TV_lektsia_1 (987175)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Лекция 1. Пространство элементарных исходов. Случайные события,действия над ними, формулы де Моргана. Аксиомы вероятности и ихследствия. Формула вероятности суммы двух и трех событий.Классическое определение вероятности. Элементы комбинаторики.Геометрическое определение вероятности.ОЛ-1, гл. 1, 2.Теория вероятностей является разделом математики, в котором изучаютматематические модели случайных экспериментов, т.е. экспериментов,исходы которых нельзя определить однозначно условиями проведенияопыта.

При этом предполагается, что сам эксперимент может бытьповторен (хотя бы в принципе) любое число раз при неизменномкомплексе условий, а исходы эксперимента обладают статистическойустойчив остью.Примеры:1. Однократное подбрасывание монеты.2. Бросание игральной кости.3. Стрельба по плоской мишени с большого расстояния.Пространство элементарных исходовОпределение. Элементарным исходом (или элементарным событием)называют любой простейший (т.е.

неделимый в рамках данного опыта)исход опыта. Множество всех элементарных исходов будем называтьпространством элементарных исходов.Другими словами, множество исходов опыта образует пространствоэлементарных исходов, если выполнены следующие требования:- в результате опыта один из исходов обязательно происходит;- появление одного из исходов опыта исключает появление остальных;- в рамках данного опыта нельзя разделить элементарный исход на болеемелкие составляющие.Ω − пространство элементарных исходов, ω − сами элементарныеисходы,   1, 2 ,..., n ,...Пример. Подбрасывание монеты ("идеальная монета"). Два исхода:выпадение герба (ω1 = ωГ) и выпадение цифры (ω2 = ωЦ).При двукратном подбрасывании 4 исхода  ГГ , ГЦ , ЦГ , ЦЦ Определение.

Любой набор элементарных исходов, или, иными словами,произвольное подмножество пространства элементарных исходов,называют событием.Элементарные исходы, которые являются элементами рассматриваемогоподмножества (события), называют элементарными исходами,благоприятствующими данному событию, или образующими этособытие.События обозначают прописными латинскими буквами, снабжая их принеобходимости индексами (А, Bi, C3).Часто используется следующая терминология: говорят, что событие Апроизошло (или наступило), если в результате опыта появился какойлибо из элементарных исходов  A .Определение.

Событие, состоящее из всех элементарных исходов, т.е.событие, которое обязательно происходит в данном опыте, называютдостоверным событием.Определение. Событие, не содержащее ни одного элементарного исхода,т.е. событие, которое никогда не происходит в данном опыте, называютневозможным событием.Пример. При бросании игральной кости достоверное событие можноописать, например, как выпадение хотя бы одного очка, а невозможное −как выпадение 7 очков.Часто бывает полезно наглядно представить события в виде диаграммыЭйлера−Венна.Определение.

Пересечением (произведением) двух событий А и Вназывают событие С, происходящее тогда и только тогда, когдаодновременно происходят оба события А и В, т.е. событие, состоящее изтех и только тех элементарных исходов, которые принадлежат исобытию А, и событию В. C  A  B  ABОпределение. События А и В называют несовместными, илинепересекающимися, если их пересечение является невозможнымсобытием, т.е. если AB  0 .Определение. Объединением (суммой) двух событий А и В называютсобытие С, происходящее тогда и только тогда, когда происходит хотябы одно из событий А или B, т.е. событие С, состоящее из техэлементарных исходов, которые принадлежат хотя бы одному изподмножеств А или В. C  A  BЕсли события А и В несовместны, наряду со знаком " " для ихобъединения употребляют знак "+".Аналогично определяют понятия произведения и суммы событий длялюбого конечного числа событий и даже для бесконечныхпоследовательностей событий.Определение.

Разностью двух событий А и В называют событие С,происходящее тогда и только тогда, когда происходит событие А, но непроисходит событие В, т.е. событие С, состоящее из тех элементарныхисходов, которые принадлежат А, но не принадлежат В. C  A \ BОпределение. Дополнением события А (обычно обозначают A )называют событие, происходящее тогда и только тогда, когда непроисходит событие А. Другими словами, событие A называют такжесобытием, противоположным событию А.Определение.

Событие А включено в событие В, если появление событияА обязательно влечет за собой наступление события В, или каждыйэлементарный исход ω, принадлежащий А, обязательно принадлежит исобытию В. A  BСвойства операций над событиями1. Коммутативность суммы и произведения: A  B  B  A , AB  BA .2. Ассоциативность суммы и произведения:A  B  C  A   B  C  , (АВ)С = А(ВС).3. Дистрибутивность относительно сложения:  A  B  C  AC  BC .4. Дистрибутивность относительно умножения (новое свойство, невыполняющееся для чисел): AB  C   A  C  B  C  .5. Включение А в В, т.е.

