Баскаков С.И. Электродинамика и распространение радиоволн (1992) (977984), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Тогда вблизи этой точки разложение функции /(1, ~) в ряд Тейлора 1(1 $)=У(/о Е)+'Ы" ('о 1)(1 — /о)'+"- (17.11) с точностью до величин высшего порядка малости представляет собой квадратичную функцию аргумента 1 — 1,. Предположим также, что экстремум функции /(1, 5) в точке 1о является достаточно резким и поэтому в разложении (17.11) можно ограничиться лишь выписаннымн членами. Тогда, подставляя (17.11) в (17.10), приходим к приближенному равенству ./=Š— 11<"'Ыд(/О ') ~ ЕХр( — /Уа(/О В(1 — /О)'/2(Ж. (17.12) женности результирующего магнитного поля, интегрируя все эле- ментарные вклады вида (17.8): !7.2. Возбуждение пространства нитью тона 333 Имеются табличные интегралы, справедливые при любых значениях а)0: соз (аут) бу = ~ 31 и (аут) бу = ~гь Тогда, представив экспоненциальную функцию в подынтеграль- ном выражении из (17.12) как сумму действительной и мнимой частей„ получим приближенно 1-и -~гв,.ов-юлв(=)тг ' а — л= Подставляя этот результат в формулу (17.12) и считая, что /" (!в, 9) )О, находим окончательно т 1=1/ " ~(!О, 1)Š— !1ЛЫ,11+вгь1 (17.13) 'т' т" (!о, Ц Применим метод стационарной фазы к оценке интерференци- онного интеграла (17.9).
Здесь 7(з, г)=~)'г'+.гз, /'(з, г)=рл/)/ге+и', поэтому точка стационарной фазы имеет координату а=О. Вычис- лив вторую производную, находим, что /" (О, г) =-р/г)0. Следо- вательно, Е 7т~ г +* гз + ез гт откуда получаем комплексную амплитуду единственной отличной от нуля проекции магнитного вектора: Нт(г) = / 1 — е — )(Зг — "!ь). (1?.14) 1т 8лг Чтобы определить вектор напряженности электрического поля, следует воспользоваться первым уравнением Максвелла го1 Н= =/ьтзвЕ.
Учтем, что в данном случае д/дг=д/д~=О в силу геометрических особенностей задачи. Кроме того, в данном случае Н,= =Н,=-О. Тогда го1 Н=— д (.О,) (17.15) г дг 12 — 1379 Глава !7. Интерференция и дифракция волн 354 откуда следует, что во всем пространстве электрический вектор имеет единственную отличную от нуля проекцию вдоль оси г с комплексной амплитудой 1 д ° У Рер ет'М е Е,= — (гН )— /шкет дг /Р аниео [ 2г Р т /8 е 1' т Так как нас интересует поле на расстояниях от возбуждающей нити, значительно превышающих длину волны, т. е.
прн значениях рт)>1, первым слагаемым в квадратных скобках можно пренеб- речь по сравнению со вторым и получить Е,= — /1 — х.,е — ИЗ' ~'). ~l 8ат (17. 16) Нт (т) = У вЂ” Н( ~ (рт), 4/ (17. 17) где Оге~ (х) =7~ (х) — ~у1 (х) — функция Гавкеля второго рода 1-го порядка, которая при больших значениях аргумента имеет следующее асимптотическое представление: Н,'~' (х) = 1,е' 2 е-И вЂ” е'М.
(17.18) к 1' ях Подставив это выражение в (17.17), сразу приходим к формуле (17.14) . Формулы (17.14) и (17.16) описывают однородную т(илиндрическую волну. Поверхности равных фаз такой волны представляют собой концентрические цилиндры, перемещающиеся в радиальном направлении с фазовой скоростью па=от/р=с. Для рассматриваемой задачи специфичен дополнительный фазовый сдвиг на 45' между возбуждающим током н напряженностью поля.
На большом удалении от нити тока цилиндрическая волна является локально-плоской. Действительно, здесь )Е,(/)Я,~ =Ее= =377 Ом. Легко убедиться в том, что знаки проекций Е, и Н таковы, что вектор Пер ориентирован в радиальном направлении. Интересно отметить также, что амплитуды векторов Е и Н в цилиндрической волне уменьшаются с ростом радиуса не по закону 1/т, как в сферической волне, а пропорционально множителю 1/)~'г, т. е.
значительно медленнее. Строгое решение задачи о возбуждении свободного пространства нитью синфазного тока (11) приводит к следующему результату: Зоо 17.8. Метод физической оптики Пример 17.1. Цилиндрическая волна возбуждается нитью тока с амплитудой 1 =5 А, частота колебаний 1=300 МГц (длина волны ).=1 м). Определить амплитуду напряженности магнитного поля Нч на расстоянии т=4 м от оси.
