Баскаков С.И. Электродинамика и распространение радиоволн (1992) (977984), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Поэтому в формуле (15.12) необходимо положить У!=О. Таким образом, Н, (х, з) = С соз е(х е — унэ, (15.14) откуда с помощью первого уравнения Максвелла находим комплексные амплитуды проекций электрического вектора в диэлектрике: Е„, = — С сов дх е — э "', й '""е (15.15) Е„а — — О, (15.16) Е„= С э|п ухе — унэ. !'у это (15.17) Дисперсионное уравнение замедляющей системы. Выше на основе общих соображений получены функциональные зависимости, которые описывают проекции векторов электромагнитного поля в вакууме и диэлектрике.
Тем не менее вопрос о связи коэффициентов фазы ро и а, от которой зависят замедляющие свойства системы, остается открытым. Не найдена пока и зависимость между амплитудными коэффициентами А и С. Чтобы ответить на эти вопросы, воспользуемся условиями непрерывности касательных составляющих векторов электромагнитного поля на границе раздела при х=а. Эти условия имеют вид (15.18) Подставив в данные равенства конкретные выражения проекций векторов из (15.5), (15.8), (15.14) и (15.17), а также сокращая на общие множители, получаем — рАе — р + ~ С з!науа= — О, е (! 5.19) Ае — р — С сов уа=О.
Равенства (15.19) образуют систему двух однородных линейных уравнений относительно неизвестных амплитудных коэффициентов А и С. Из алгебры известно, что такая система уравнений является совместной и имеет отличные от нуля решения лишь в том случае, когда ее определительобращается внуль. Отсюда не- Глава !Б. Поверхностные волны и замедляющие системы посредственно получаем соотношение, устанавливающее взаимную связь между параметрами р и йт р соз да — — з(п да= О, е (15.20) илн в безразмерном виде ра = — да 1д да. (15.21) е Равенство (! 5.21) называют дисперсионныле уравнением рассматриваемой замедляющей системы, поскольку оно дает возмож- ность построить дисперсионную ау характеристику — зависимость длины волны в волноводе от Е~в длины волны в свободном прог странстве.
В данное уравнение Д. ..ЪЪ входят две неизвестные величикгз ны ра н да. Чтобы определить их однозначно, уравнение (15.21) ! "ъ 'о нужно дополнить еще одним соотношением 0 ! 7 з»» (Ра) +(г(а) =( 1)(пгаа) ~ (15.22) Рис. 15.2. Графический способ решения дисперснонного уравнения которое непосредственно вытека- поверхностных волн в пизпектри- ет из определения величин р и 9. ческой пластине Равенства (15.21) и (15.22) следует рассматривать как систему двух уравнений относительно неизвестных ра н да.
Первое из этих уравнений трансцендентное, а второе в алгебраическое второй степени. Такие системы уравнений целесообразно решать численными методами на компьютере, используя многочисленные стандартные подпрограммы. Можно также воспользоваться весьма наглядным графическим методом, точность которого вполне достаточна для инженерных целей.
Пронллюстрируем графический метод решения на конкретном приоре, приняв следующие исходные данные: а=2.56 (диэлектрик — полистирол), толщина пластины а=10 мм, длина волны в свободном пространстве Ло=4.8 см (частота 1=6.25 ГГц). Требуется определить длину волны Л, поверхностной электромагнитной волны Е-типа над такой замедляющей структурой. На рис. 15.2 построены две кривые из бесконечногб множества, описываемого уравнением (15.21).
Кривые рассчитаны с учетом заданного значения диэлектрической проницаемости пласти- 75.!. Замедление волн диэлектрической пластиной 317 ны. Заметим, что для решения дисперсионного уравнения достаточно строить кривые только при ра)0, так как всегда р)0. Искомые решения определяются точками пересечения построенных кривых с геометрическим местом точек, соответствующих уравнению (15.22). Нетрудно видеть, что данное равенство описывает семейство концентрических окружностей, радиусы которых зависят от диэлектрической проницаемости материала пластины, ее толщины и рабочей длины волны: я=У'.— 18,7.
Подставив сюда числовые данные, находим, что в данном случае 77=1.63. Эта окружность построена на рисунке. Снося точку пересечения окружности и кривой, которая описывается дисперснонным уравнением, получаем значение безразмерного параметра ра=1.12, откуда р=0.112 мм-'. Значит, продольное волновое число поверхностной волны й=)/ рэ+В о=0.172 мм-', а длина волны в волноводе Л,=2н!й=3.65 см.
В инженерной практике эффективность работы замедляющей системы оценивают, вводя безразмерный коэффициент замедления К„„=с7нф — — Ло7Л,. (15.23) Для рассмотренного случая К„„=4.8/3.65=1.315, т. е. фазовая скорость волны примерно на 30о7о меньше скорости света. Отметим, что при выбранных параметрах замедляющей системы точка пересечения окружности и днсперсионной кривой оказалась единственной. Это свидетельствуето том, что на заданной частоте может распространяться поверхностная волна лишь одного типа. Данную волну (замедленную моду) целесообразно обозначить как Е,о. Первый индекс представляет собой порядковый номер корня дисперсионного уравнения, а второй указывает на то, что поле такой волны неизменно в поперечном направлении. Волна типа Е1о является низшей модой в рассматриваемой замедляющей структуре и существует при любой частоте.
Чтобы убедить-. ся в этом, достаточно заметить, что точка пересечения окружности и кривой будет иметь место всегда, независимо от радиуса окружности. Одноволновый режим работы замедляющей структуры сохраняется вплоть до значения К=н, т. е. на длинах волн, удовлетворяющих неравенству Ло ) 2а)т"о — 1. (15.24) При более высоких частотах в системе потенциально могут существовать поверхностные волны высших типов, такие, как Еоо, Ето и т.