A  B , влечет за собой включение B в A , т.е.A B.6. Совпадение двойного дополнения с исходным событием: A  A .7. Совпадение суммы и произведения одинаковых событий с самимсобытием AA  A  A  A8. Законы де Моргана: A  B  AB, AB  A  BОпределение. Сигма-алгеброй (σ-алгеброй) называют непустую системуподмножеств некоторого множества B, удовлетворяющую следующимдвум условиям.1. Если подмножество А принадлежит B, то дополнение A принадлежит B.2. Если подмножества A1, A2,..., An,... принадлежат B, то их объединение иих пересечение принадлежит B.Рассмотрим пространство элементарныхисходовΩ.Элементынекоторой σ-алгебры B, заданной на Ω, будем называть событиями. Вэтом случае σ-алгебру B принято называть сигма-алгеброй (σ-алгеброй)событий.Любая σ-алгебра событий содержит достоверное событие Ω иневозможное событие  .В случае конечного или счетного пространства элементарных исходов Ωв качестве σ-алгебры событий обычно рассматривают множество всехподмножеств Ω.Замечание.

Если в условии 2 счетное множество событий заменить наконечное, то получим определение алгебры событий. Любая σ-алгебрасобытий обязательно является алгеброй событий. Обратное утверждение,вообще говоря, не верно.Аксиоматическое определение вероятностиПусть каждому событию А (т.е. подмножеству А пространстваэлементарных исходов Ω, принадлежащему σ-алгебре B) поставлено всоответствие число P(A). Числовую функцию P (заданную на σ-алгебре B)называют вероятностью (или вероятностной мерой), если онаудовлетворяет следующим аксиомам:Аксиома 1 (аксиома неотрицательности): Р(A) ≥ 0;Аксиома 2 (аксиома нормированности): Р(Ω) = 1;Аксиома 3 (расширенная аксиома сложения): для любых попарнонесовместных событий A1, ..., An,...

справедливо равенствоP( A1  A2  ...  An  ...)  P( A1 )  P( A1 )  ...  P( An )  ...Значение P(A) называют вероятностью события А.Теорема. Вероятность удовлетворяет следующим свойствам.1. Вероятность противоположного события P( A)  1  P( A) .2. Вероятность невозможного события P()  0 .3. Если A  B , то P( A)  P( B) („большему" событию соответствуетбольшая вероятность).4. Вероятность заключена между 0 и 1: 0 ≤ P(А) ≤ 1.5. Вероятность объединения двух событийP( A  B)  P( A)  P( B)  P( AB) .6. Вероятность объединения любого конечного числа событийP( A1  ...

 An )  P( A1 )  ...  P( An )  P( A1 A2 )  P( A1 A3 )  ...  P( An 1 An )  P( A1 A2 A3 )  ...  ( 1) n 1 P( A1 A2 ... An )Доказательство. Поскольку   A  A , то, согласно расширеннойаксиоме сложения, P()  P( A)  P( A) , откуда с учетом аксиомынормированности получаем утверждение 1.Утверждение 2 вытекает из равенства A  A   и расширеннойаксиомы сложения.Пусть A  B . Тогда B = A + (B\A). В соответствии с расширеннойаксиомой сложения P(B) = P(A) + P(B\A).

Отсюда и из аксиомынеотрицательности приходим к утверждению 3.В частности, так как всегда A   , то с учетом аксиомынормированности получаем утверждение 4.Поскольку A  B  A  ( B \ A) , B  ( B \ A)  AB , то, используярасширенную аксиому сложения, находим P( A  B)  P( A)  P( B \ A) иP( B)  P( B \ A)  P( AB) . Подставляя в первое из последних двух равенстввероятность P( B \ A) , выраженную из второго равенства, приходим кутверждению 5.Утверждение 6 можно доказать с помощью метода математическойиндукции по п. Так, для трех событий А, В и СP( A  B  C )  P( A)  P( B  C )  P( A( B  C ))  P( A)  P( B)  P(C )  P( BC )  P( AB  AC )  P( A)  P( B)  P(C )  P( BC )  P( AB)  P( AC )  P( ABC )Иногда вместо аксиомы 3 удобно использовать две другие аксиомы.Аксиома 3' (аксиома сложения): для любых попарно непересекающихсясобытий A1, ..., An справедливо равенствоP( A1  A2  ...

 An )  P( A1 )  P( A1 )  ...  P( An )Аксиома 4 (аксиома непрерывности): если последовательность событийA1, ..., An, такова, что An  An 1 , nN , и A1  ...  An  ...  A , тоlim P( An )  P( A)nОпределение.Тройку(Ω,B,P),состоящуюизпространстваэлементарных исходов Ω, с σ-алгеброй событий B и определенной на Bвероятности P, называют вероятностным пространством.Классическое определение вероятностиВ классическом определении вероятности исходят из того, чтопространство элементарных исходов Ω содержит конечное числоэлементарных исходов, причем все они равновозможны.Понятиеравновозможностипояснимследующимобразом.Элементарные исходы в некотором опыте называют равновозможными,если в силу условий проведения опыта можно считать, что ни один изних не является объективно более возможным, чем другие. Опыт,удовлетворяющий условию равновозможности элементарных исходов,часто называют также "классической схемой".Пусть N − общее число равновозможных элементарных исходов в Ω, aNA − число элементарных исходов, образующих событие А (или, какговорят, благоприятствующих событию А).Определение.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций