Баскаков С.И. Электродинамика и распространение радиоволн (1992) (977984), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Чтобы найти эту функцию, следует обратить формулу (17.24) яо Фурье: Глава 77. Интерференция и дифранция волн 358 Данный интеграл удобно вычислить методом стационарной фазы. Введем полярную систему координат х= т з)п !р, г =г соз ц>. Тогда (г сс) о ( е>с (н кп т+Уе* — и ссп т> бк к,) ка (17.27) Точка стационарной фазы к„служит корнем уравнения — (к з(п се+Я~~ — 'кт сов се)=0, с(к (17.28) откуда к„= 8 тат =8з( 7. ) '! .! >82 т (17.29) Как отмечалось ранее, ограничимся наиболее важным случаем так называемой леалоугловой дифракт(ии, когда поля вычисляются в непосредственной близости от оси и поэтому >р«1.
Выполнив предельный переход в формуле (!7.29), убеждаемся, что при сделанном предположении точка стационарной фазы приближенно имеет координату к„ р!р. Вторая производная от показателя экспоненциальной функции, входящей в подынтегральное выражение формулы (17.26), равна Г (Х 3!П с7+)с 1> К соз ~7)1к=н «(пт ст Воспользовавшись формулой (17.13), окончательно получаем ) Е ц/ е в!и е~т и — ИЗ' — М4> (17.30) ас ке рат Данное выражение описывает цилиндрическую волну (об этом свидетельствует убывание амплитуды поля по закону 1/1>т), которая уже не является однородной, а имеет угловую зависимость амплитуды поля, выраженную тем сильнее, чем больше безразмер- В рассматриваемом случае а а А(к)= ~ Ее 7клбх=2Е, ~сов ххбх=2Ееа ка — а о Таким образом, получено интегральное представление волнового поля в полупространстве за экраном: (х я) Еоа ( е>и ка ет (нл+е УЗ* — н') бк (17.26) к 3 ка 77.4.
Принцип Гтойгенса, Формула Кирхгофа 359 ный параметр 11а, т. е. чем болыпе отношение ширины щели к длине волны. Интентивность излучения щели максимальна в направлении тр=О; первый дифракционный нуль излучения наблюдается под углами тр„которые удовлетворяют равенствам 11атро= +-и. Угловая зависимость дифракционного поля щели имеет лепестковый характер (рис. 17.3).
Вокруг направления гр=О формируется основной лепесток, по обе стороны от которого возникают симметричные боковые лепестки рассеянного поля. 17.4. Принцип Гюйгенса. Формула Кирхгефа и'о В гго ф Рис. !7.5. Принцип Гюйгенса. à — фиктивные источники ноля; 2— истинные источники Рис. 17ип Рупорная ан- тенна вода с плавно увеличивающейся площадью сечения. Широкий конец рупора, излучающий электромагнитное поле в пространство, называют апертурой или раскрьгвом этой антенны.
При расчете подобных антенн, а к их числу относят также линзовые, зеркальные и прочие так называемые апертурные антенны, требуется найти векторы электромагнитного поля во всем пространстве при условии, что возбуждающее поле в раскрыве задано. Основой приближенного инженерного анализа апертурных антенн служит известный из физики принцип Гюйгенса 1141, согласно При анализе и проектиро- Рис, 17.3. Диаграмма направленности ванин антенн СВЧ-диапазона лнфранционного поля аа щелью часто требуется определить электромагнитное поле, возбуждаемое в свободном пространстве не дискретной системой элементарных излучателей, а непрерывной излучающей системой с конечной площадью. В качестве примера на рис.
17.4 изображен эскиз широко распространенной рупорной антенны, представляющей собой отрезок прямоугольного волно- Глава 17. Ингерферениия и дифракиия волн 360 к оторому каждая точка на волновом фронте служит фиктивным источником воображаемой сферической волны. Полное поле в области впереди волнового фронта есть результат интерференции сферических волн, излучаемых фиктивными источниками. Такие источники обычно называют вторичными, чтобы отличить их от первичных, или истинных, источников, которыми являются токи в проводниках или движущиеся заряды (рис.
17.8). В дальнейшем будем рассматривать такие задачи дифракцин, которые при разумной идеализации допускают скалярную постановку. Это возможно всегда, если из физических соображений заранее ясно, что одна из трех возможных проекций какого-либо вектора поля значительно больше двух других. Пример антенной системы, для которой допустима такая идеализация, приведен в % 17.3. Формула Кирхгофа. Рассмотрим произвольный объем )1, ограниченный поверхностью 5 (рис. 17.6). Считается, что эта поверхность достаточно гладкая, поРис.
17.6. К иыиолу фар- этому в каждой ее точке можно одно- мулы Кирхгофа значно построить единичный вектор нормали 1„направленный внутрь объема. Требуется найти такую скалярную функцию ф, которая в области )г удовлетворяет однородному уравнению Гельмгольца р9+ риф=О при условии, что значения функции ф и ее нормальной производной дф1дп в каждой точке поверхности 5 заранее заданы. Таким образом, речь идет о поиске волнового поля, возбуждаемого известными поверхностными источниками.