Сравнить полученный результат с напряженностью Н, магнитного поля, создаваемого нитью постоянного тока 1,=5 А. В данном случае коэффициент фазы 5=2п1),=6.283 м — '. Используя формулу (17.14), находим Н „=У Щ(8лт)=2.5 А/м. На основании закона Ампера находим напряженность магнитного поля, создаваемого нитью постоянного тока: Нз — lо/(2лг) = 5)(8п) = О.
2 А/м. Таким образом, напряженность магнитного поля в цилиндрической волне примерно в десять раз больше напряженности магнитного поля, создаваемого стационарным током. 47.3. Метод физической оптики. Днфракцня плоской волны на щели в идеально проводящем экране Основная трудность решения задач дифракции волн заключается в том, что полное поле во всем пространстве есть сумма падающего и рассеянного полей: В= ааааа+ Врас 14 = Пиал+ Прас.
При этом токи, наводимые в препятствии и являющиеся физической причиной возникновения рассеянного поля, сами зависят от напряженностей этого поля. Процедура решения дифракционных задач существенно упрощается в рамках метода физической оптики. Этот приближенный метод основан на допущении, согласно которому причиной возникновения рассеянных волн служит только падающее поле, причем значения векторов этого поля не зависят от наличия или отсутствия рассеивающего препятствия. Как пример, иллюстрирующий метод физической оптики, рассмотрим задачу о дифракции плоской электромагнитной волны на идеально проводящем экране, в котором имеется щель шириной 2а, бесконечно протяженная вдоль осн у (рис. 17.2).
Поляризация падающей волны такова, что в выбранной системе координат комплексная амплитуда вектора напряженности электрического поля 12' Глава 17. Интерференция и дифракция волн Зов имеет вид Еоехр( — !рх)1„, т. е. электрический вектор перпендикулярен кромкам щели. Падающая волна перемещается слева направо, существуя в полупространстве х(0.
Требуется определить рассеянное (дифрагированное) электромагнитное поле в полупространстве г)0 за препятствием. Как известно, электромагнитное волновое поле в однородной среде без источников является соленоидальным, т. е. б!ч Е=О, б1ч Н=О, и подчиняется векторным уравнениям Гельмгольца чтгЕ+ ргЕ 0 (! 7.19) ч н+р н=о. Применительно к поставленной задаче из физических соображений ясно, что на достаточно большом удалении от возбуждаюх щей щели силовые липни электрического вектора в полупространстве х>0 по форме будут напоминать дуги окружностей с центрами в точке (х=О, у=О).
Е а Поэтому у вектора Е имеются две отлич- гт ные от нуля проекции Е„и Е„а третья У возможная проекция Р„заведомо от-о сутствует. Однако если интересоваться волновым процессом лишь в области пространства вблизи оси з, то можно Рне. 17.2. Днфракння алое предположить, что полярнзационная кой волны на щели в нро- структура дифрагированного поля таводящем акране кая же, как и у падающей волны. По- этому приближенно в указанной области пространства электрический вектор будет иметь единственную отличную от нуля проекцию Е,(х, х).
Такое предположение, по сути дела, сводит векторную задачу к скалярной н тем самым существенно упрощает выкладки. Итак, нам нужно найти решение скалярного уравненич Гельмгольца (17.20) в полупространстве х)0, удовлетворяющее определенным граничным условиям на плоскости а=О. В соответствии с принципом физической оптики потребуем, чтобы значение поля обращалось в нуль на участках поверхности, закрытых идеальным проводником, а в щели равнялось невозмущенной напряженности падающего по- 17.3.
Метод физической оптики 357 ля Е,. Таким образом, граничные условия для искомого поля та- ковы: (17.21) Ео при — а (х <а. Применим к уравнению метод разделения переменных и будем искать его решение в виде Е,(х, а)= — Х(х) Л (а). С подобными задачами мы неоднократно встречались ранее. Легко проверить, что частным решением уравнения Гельмгольца (17.20), имеющим вид произведения двух функций, является (» а) Ае1 (ик+е ем — и') (17.22) при любых значениях амплитудного коэффициента А и параметра к. Выбирая этот параметр тем или иным образом, можно описывать различные волновые процессы.
Так, если значение к действительно и хз(~з, то формула (17.22) описывает однородную плоскую волну с постоянной амплитудой. Волна распространяется под некоторым углом к оси г, который зависит от соотношения между н и р. При х')йз это выражение описывает неоднородную плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси х со скоростью, меньшей скорости света; амплитуда волны экспоненциально убывает с ростом координаты г. Из частных решений вида (17.22) можно построить общий ин- теграл т), ( А (к) е1 (кк+е т'р' — и') с(и 2л,) (17.23) с не известной пока весовой функцией А(к), которую нужно подобрать так, чтобы удовлетворить граничным условиям (17.21). Подставив в формулу (17.23) значение а=О, находим„что А(х)= ~ Е„(х 0)е — 1исбх (17.25) Е„(Х, О) = — ~ А (я) Е1 "к бХ. 1 (17.24) 2и Видно, что функция А(я) есть преобразование Фурье [2) от распределения поля в плоскости экрана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
