Баскаков С.И. Электродинамика и распространение радиоволн (1992) (977984), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Кзадачам дифракции тесно примыкаеттеория распространения электромагнитных волн в пространственно неоднородных материальных средах, например в земной атмосфере с турбулентными возмущениями плотности воздуха. Решение задач об интерференции и дифракции электромагнит. ных волн, как правило, сопряжено с серьезными математическими трудностями. Поэтому в настоящей главе не ставится цель изложить основы всеобъемлющей теории. Предпринята гораздо более скромная попытка познакомить читателя с ведущими принципами этой области электродинамики и с приемами решения некоторых частных проблем, важных в прикладном отношении.
Желающие глубже вникнуть в современную теорию днфракции могут обратиться к обширной литературе по этой тематике, например к монографии [4]. 47.1. Условие излучения. Принцип предельного поглощения Рассмотренные в предыдущих главах задачи об электромагнитных полях в замкнутых системах, таких, как волноводы или объемные резонаторы, характерны тем, что при их постановке область существования поля пространственно ограниченна хотя бы по некоторым координатам. Если же требуется найти поле излучения системы сторонних токов в свободном пространстве или в неограниченной материальной среде, то задача осложняется тем, что вопрос о поведении векторов поля на достаточном удалении от источников не может быть разрешен заранее и требует дополнительного исследования.
Предположим, что точечный источник гармонических электромагнитных волн (элементарный излучатель) помещен в начало сферической системы координат. Среда, в которой распространяются волны, считается однородной и обладающей свойствами вакуума: е.=ею на=ма, п=О, Обозначим через ф комплексную скалярную функцию, представляющую собой комплексную амплитуду произвольно взятой проекции одного из векторов электромаг- 349 !7.!. Условие излучения нитного поля. Всюду, за исключением точки г=О, функция чр удовлетворяет однородному уравнению Гельмгольца т!з(7+ И== О, (17.1) где ро=2а!1=сок'ео)со — коэффициент фазы волнового процесса при заданной частоте источника.
Для простоты будем считать, что функция ф обладает сферической симметрией, т. е. не зависит от угловых координат О и ~р. Тогда, используя выражение оператора Лапласа в сферической системе координат, запишем уравнение (17.1) следующим образом: йзф, 2 йф, г — + — +И=О. (17.2) ого г ог Применив непосредственную подстановку, легко проверить, что (17.2) эквивалентно уравнению — (гф) + ро (гф) = О, (17.
3) не содержащему первой производной. Равенство (!7.3) представляет собой классическое уравнение гармонического осциллятора. Система его фундаментальных решений состоит из двух функций вида ехр(-+-!()ог). Полагая, что соответствующие амплитудные коэффициенты равны единице, отсюда находим два линейно независимых решения уравнения (17.2): Ф, = ехр ( — Дог)!г, (17.4) Ф,.=ехр (/рог)/г.
(17.5) С подобными функциями мы уже встречались в гл. 13, изучая теорию элементарных излучателей. Разные знаки аргументов экспоненциальных функций означают, что первому из найденных решений соответствует сферическая волна, уходящая от источника на бесконечность. Второе решение описывает аналогичную сферическую волну с противоположным направлением фазовой скорости, т. е. волну, которая приходит из удаленных областей пространства в точку начала координат.
Повседневный опыт убедительно говорит о том, что волны, возбужденные источником и ушедшие в свободное пространство, никогда не возвращаютсл назад. Поэтому решения вида (17.5) не соответствуют реальному волновому процессу и должны быть исключены из рассмотрения. Если речь идет о простейших сферических волнах, то здесь принцип отбора физически обоснованных;:е' енкй весьма прост и 350 Глава ГД Интерференция и дифранция волн сводится лишь к выбору правильного знака в экспоненцнальном фазовом множителе. Однако, как правило, поле, возбуждаемое сложной системой излучателей, описывается функциями всех трех сферических координат г, О, ее, причем по своему виду эти функции могут и не напоминать внешне простейших решений (1?.4) и (17.5).
Требуется аналитический критерий, который позволил бы отличать волны, уходящие на бесконечность, от физически нереализуемых волновых процессов, приходящих из бесконечности к источнику. Этот критерий был найден в начале ХХ в. немецким физиком А. Зоммерфельдом, который показал, что любое решение уравнения Гельмгольца, обладающее свойством волны, уходящей на бесконечность, должно при г- а удовлетворять предельному условию вида 11п1 г (д)!дг+Яв)) = О. (17.6) г В теории волновых процессов формулу (17.6) называют условием излучения или условием Зоммерфельда, В качестве упражнения читателю предлагается показать, что уходящая сферическая волна вида (17.4) удовлетворяет, а приходящая волна вида (! 7.5) не удовлетворяет условию излучения.
