TV_lektsia_1 (987175), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Вероятностью события А называют отношение числа NAблагоприятствующих событию А элементарных исходов к общему числуN равновозможных элементарных исходов, т.е.NP( A)  ANСвойства1. Для любого события А вероятность удовлетворяет неравенствуP(A) ≥ 02. Для достоверного события Ω (которое содержит все N элементарныхисходов) Р(Ω) = 1.3. Если события А и В несовместны (АВ = 0), то P(A + B) = P(A) + P(B)Элементы комбинаторикиТеорема. Пусть даны m групп элементов, причем i-я группа состоит из niэлементов. Общее число N способов, с помощью которых можноосуществить указанный выбор, определяется равенствомN  n1n2  ...

 nmЭто выражение называют основной формулой комбинаторики.Определение. Результат выбора m элементов из группы, содержащей nэлементов, будем называть выборкой из n элементов по m. Если при этомэлемент после выбора снова возвращается в группу, то выборкуназывают выборкой с возвращением. Бели же выбранный элемент неучаствует в дальнейшем выборе, то выборку называют выборкой безвозвращения.Заметим, что в любом случае результат выбора m элементов из группы,содержащей n элементов, будем называть выборкой.Определение.

Выборку, в которой не учитывают порядок выбораэлементов, называют сочетанием, а выборку, в которой учитываютпорядок выбора элементов, − размещением. При этом еслирассматривают выборку с возвращением, то сочетание (размещение)называют сочетанием (размещением) с повторениями, а еслирассматривают выборку без возвращения, то сочетание (размещение)называют сочетанием (размещением) без повторений, или простосочетанием (размещением).Замечание. Размещение без повторений из n элементов по n элементовназывают перестановкой из n элементов.Теорема. Число размещений (без повторений) из n элементов по mопределяется формулойn!Anm  n(n  1)  ...  (n  m  1) (n  m)!mТеорема.

Число Cn сочетаний (без повторений) из n элементов по mопределяется формулойn!Cnm m !(n  m)!Теорема. Число Anm размещений с повторениями из n элементов по mопределяется формулой Anm  nm .Теорема. Число Cnm сочетаний с повторениями из n элементов по mопределяется формулой Cnm  Cnm m1Рассмотрим еще одну часто встречающуюся на практике задачукомбинаторики. Требуется найти число размещений с повторениями изn элементов по m элементов, в которых первый элемент встречаетсяровно m1 раз, второй элемент встречается ровно m2 раз, ..., n-й элементвстречается ровно mn раз (m1 + m2 + ...

+ mn = m). Число такихразмещений обозначим С(m1, m2, ..., mn).Теорема. Число С(m1, m2, ..., mn) определяется формулойm!С (m1 , m2 , , mn ) m1 !...mn !Гипергеометрическая схемаПусть имеется n = n1 + ... + nk различных элементов, причем из них n1элементов первого типа, n2 − второго типа, ..., nk − nk-го типа.Случайным образом из этих элементов выбираются m элементов.Вероятность события А, состоящего в том, что среди выбранныхэлементов окажется ровно m1 ≤ n1 элементов первого типа, m2 ≤ n2второго типа, ..., mk ≤ nk элементов nk -го типа, m1 + m2 + ... + mk = m,обозначают P(m1, m2, ..., mk).Определение.

Рассмотренный способ выбора элементов называютгипергеометрическойсхемой,асовокупностьвероятностейP(m1, m2, ..., mn) в гипергеометрической схеме при фиксированных n, m,ni, i  1, k , и различных mi, i  1, k , m1 + m2 + ... + mn = m, называютгипергеометрическим распределением.Теорема. Вероятности P(m1, m2, ..., mk) в гипергеометрической схемеопределяют по формулеCnm11 Cnm22 ...CnmkkP(m1 , m2 , ..., mk ) CnmГеометрическое определение вероятностиГеометрическое определение вероятности обобщает классическое наслучай бесконечного множества элементарных исходов Ω тогда, когдаΩ представляет собой подмножество пространства R (числовой прямой),R2 (плоскости), Rn (n-мерного евклидова пространства).В пространстве R в качестве подмножеств будем рассматривать лишьпромежутки или их объединения, т.е. подмножества, которые имеютдлину.

В пространстве R2 − те подмножества, которые имеют площадь, ит.д.Под мерой   A подмножества А будем понимать его длину, площадьили объем (обобщенный объем) в зависимости от того, какомупространству принадлежит Ω: в R, в R2 или в R3 (Rn) Будем такжесчитать, что пространство элементарных исходов Ω имеет конечнуюмеру, а вероятность попадания „случайно брошенной" точки в любоеподмножество Ω пропорциональна мере этого подмножества и независит от его расположения и формы. В этом случае говорят, чторассматривается „геометрическая схема" или „точку наудачу бросают вобласть Ω".Определение. Вероятностью события А называют число P(A), равноеотношению меры множества А к мере множества Ω:P( A)   A где   A − мера множества А.Данное определение вероятности события принято называтьгеометрическим определением вероятности.

Заметим, что в литературевероятность события А, определенную выше, на основе геометрическойсхемы, часто называют геометрической вероятностью. Геометрическаявероятность, очевидно, сохраняет отмеченные ранее свойствавероятности P(А) в условиях классической схемы.Статистическое определение вероятности. Вероятностью события Аназывают (эмпирический) предел Р(A), к которому стремится частота rAсобытия А при неограниченном увеличении числа n опытов..

Характеристики

Список файлов лекций