В середине прошлого века немецкий физик Г. Кирхгоф (1824— 1887) доказал, что решение поставленной задачи дается формулой 1 ГГи е16 дф ° д ~е 1е )] (17.31) где г — расстояние между текущей точкой на поверхности и точкой наблюдения Р. Доказательство формулы Кирхгофа основывается на известной из курса математики теореме Грина, согласно которой дважды дифференцируемые функции хр и гр пространственных координат удовлетворяют тождеству /74. Принцип / юйгенса. Формула Кирхгофа 361 д де 1 д1 Йч'е — й/пар) 61' =~ (р — ' — ( — '16~ дп дп / (17.
32) Предположим, что как искомая функция ф, так и вспомогательная функция ср в области )г являются решениями одного и того же уравнения Гельмгольца х'(+р'( =-о, (17. 33) (17.36) Следующим этапом вычислим подынтегральное выражение в левой части формулы (17.36). Так как перемещение по направлению нормали к поверхности 3' означаст увсличсние координаты г, то (17.37) дп дг ~ г га / Поэтому левую часть равенства (17.36) можно представить в виде е /аг дф +~ /й + 1 ) ° /~г] (17.38) Теперь устремим к нулю радиус вспомогательной сферы, учитывая, что искомое поле ф, по предположению, внутри е' не имеет у'р -(-(1ар=-6.
Очевидно, что в силу уравнений (17.33) левая часть формулы (17.32) обращается в нуль: ~(', '"':) дт~бЗ=-О. (17. 34) Будем считать, что вспомогательной функцией у служит уже известное решение скалярного уравнения Гельмгольца це=ехр ( — /рг)/г, (17.35) описывающее расходящуюся сферическую волну. Здесь под г подразумевается длина отрезка между выбранной точкой наблюдения Р н произвольной точкой внутри объема )г. Поскольку функция ср в точке Р имеет особенность, исключим из области )г малый шар радиусом а с центром в точке Р. Обозначив символом 5' поверхность этого шара, на основании (17.34) можно записать Глава 17.
Интерференция и дифракция волн 362 источников и поэтому всюду ограниченно и непрерывно. В подынтегральное выражение (17.38) входят слагаемые, обратно пропорциональные как правой степени, так и квадрату текущего радиуса. Легко проверить, что вклад слагаемых первого рода равен нулю: 11т 1 — =О, (17.
39) в во .! а поскольку площадь сферы, равная 4лат, стремится к нулю быст- рее, нежели ее радиус. В то же время 11т ~ — =4н. бо' а о аэ (17.40) На основании изложенного из равенства (17.38) получаем выражение для расчета искомого поля в точке Р совпадающее с формулой Кирхгофа (17.31). 47.5. Дифракцня плоской волны Рнс. 17.7. прямоугольное от- на прямоугольном отверстии верстне в экРане, воэбтжаен- в идеально проводящем Экране нос плоской волной Простейшей моделью апертурной антенны является бесконечный идеально проводящий экран с отверстием, через которое осуществляется электромагнитная связь между двумя полупространствами. Будем считать, что это отверстие имеет форму прямоугольника со сторонами а и Ь (рнс.
17.7). Предположим, что отверстие возбуждается однородной плоской волной, которая движется в левом полупространстве а(0 по направлению нормали к плоскости экрана и имеет единственную отличную от нуля проекцию электрического вектора Е„. Пусть отверстие достаточно велико в волновом масштабе, т. е. а»Х, Ь»Х. Предположим, что поле в отверстии совпадает с полем возбуждающей плоской волны при отсутствии экрана.
Иными словами, будем считать, что в плоскости раскрыва (17.41) Е„=Ее ехР ( — 1'Ра). /ЕХ Дис/(раяция волны на иряиоугольнои отверстии 303 Данное равенство имеет место в прямоугольной области, гранины которой устанавливаются неравенствами — а/2(х(а/2, — Ь/2<у(Ь/2; вне раскрыва возбуждающее поле обращается в нуль. Такие предположения характерны для метода физической оптики, в рамках которой приходится задавать возбуждающее поле, прибегая к тем или иным интуитивным соображениям. Приближенный характер подхода физической оптики очевиден уже потому, что поле нида (!741) нв удовлетворяет граничным условиям на кромках отверстия при х=-~-а/2.
Обратившись к рис. 17.7, видим, что здесь д/дп=д/дг, откуда на основании формулы Кирхгофа находим напряженность электрического поля в произвольной точке наблюдения Р, расположенной в полупространстве г)О: Е„(Р( — — ) ~ — — ń— ( /! 42. ((7 42( Интегрирование проводится по площади раскрыва; все произволные вычисляются в плоскости отверстия при г=-О. Радиус-вектор г, соединяющий точку Я па раскрыве с координатами х, у, О и точку наблюдения Р, имеющую координаты ~, т1, ~, характеризуется длиной (1?.43) Вычислим обе производные, входящие в подынтегральное выражение формулы Кирхгофа (17.42): "" =- — ЛЕи, (17.44) де (17.45) Принимая во внимание, что дг/дч==Г/с=сов 0, где Π— угол между нормалью к раскрыву н радиусом-вектором, а также используя формулу (17.37), будем иметь — 1=! ~ + — 1соз0 е — /ьг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
