Баскаков С.И. Электродинамика и распространение радиоволн (1992) (977984), страница 70
Текст из файла (страница 70)
е 1 л 2л 2л (17.93) Итак, получено уравнение лучей — (и — (=угаси и, д I ать (17.94) ,( которое эквивалентно системе трех дифференциальных уравнений в координатной записи: (17.95) Уравнения (17.94) или (17.95) дают возможность решить основную задачу геометрической оптики — построить лучевые траектории. Для этого необходимо прежде всего задаться точкой Глава 17. Интерференция и дифракция волн 380 (17.94) следует, что здесь сРг/бзе = О, откуда ге эа+Ь, где а и Ь вЂ” некоторые постоянные векторы. Таким образом, в однородной среде лучи представляют собой прямые линии; луч направлен вдоль вектора г=а и проходит через точку с радиусом-вектором г=Ь.
Наклонные лучи в плоскослоистой среде. Простейшая математическая модель распространения достаточно коротких электромагнитных волн в неоднородной атмосфере Земли в рамках метода геометрической оптики сводится к решению уравнений лучей (17.95) при условии, что показатель преломления среды п зависит только от вертикальной координаты г. Будем считать, что распространение происходит в плоскости ХОХ, причем х — расстояние, отделяющее точку наблюдения от источника волн, которое измеряется вдоль горизонтальной поверхности (рис.
17.16). При этом бу/ба=О и первое уравнение из системы (17.95) приобретает вид (17.96) Отсюда следует, что ая А ав а (17.97) входа луча (хе, уо, ге) и начальным направлением лучевого вектора, т. е. тремя производными (бх/е)з, дуЯз, бгЫз), которые представляют собой направляющие косинусы лучевого вектора в исходной точке, Строя шаг за шагом интегральную кривую уравнения (17.94), приходим в точку выхода луча, имеющую некоторые координаты (хь дь г~).
Таким образом, создав в одной точке пространства плоскую волну с заданным направлением 1 лучевого вектора, мы получаем в другой точке пространства также плоскую волну, у которой в, г направление распространения будет, вообще говоря, уже друго гим. Построив лишь один луч, мы не получаем никаких сведе- О ний об амплитудах волн на вхо- де и выходе. Рис. 17.16. Никлоииые лучи в Простейший сЛучай — распроплоско-слоистой среде: странение плоских волн в одно<л1е.1"'" ' '' " РОДНОЙ СРЕДЕ, ДЛЯ КатОРОй и= =сопз1 и поэтому ргали=О.
Из 17.8. Метод геометрической оитики 381 где А — некоторая постоянная величина, которую можно определить исходя из того, что производная бх/пз является направляющим косинусом лучевого вектора по отношению к оси х. Если источник волн расположен в точке с координатами х=-О, гс яо и луч в точке входа образует угол Оо с осью г, то, очевидно, А/и (го) =- яп де. Чтобы получить уравнение траектории луча в явном виде, следует учесть, что второй из направляющих косинусов — =- + )т'! — (Ох/д а)т = + )гс1 — (А?п)' де (17.98) де Здесь положительный знак отвечает восходящей, а отрицательный — нисходящей ветви луча.
Объединяя выражения (! 7.97) и (17.98), получаем требуемое дифференциальное уравнение — = + )г'(п)А)т — 1 (17.99) йх которос интегрируется непосредственно: л(г)= Г (17.100) ,! )с (и (с)?А!т — 1 ео Прн вычислениях по этой формуле следует в необходимых случаях изменять знак перед корнем, переходя с восходящей на нисходящую ветвь луча. Так как формула (17.97) справедлива при любых значениях х, то имеет место равенство п (х,) яп до= и (г) яп К (17.10! ) Если показатель преломления с ростом координаты я увеличивается, т.
е. п(г) )п(хе), то в соответствии с (1?.101) угол О(Оо и, значит, луч искривляется вверх, стремясь стать более вертикальным, Наоборот, если п(г)(п(го), то О)Оо и луч искривляется вниз. В физике искривление траектории луча из-за изменения показателя преломления называют рефракцией. Общее правило таково: луч рефрагирует в ту сторону, где оптическая плотность среды вечиее. Если показатель преломления с ростом высоты уменьшается, то возможна ситуация, когда О=я/2„т.
е. происходит поворот луча, эквивалентный отражению волны от идеально проводящей плоскости. Точка поворота располагается на высоте я„которая удавлетворяет равенству и (хи) = и (хе) яп О,. (17.102) Глава !7. Интерференция и дифракция волн 382 Речь будет идти только о меридианальных лучах, которые лежат в плоскостях, содержащих ось г. Зададимся так называемым параболическим профилем показателя преломления (рис. 17.17, а): п(г)= по(1 — Ь(г/а)'( прн гк" а, по(1 — Ь) при г > а, (17.
