TV_lektsia_3 (987178), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

F(x) − неубывающая функция);3) F ()  lim F ( x)  0 , F ()  lim F ( x)  1 ;x 4) Px1  X  x2   F ( x2 )  F ( x1 ) ;x 5) F(x) = F(x − 0), где F ( x  0)  lim F ( y ) (т.е. F(x) − непрерывная слеваy  x 0функция).Доказательство. 1) Поскольку значение функции распределения влюбой точке х является вероятностью, то из свойств вероятности (см.лекция 1) вытекает утверждение 1.2) Если x1 < x2, то событие {X < x1} включено в событие {X < x2} и,согласно свойству 3 вероятности, P{X < x1} < P{X < x2}, т.е. всоответствии с определением выполнено утверждение 2.3) Пусть x1, ..., xn, ... − любая возрастающая последовательность чисел,стремящаяся к +∞. Событие {X < +∞}, с одной стороны, являетсядостоверным, а с другой стороны, представляет собой объединениесобытий {X < xn}.

Отсюда в силу аксиомы непрерывности следует второеравенство в утверждении 3. Аналогично доказывается и первоеравенство.4) Событие {X < x2} при x1 < x2 представляет собой объединение двухнепересекающихся событий: {X < x1} − случайная величина X принялазначение, меньшее x1, и x1  X  x2  − случайная величина X принялазначение, лежащее в промежутке [x1, x2). Поэтому в соответствии саксиомой сложения получаем утверждение 4.5) Наконец, пусть x1, ..., xn, ... − любая возрастающая последовательностьчисел, стремящаяся к х. Событие {X < х} является объединениемсобытий {X < хn}.

Снова воспользовавшись аксиомой непрерывности,приходим к утверждению 5.Покажем теперь, как по ряду распределения дискретной случайнойвеличины построить ее функцию распределения F(x). Пусть X −дискретная случайная величина, заданная своим рядом распределения,причем значения x1, x2, ..., хn расположены в порядке возрастания. Тогдадля всех х ≤ x1 событие {X < x} является невозможным и поэтому всоответствии с определением F(x) = 0. Если x1 < х ≤ х2, то событие {X < х}состоит из тех и только тех элементарных исходов ω, для которыхХ(ω) = x1, и, следовательно, F(x) = p. Аналогично при x2 < х ≤ х3 событие{X < х} состоит из элементарных исходов ω, для которых либо Х(ω) = х1,либо Х(ω) = х2, т.е.

{X < x} = {X = x1} + {X = x2}, а следовательно,F(x) = p1 + p2 и т.д. Наконец, при х > хn событие {X < х} достоверно иF(х) = 1.Таким образом, функция распределения дискретной случайнойвеличины является кусочно постоянной функцией, принимающей напромежутке (−∞, x1] значение 0, на промежутках (xi, xi + 1], 1 ≤ i < n, −значение p1 + ... + pi и на промежутке (хn, +∞) − значение 1.Непрерывные случайные величиныОпределение. Непрерывной называют случайную величину Х, функциюраспределения которой F(x) можно представить в видеxF ( x)  p( y)dyФункцию р(х) называют плотностью распределения (вероятностей)случайной величины X.Плотность распределения случайной величины обычно являетсянепрерывной (за исключением, быть может, конечного числа точек)функцией. Следовательно, функция распределения для непрерывнойслучайной величины является непрерывной на всей числовой оси и вточках непрерывности плотности распределения p(х) имеет месторавенствоp(x) = F'(x)что следует из свойств интеграла с переменным верхним пределом.Теорема.

Плотность распределения обладает следующими свойствами:1) p( x)  0 ;2) P  x1  X  x2  x2 p( x)dx ;x13) p( x)dx  1;4) Px  X  x  x  p( x)x враспределения;5) P  X  x  0 .точкахнепрерывностиплотностиДоказательство. 1) Утверждение 1 следует из того, что плотностьраспределения является производной от функции распределения, в силусвойства 1 функции распределения она является неубывающейфункцией, а производная неубывающей функции неотрицательна.2) Второе утверждение следует из свойства 2 функции распределения исвойств несобственного интегралаP  x1  X  x2   F ( x2 )  F ( x1 ) x2x1x2x1 p( x)dx   p( x)dx   p( x)dx3) В частности, при x1   , x2   событие x1  X  x2  являетсядостоверным, и поэтому справедливо утверждение 3.4) Px  X  x  x  F ( x  x)  F ( x)  F ( x) . Если x мало, тоPx  X  x  x  F ( x)  dF ( x)  F ( x)x  p( x)x5) Поскольку в силу определения функция распределения случайнойвеличины есть несобственный интеграл от плотности, то она являетсянепрерывной, откуда следует утверждение 5..

Характеристики

Список файлов лекций