д. В частности, на рис. 15.2 изображена окружность радиу- Глава Пй Поверхностные волны и замедляющие системег 318 сом Я=3.22, которая соответствует колебаниям с длиной волны в свободном пространстве Х,=2.44 см (частота 1=!2.3 ГГц).
Точке пересечения этой окружности со второй ветвью дисперсионной кривой соответствует волна типа Езз, замедление которой весьма невелико (ра=0.1, К„„=1.0008). Наряду с этой высшей модой в замедляющей системе может быть возбуждена и основая мода Егс, испытывающая достаточно сильное замедление (ра = 2.9, Вслва Езв Волна Е,с Рис. 15.3. Эскизы силовых линий электромагнитного поля волн типов Еы и Ета в диэлектрической пластине К„„=1.50). По причинам, излагавшимся ранее, волноводные конструкции следует строить так, чтобы обеспечить одноволновыйрежим работы линии передачи.
Эскизы распределения силовых линий векторов электромагнитного поля для мод Еы и Е„ приведены на рис. 15.3. Картины силовых линий для волн с более высоким значением первого индекса могут быть построены по впало~ни. Данные рисунки наглядно иллюстрируют факт экспоненциального уменьшения амплитуды поля при удалении точки наблюдения от замедляющей структуры. Поверхностные волны Н-типа. В системе из диэлектрической пластины и идеально проводящей подстилающей плоскости помимо уже изученных Е-волн могут существовать волны Н-типа.
Кратко рассмотрим свойства таких волн, опуская некоторые промежуточные выкладки; смысл параметров р и д остается прежним. Предположим, что в области 1 (см. рис. 15.1) распространяется замедленная волна, у которой комплексная амплитуда вектора напряженности электрического поля имеет единственную проекцию Е„,(х, з)=Е„,(х) е — т"' (15.25) Функция вида (15.25) в указанной области является решением уравнения Гельмгольца х'Е„1+ рвЕ„,=0, 15.1. Замедление волн диэлектрической иластиной 3!з и по аналогии с (15.5) может быть представлена следующим об разом: Е„, (х, а) =- А е т'л е-т"'. (15. 26) Отсюда, воспользовавшись вторым уравнением Максвелла, находим магнитный вектор поля в области 1, который имеет отличную от нуля продольную проекцию с комплексной амплитудой Й„= — = Ае — р е — !"е.
— ! дЕу~ р (15.27) М'о дк 1 ио Таким образом, рассматриваемый электромагнитный процесс действительно является волной Н-типа. В области 2 электрический вектор поверхностной волны имеет лишь составляющую, направленную вдоль оси у; комплексная амплитуда соответствующей проекции удовлетворяет уравнению р'Еуэ+ ЯоЕу, = О, решение которого имеет вид Е„,(х, з)= — В з!и!)х е — !"', (! 5.28) где  — произвольная постоянная. Заметим, что в формуле (!5.28) оставлен лишь член с сннусоидальным амплитудным множителем, чтобы выполнялось граничное условие на идеально проводящей плоскости и р и х = О.
Продольная проекция магнитного вектора в области 2 имеет комплексную амплитуду дйуз с)В соз с)х е — '"'. дл 1и о — 1 ~~е2 1 ио (15.29) Теперь воспользуемся условиями на границе раздела вакуум— диэлектрик Ею —.Еуз, Й„=-Н„прн х=а. (15.30) Подставив сюда выражения (!5.26) — (15.29), приходим к однгродной системе линейных алгебраических уравнений относительно амплитудных коэффициентов А и В: Ае — Р— В з1п с)а=О, Ар е-ри+Всу соз с)а=О. (15.31; Очевидное условие разрешимости этой системы приводит к дисперсионному уравнению для Н-волн аа = — да с1н с)а, (! 5.32) Глава 15.
Поверхностные волны и еалгедляюи4ие системы 320 (15.33) Таким образом, критические длины волн для мод Н-типов по порядку величин совпадают с толщиной пластины. Пример 15.2. Найти критическую длину волны для моды типа Нты если известны параметры диэлектрической пластины: а = =0.5 мм, в=9 (пластина выполнена из оксида алюминия). Волне типа Нав отвечает третья ветвь дисперсионной кривой, как это показано на рис. 15.4. Данная ветвь начинается из точки с абсциссой да=5п/2.
Значит, )г е — 1б„па = 5п/2, откуда Х„р = = 4)' в — 1 а/5=1.13 мм, т. е. такую моду можно возбудить лишь в коротковолновой части миллиметрового диапазона. 55.2. Гребенчатая замедляющая система Чертеж этой замедляющей структуры, весьма распространенной в технике СВЧ, представлен на рис. 15.5. Система представляет собой периодическую последовательность канавок прямоугольного профиля, прорезанных в металлическом основании и ориентированных параллельно оси у. На рисунке обозначены геометрические размеры — глубина канавок 1, ширина а, а также толщина межканавочных гребней (г. .которое следует дополнять соотношением (15.22), связывающим переменные ра и да.
Методика графического решения полученного дисперсионного уравнения показана на рис. 15.4. Построение в принципе не отличается от того, которое использовалось при анализе Е-волн. Однако следует заметить, что первая ветвь дисперсионной кривой, от- вечающая низшей моде Нго, пачинара ется не из начала координат, как бы1 ло ранее, а из точки на оси абсцисс с координатой г)а=я/2. Отсюда следует, что при достаточно низких чан, стогах, когда выполняется неравенство Л<л/2, поверхностных волн Н-типа в данной системе существовать не может.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