104) где а — радиус сердцевины волокна; по — показатель преломления при г=0, т. е. на оси .световода; Ь вЂ” параметр, характеризующий скорость убывания показателя преломления вдоль радиальной координаты. Если считать, что относительное изменение показателя преломления от центра к периферии волокна невелико, то ! йн 2Ь вЂ” — — — г, п аг аг Если значение Оо близко к п72, т. е.
луч входит в неоднородную среду почти горизонтально, достаточно весьма небольшого уменьшения показателя преломления с высотой, чтобы произошел поворот луча. Описанные здесь явления играют существенную роль в распространении радиоволн вблизи поверхности Земли, о чем шла речь в гл. 14. Лучевое распространение волн в волоконных оптических линиях передачи. Одной из наиболее перспективных линий передачи электромагнитных сигналов в настоящее время, по-видимому, является волоконный световод, представляющий собой тонкую (диаметром несколько микрометров) нить из особо чистого кварца или искусственого полимера.
Погонные потери света в такой линии не превышают нескольких децибел на километр. Несущая частота в оптическом диапазоне исключительно высока, что позволяет иметь очень широкую полосу пропускания н обеспечивать за счет этого скорость передачи информации в сотни и даже тысячи Мбит(с. Среди разнообразных волоконных световодов известны так называемые градиентные волокна, у которых показатель преломления п(г) максимален на оси и плавно уменьшается к периферии. Рассмотрим упрощенную лучевую трактовку явлений в таком волокне. Будем основываться на уравнении лучей вида (17.94), которое запишем в параксиальном приближении, согласно которому лучи распространяются почти параллельно оси г, и поэтому дифференциал дз можно приближенно заменить на дг: дог 1 ан (17.! 03) Вгх и аг 17.8.
Метод геометрической антики 333 откуда вытекает дифференциальное уравнение, описывающее траек- торию меридионального луча: дат 26 — + Г=О, деа аа (17.105) Если Г, и Г,' — начальные условия для этого уравнения, задаваемые при а=О, характеризующие начальный радиус в точке входа и на- ага г 81 а) Рис.
17.17. Градиентный волоконный световод: о — конструкция световода 1У вЂ” оптическое волокно; У вЂ” однородная среда); б, а — траект р лу и при разных начальных условиях чальный угол наклона луча, то решение уравнения (17.105) имеет следующий вид: Г=Гв сов с7з+(Го1с7) 5!и с7а, где 7= )у 2Ь/а. (17.106) Видно, что траектории лучей представляют собой зиакоперемениые гармонические функции продольной координаты. Если при всех значениях Г, производные Г;=О, т. е.
лучи входят в волокно параллельно оси, то независимо от Г, лучи пересекают ось свето- вода в одних и тех же точках (рис. 17.17, б). Таким же свойством будут обладать лучи, входящие в волокно при Г,=О под разными начальными углами (рис, 17.17, в). Говорят, что при сделанных предположениях в волокне отсутствует так называемая межмодовая дисперсия, т. е. различие времен распространения сигналов Глава !7. Интерференция и дифракция волн 384 под разными углами (термин «мода» здесь трактуется несколько по-иному, нежели в теории обычных волноводов и резонаторов).
Фактически картина явлений гораздо сложнее из-за того, что вдоль световода могут распространяться не только меридиональные, но и косые (винтовые) лучи, для которых межмодовая дисперсия неизбежна. Разница времен запаздывания сигналов, распространяющихся по разным путям, может составлять несколько наносекунд на километр, что существенно ограничивает пропускную способность волоконно-оптической линии связи. Подробные сведения о характеристиках современных световодов читатель может найти в литературе, например [6).
$7.9. Теорема эквивалентности Заканчивая главу, посвященную методам решения дифракционных задач, рассмотрим широко распространенный прием, позволяющий регулярным образом ставить краевые задачи для уравнений Максвелла. Предположим, что имеется произвольный объем )7 с гладкой замкнутой поверхностью 5. Внутри объема некоторым образом распределены возбуждающие источники, характеризуемые объемными плотностями сторонних электрических 3„е и магнитных Яет.и токов. Кроме того, будем считать, что на поверхности 5 заданы касательные составляющие векторов искомого поля, возникающего как под действием источников внутри объема, так и в результате наличия тех или иных внешних источников.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
