Баскаков С.И. Электродинамика и распространение радиоволн (1992) (977984), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Уравнение (16.13) представляет собой хорошо извес~нос уравнение гармонического осциллятора, которое в физике описывает свободные колебания в динамических системах второго порядка без потерь. Будем искать решение этого уравнения как сумму двух гармонических слагаемых с не известными пока амплитудными коэффициентами: М„(1)=Асоэю ~+В 5!пм ~. (16.14) Прямая подстановка убеждает в том, что выражение (16.14) действительно служит решением уравнения (16.13).
В соответствии с первым уравнением из системы (16.11) М = — — =А сбив 1 — В сов м 1. БМт йс (16. 15) мр Подставив значение 6=0 в равенства (16.14) и (16.15), а также используя начальные условия (16.12), находим, что А=М„О, В= = — Мре и поэтому Мх Мко соэ р™уо 51п р~~ (16.16) Мр — — Мзо 51п Озрик+ Муз со5 О)р~. Чтобы уяснить физический смысл полученного результата, заметим, что Мз + М'„= М2 О+ Мзо = соп51, (16.17) Обращаясь теперь к системе двух первых уравнений пз (16.11), дополним ее некоторыми начальными условиями: М,11-О = М„О', Мр(т= о ™ро (16. 12) где М„и М,Π— произвольные постоянные величины, характеризующие состояние вещества при 1= — О.
Совокупность уравнений (16.11) и начальных условий (16.12) образует так называемую задачу Коши для рассматриваемых линейных дифференциальных уравнений. Подобные задачи встречаются в теории цепей, где они описывают процессы собственных колебаний. Продифференцировав первое уравнение из (16.11) по времени и воспользовавшись вторым уравнением, можно исключить неизвестную М, и получить уравнение второго порядка относительно проекции М„: Глава !6'. Распространение волн в анизотропией среде 332 т.
е. при свободных колебаниях вектор М перемещается в пространстве таким образом, что его конец описывает окружность постоянного радиуса (рис. !6.2). Из рисунка видно, что вектор М всегда параллелен образующей конуса с высотой М,; вращение вектора происходит с резонансной частотой, а направление вращения зависит от начальных условий. Движения такого вида часто встречаются в природе. Примерами могут служить круговое движение грузика, подвешенного па нерастяжимой нити, а также вращательное движение оси волчка, наблюдаемое в том случае, если внезапно возникает сила, действующая перпендикулярно оси вращения. В теории гироскопов такое движение волчка называют прецессией. По аналогии говорят, что рассмотренное явление в намагниченном феррите является свободной прецессией вектора намагниченности.
Частота сор зависит от напряженности подНо магничивающего поля На и может оказаться весьма высокой. Например, если индукция подмагничивающего поля Во=1.5 Тл (такое поле можно создать с помощью мощного поРис. 16.2. Свободное движение вектора на. стоянного магнита) то сан= ре7На=уВе= магниченности в фер- =2.64 1Оп с ' илн (р — — 4.2 1О'е Гц=42 ГГц. рите Этой частоте соответствует длина волны Хе —— =7.14 мм, т.е. собственные колебания вектора намагниченности происходят в миллиметровом диапазоне.
Влияние затухания. Физически ясно, что амплитуда свободных колебаний вектора намагниченности с течением времени должна уменьшаться из-за неизбежных потерь. Было предложено описывать потери в намагниченной среде, введя дополнительные члены в уравнения движения: дМ = — и тИ вЂ” —" д! в " Т (16.18) дМ Ие — =ю ̄—— и! Т Уравнения вида (16.18) называют уравнениями Блоха.
Входящий в них параметр Т представляет собой время релаксации свободных колебаний вектора намагниченности. Значения Т находят экспериментально, изучая, например, отклик среды на внешнее воздействие вида короткого импульса или снимая амплитудно-частотную характеристику системы. 1бд. Физический механизм анизогроиии ферритов 333 Я,=Аеп'! Мв=Вер'.
Подставив (16.19) в (16.18), убеждаемся, что В должны удовлетворять системе однородных линейных уравнений (Р+ — ) А+м, — ш„А+(Р+ — ) В=О, 1 Т) Эта система будет совместной, если ее определитель равен нулю, т.е. параметр Р является корнем квадратного уравнения (16.19) коэффициенты А и ~р+ — ')+ ',=9, Рис. 16.3. Влияние потерь на характер движения вектора на- магниченности откуда 1 Рга=, + г~г (16.20) Подставляя эти значения корней в (!6.19), приходим к выводу, что общий вид зависимостей поперечных проекций вектора намаг- ниченности от времени таков: Л вЂ” е — '1г м 1. сон (16.2! ) Эта формула очень напоминает ту, которая описывает свободный пропесс н колебательном контуре без потерь [2).
Легко сообразить, что конец вектора М перемещается теперь не по окружности, как это было в случае среды без потерь, а по спирали (рис. 16.3)1 при 1-+-оо этот вектор стремится стать параллельным подмагничивающему полю. Время релаксации Т служит оценкой длительности процесса установления равновесия в данной системе. Как правило, на практике выполняется неравенство го,Т))1, т. е.
прецессирующий вектор намагниченности успевает совершить много оборотов вокруг оси, прежде чем процесс собственных колебаний закончится. Недостаток уравнений Блоха состоит в том, что они введены чисто феноменологически, без обсуждения физического механизма Покажем, что уравнения Блоха действительно описывают свободные колебания вектора намагниченности при наличии потерь. Для этого будем искать решения системы (16.18) в виде экспоненциальных функций времени с не известными заранее коэффициентами: Глава 1д. Расарастранение волн в анивотроиаой среде 334 возникновения потерь в феррите.
