию g(у) называют функцией регрессии, или просторегрессией, случайной величины X на случайную величину Y, а ее график− линией регрессии случайной величины X на случайную величину Y,или просто X на Y.Линия регрессии графически изображает зависимость „в среднем" случайной величины X от значения случайной величины Y.Закон больших чисел и центральная предельная теоремаС самого начала изучения курса теории вероятностей мы говорили о том,что практическое применение методов этой математической дисциплиныосновывается на законе предельного постоянства частоты события.Закон предельного постоянства частоты события установлен эмпирически. В соответствии с этим законом повторение одного и того же опытаприводит к тому, что частота появления конкретного случайного события теряет свойства случайности и приближается к некоторому пределу,который в соответствии со статистическим определением вероятностии называют вероятностью.Однако для того чтобы теория согласовывалась с практикой, при аксиоматическом определении вероятности, которое мы использовали, этотзакон предельного постоянства частоты должен быть обоснован теоретически.

Иначе говоря, он должен быть сформулирован и доказан в видеодной или нескольких теорем. В теории вероятностей теоремы такоготипа обычно называют различными формами закона больших чисел, которые, в частности, поясняют смысл математического ожидания случайной величины, и то, почему его называют также средним значением.Центральная предельная теорема, в свою очередь, объясняет то широкоераспространение, которое получило на практике нормальное распределение.Определение.

Последовательность Х1, Х2, ..., Xn, ... случайных величинудовлетворяет закону больших чисел (слабому), если для любого ε > 01 n1 nP   X i   mi    0n n i 1 n i 1Иными словами, выполнение закона больших чисел отражает предель-ную устойчивость средних арифметических случайных величин: прибольшом числе испытаний они практически перестают быть случайнымии совпадают со своими средними значениями.Теорема. Если последовательность Х1, Х2, ..., Xn, ...

независимых случайных величин такова, что существуют MXi = mi и DXi = σi, причем дисперсии  i2 ограничены в совокупности (т.е. i2  C   ), то для последовательности Х1, Х2, ..., Xn, ... выполнен закон больших чисел.При этом говорят также, что к последовательности Х1, Х2, ..., Xn, ... случайных величин применим закон больших чисел в форме Чебышева.1 n 1 n1 n 1 n 2 Cn C,M   X i    mi D   X i   2  i  2 nn n i 1  n i 1 n i 1  n i 11 n C1 n1 nX i , P   X i   mi     2 0n n i 1n i 1 n i 1 nСледствие.

Если случайные величины Хi, i = 1, 2, ..., в условиях предыдущей теоремы являются также одинаково распределенными (в этомслучае mi = m и i2   2 ), то последовательность Х1, Х2, ..., Xn, ... случайных величин удовлетворяет закону больших чисел в следующей форме:1 nPX i mn n i 1Теорема. (центральная предельная теорема). Пусть X1, X2, ..., Xn, ... −последовательность независимых одинаково распределенных случайныхвеличин, MXn = m, DXn = σ2.

Тогда S  nmP n x  ( x)n 2 nгде Ф(х) − функция стандартного нормального распределения.Yn .

Характеристики

Список файлов лекций