Изложенные положения дают возможность уяснить роль комплексного характера решений уравнения Гельмгольца в свободном пространстве. Дело в том, что наряду с комплексными можно построить и действительные решения уравнения (17.2), выполнив суперпозицию функций (17.4) н (17.5). Форма их записи такова: еое рег '„аи рег (17.7) г г Легко проверить, что ни одна из этих функций не удовлетворяет условию излучения. Это связано с тем, что решения вида (17.7) отображают стоячие сферические волны, которые возникают при наложении двух бегущих волн с противоположными направлениями распространения, подобно колебаниям в замкнутых объемных резонаторах.
Понятно, что для возникновения таких стоячих волн в бесконечно удаленной области пространства должна существовать идеально проводящая сферическая оболочка. Физическая абсурдность такого предположения несомненна. Однако даже существование такого сферического отражателя не смогло бы обеспечить возникновения во всем пространстве стоячих волн. Это связано с тем, что любая материальная среда, сколь бы ни была совершенной в электродинамическом отношении, обязательно поглощает энергию распространяющихся электромагнитных волн за счет необратимого взаимодействия поля н вещества. Г1оэтому вся энергия, излученная источником, будет обязательно рассеяна в прост- !7.2.
Возбуждение нространстеа нитью тока 351 ранстве. Это качественное соображение лежит в основе важной концепции, которую называют принципом предельного поглои4ения, Данный принцип устанавливает содержательный физический смысл условия Зоммерфельда, которое внешне выступает как чисто математическое утверждение. 17.2. Возбуждение пространства нитью электрического тока. Цилиндрические волны /1рг е 4п )/гт -1-еа (17.8) поскольку,как видно из чертежа, з1пй=г1Рггт+га. На основании принципа суперпозиции находим комплексную амплитуду напря- Как пример расчета интерференции волн рассмотрим задачу об электромагнитном поле, которое создается бесконечно тонкой нитью электрического тока, ориентированной вдоль оси г цилиндрической системы координат.
Ток изменяется во времени по гармоническому закону с частотой оз; комплексная амплитуда тока 7 в каждой точке оси г считается неизменной. Электродинамические свойства безграничной среды заданы параметрами еа и ро. 7иг Поле иа больших расстояниях от нити. Обратимся к случаю, когда расстояние г от точки наблюдения до оси достаточно велико в волновом масштабе, т. е. выполняется неравенство йг»1.
Если мысленно разбить излучающую нить на бесконечно малые отрезки длиной с(г, то каждый из них будет представ- г лять собой элементарный электрический из- 0 Р лучатель (диполь). Пусть г — текущая координата вдоль нити тока, а точка наблюдения Ряс. 17.!. Вычясто лежит в плоскости г=б (рис. 17 1). Длина больших расстояотрезка, соединяющего выделенный элемент тока и точку наблюдения, 77=)Гга+гз. Азимутальная координата ьр в цилиндрической системе координат и в локальной сферической системе, связанной с излучающим элементом тока, оказывается одной и той же.
Поэтому бесконечно малый вклад с(О, в комплексную амплитуду магнитного вектора можно определить, воспользовавшись известной формулой (13.36) из теории элементарного электрического излучателя, справедливой для дальней зоны, Глава 17. Интерференция и дифраяция волн 352 /1ре Р е 1т~т + Нт(г) =~ АНт= ~ бз. 4и ~ те+ее (! 7.9) Подобные выражения, называемые интерференционными интегралами, часто встречаются в теории дифракции волн. Отличительная черта таких интегралов, осложняющая их вычисление, состоит в следующем.
Мнимый показатель экспоненты под знаком интеграла содержит безразмерный «большой параметр» бт>)1. Поэтому действительная и мнимая части этой функции быстро осциллируют с изменением переменной г и вклады обеих частей в интеграл оказывая)тся знакопеременными. Метод стационарной фазы. Так называют один из наиболее распространенных приемов приближенной оценки интерференционных интегралов. Сущность метода состоит в том, что основной вклад в интеграл вносит лишь малый участок оси з вокруг так называемой точки стационарной фазы, в которой производная от фазовой функции обращается в нуль.
Вклады от остальных участков оси взаимно компенсируются из-за знакопеременного характера подынтегрального выражения. Рассмотрим интеграл /= ~ а(1, е) е — 110 ыб/, (17.10) где д(1, з) — медленная функция формальной переменной 1, 5— большой параметр задачи. Пусть /о — единственный действительный корень уравнения д//д/=0 (рассуждения легко обобщить на случай нескольких корней).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