Более последовательным оказывается подход, основанный на векторном уравнении движения намагниченности в форме Ландау — Лифшица — = — 'ге т' [МНо! 1сюп дМ (М (МНс)) Ж сит (!6.22) Второе слагаемое правой части обычно называют диссипативным членом уравнения; параметр а определяют экспериментально. 46.2. Тензор магнитной проницаемости намагниченного феррита Если феррит находится в режиме насыщения, то соответствующий вектор намагниченности будет иметь вид М= — Л4~1~+М» (16. 24) где М~ — переменная составляющая вектора намагниченности, вызванная наличием высокочастотного магнитного поля. В дальнейшем будем рассматривать часто встречающийся на практике случай малого высокочастотного сигнала, когда выполняются следующие неравенства: ГГ~/Ое (< 1' Л4~1Л4о(< 1.
Ставится задача на основе уравнения движения вектора намагниченности (16.9) найти связь между векторами Н, и М» Чтобы упростить решение, воспользуемся приближением малого сигнала, пренебрегая в правой части уравнения движения произведением малых величин вида М~О» которое имеет второй порядок малости. Подставив соотношения (16.23) и (16.24) в правую часть исходного уравнения (16.9) и используя комплексную форму представления гармонических полей, будем иметь' 1 М~= — — РеУ(М,Нс) — Рст(М,Н,). (16.26) (16.25) Если записать векторные произведения в координатном виде и произвести упомянутое выше упрощение, то векторное уравнение (16.26) окажется эквивалентным системе двух скалярных уравне- ний Рассмотрим случай, когда в однородной бесконечно протяженной ферритовой среде помимо постоянного магнитного поля с вектором напряженности Не существует высокочастотное магнитное поле Нь гармонически изменяющееся во времени с частотой св. Полагая, что вектор Н, ориентирован вдоль оси з, запишем суммарное магнитное поле: Н=Н01,+Н» Ж.2.
Тензор магнитной проницаемости феррита /мм = — и Мт +аеи1е, 335 (16.27) у М,„= ̄—,и„. Здесь введены следующие обозначения: огр — — потно — уже встречавшаяся ранее частота ферромагнитного резонанса (частота свободной прецессии вектора намагниченности феррита); ог,=1гоуМ.— вспомогательный расчетный параметр, имеющий размерность частоты.
Отметим, что система (16.27) содержит только два уравнения, так как из (16.26) следует, что в первом приближении высокочастотная часть продольной проекции вектора намагниченности Мы обращается в нуль. Предположим, что проекции переменного магнитного вектора Йы и й,е тем или иным образом заданы. Тогда равенства (16.27) становятся системой линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных комплексных амплитуд Мы и М|д.
Решение этой системы имеет следующий вид: ~Р~е мое М1»= г Иы 7 г Иге аг Р иг — м Р (16.28) до 5 Мти г г Иы г г И!Р Безразмерные коэффициенты в правых частях равенств (16.28) по своему физическому смыслу соответствуют введенной ранее магнитной восприимчивости (см. гл. 1). Используя обозначения иран ни= г иг и Р аме щг н Р (16.29) М,„=~'*и,„И, — й„Н,„+О И„, (16.30) М„=О И,„+О И'„+О Инн Система уравнений (16.30) дает возможность образовать таблицу из девяти чисел (отличными от нуля оказываются лишь четыре) — — 7'й Π— О 0 О О (16.31) запишем полную систему уравнений, связывающих между собой проекции высокочастотного магнитного поля Н, и высокочастот- ной намагниченности Мь возбуждаемой этим полем: М„=- — й„н,„— уи„и, -г О Иои 336 Глава 1Б.
Расиространение волн в анизотропией среде которую называют тензором магнитной восприимчивости намагниченного феррита. С математической точки зрения таблица (16.31) представляет собой матрицу: закон образования декартовых проекций вектора М, соответствует обычным правилам умножения матрицы А„на вектор-столбец Нь Воспользовавшись введенным ранее определением, можно выразить вектор высокочастотной магнитной индукции В~ через напряженность магнитного поля Н~ и намагниченность М,: В,=1;(Н,+М,).
(16.32) Учитывая, что комплексные амплитуды М~ и Н~ связаны между собой тензором магнитной восприимчивости и„, соотношение (16.32) можно также представить в тензорном виде: В1=рс 1с Н1 (16.33) где 1с — тензор относительной магнитной проницаемости намагниченного феррита, представляемый следующей матрнцей: — Лр' О А' и О О О 1 (16.
34) Связь между компонентами обоих тензоров такова: р=1 — лн; р'=-А . (16.35) Материальные среды с тензором магнитной проницаемости вида (16.34) называют гиротропными средами. Данный термин подчеркивает связь механизма возникновения анизотропии магнитных свойств с прецессией вектора намагниченности. В литературе тензор вида (16.34) часто называют тензором Г(олдера. Перечислим его основные свойства. Ф При отсутствии потерь в веществе диагональные компоненты тензора Полдера действительные, а внедиагональные — чисто мнимые, причем всегда цп=ц+н.
Ф Отличные от нуля компоненты зависят от напряженности подмагничнвающего поля и от частоты колебаний. Последнее означает, что намагниченный феррит является материальной средой с частотной дисперсией фазовой скорости. Э На частоте ферромагнитного резонанса компоненты тензора Полдера испытывают разрыв. Это связано с тем, что примененная нами модель не учитывает эффекта затухания прецессии из-за потерь. Поэтому, строго говоря, полученные результаты справедливы лишь на частотах, не слишком близких к частоте ферромагнитного резонанса. !б.З.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
