Баскаков С.И. Электродинамика и распространение радиоволн (1992) (977984), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Поэтому говорят, что моды открытого объемного резонатора представляют собой гауссовские волновые пучки. Резонансную длину волны для моды типа Т„„вычисляют по приближенной формуле ~ „=21!л. (17.57) Квазиоптическим объемным резонаторам присущи специфические дифракционные потери, связанные с утечкой части энергии за края зеркал. Чтобы сделать эти потери приемлемо малыми, стремятся так выбрать геометрические размеры резонатора, чтобы одно из зеркал полностью перекрывало «лучевую трубку», созданную другим зеркалом. Для оценки величины дифракционных потерь принято вводить так называемый дифракссионный параметр с = ~а'/У., (17.58) Было показано, что дифракционные потери чрезвычайно быстро уменьшаются с ростом дифракционного параметра. Так, при с)2п добротность конфокального резонатора может быть сделана порядка 1Ов и даже более.
Это обстоятельство имеет важное значение в лазерной технике, использующей конфокальные открытые резонаторы как высокодобротные колебательные системы оптического и инфракрасного диапазонов. $7.6. Днфракцня плоской электромагнитной волны на идеально проводящем цнлнндре В настоящем параграфе рассмотрен пример строгого решения задачи о дифракции плоской волны на идеально проводящем теле. Пусть имеется круговой цилиндр радиусом а, ось которого ориен- 370 Глава 17. Интерференция и дифракция воля тирована вдоль оси а декартовой системы координат (рис. 17.13). Считается, что данный цилиндр, выполненный из идеального проводника (о= оо), бесконечно протяжен в осевом направлении. Плоская электромагнитная волна с линейной поляризацией падает на цилиндр слева направо в положительном направлении оси х, как показано на рисунке.
Плоскость поляризации падающей волны выбрана таким образом, что соответствующий вектор напряженности электрического поля имеет единственную отличную от нуля проекцию Ео которая считается известной. к,:.:. х Требуется вычислить пространствен- 1)пал ное распределение комплексной амплитуды электрического вектора рассеянной волны во всем пространстве. Решая поставленную задачу в строгой постановке, будем избегать волны на идеально прово- каких-либо УпРОЩаюших пРелполоРис.
17.13. Падение плоской дипьий иилиндр жений, основываясь исключительно на уравнениях Максвелла. Для этого введем цилиндрическую систему координат (и, ць а) и запишем комплексную амплитуду вектора напряженности электрического поля падающей волны в следующем виде: Е =Е е-Уй .1 — Еое — 1й т1 (17.59) Проекция этого вектора на ось а является периодической функцией угловой координаты ц~ с периодом 2п, поэтому можно воспользоваться разложением в ряд Фурье; коэффициентами такого ряда служат функции Бесселя У„(бт). Здесь можно усмотреть прямую аналогию со спектральным представлением ЧМ-сигнала [21.
В результате будем иметь Еапаа=ЕО ~' уа (тят) Е " (17.60) а— Очевидно, что при выбранной поляризации поле рассеянной волны будет иметь единственную отличную от нуля проекцию Н,р„вектора напряженности электрического поля. При этом на поверхности идеально проводящего цилиндра должно выполняться очевидное граничное условие ( Еа и ад+ Еа рис)(т-а = 0 (17.61) Рассеянное поле должно являться решением однородного уравнения Гельмгольца Ч Етрас+йт Еарас 0т 77.д. Дифракяия ллоской волны на Чилиндре 371 которое в данном случае приобретает вид (17.62) г дг ~ дг / га дти Рассеянное поле существует в бесконечной области г)а, причем при г — «-оо должно выполняться условие излучения Зоммерфельда.
Решение уравнения (17.62) представляет собой периодическую функцию аргумента <р с периодом 2п, которую можно искать в виде ряда Фурье, совпадающего по форме с (17.60) Е,р„— — ~~)' а„(Г) Ети<т — <'1 ( 17.63) л.— с не известными пока амплитудными коэффициентами а (г) отдельных угловых гармоник. Поскольку диев рис Лип (<.) с<и<У вЂ” впп д„г я=в каждый из этих коэффициентов должен быть решением дифференциального уравнения второго порядка которое заменой переменной ~=(<г сводится к обычному уравнению Бесселя (17.64) дЯ э д$ < си / Подходящей системой линейно независимых решений уравнения (17.64) служат функции Ганкеля Н„«>Д) и Ни<мД) первого и второго рода соответственно [9]. При больших значениях аргумента справедливы следующие асимптотические формулы: яе н$ Ясно, что цилиндрическую волну, уходящую на бесконечность, описывает функция Н„«и Я). Таким образом, Евр„— '«~ ~А„Н< 1(<йг) е~"<т "~1, (17.65) Глава 17.
Интерференция и дифракция волн 372 причем в соответствии с (17.60) для выполнения граничного условия на поверхности цилиндра необходимо потребовать, чтобы У (Ра) (17.66) Итак, комплексная амплитуда электрического вектора рассеянного поля выражается бесконечным рядом Фурье ,д 1л (Ва) уу(21(от) 1л(Р— д( (17.67) леал — а ~у уу(2((р ) л л-— и На большом удалении от цилиндра (при йг-+-со) это поле имеет вид цилиндрической волны с неоднородным угловым распределением амплитуды: !/ 2 — 1(РР-лрп '~( ~л (Ра) е1 лт (17.68) ав с= — а ~~ :и н(21 ра! л-— л 710 Полученный ряд быстро сходится только при ра«З; расчет дифракционного поля в случае достаточно толстых цилиндров представляет известные труд- 17((л Ррв арл 5ел ности, даже если использует- ся быстродействующий ком- 7 пьютер.
Численный анализ показывает, что: ° цилиндры малых радиусов (а/Л<0.1) рассеивают энер/ гию практически изотропно по всем углам; ° более толстые цилиндры (а(Л=! — 3) имеют резко выраженный максимум рассея74рл 77ол ЛИ' ХЯРв Ния «ВПЕрЕд», т. Е. В ОбпаетЬ углов (р, близких к нулю; Рис.
!7.(4. ДиагРаммы Углового Ряс- ° если а!Ля!, то рассеяние пределения рассеянного поля при дифракпии плоской волны на иде- происходит в основном «наально проводив(ем нилиндре: зад>, а вокруг направления ( — прв игл=(.28: 2 — прп л(Х С2Е (р=О раСПОЛаГаЕтея ОбЛаетЬ геометрической тени.
На рнс. 17.14 представлены почерпнутые из [24) графики углового распределения амплитуды рассеянного поля при некоторых значениях отношения а/Л; кривые построены в условном масштабе. Интересное н до некоторой степени неожиданное явление рассеяния «вперед» связано с тем, что токи на поверхности цилиндра при определенных условиях существуют не только в освещенной )7.7. Уравнения Максвелла в неоднородной среде 373 области при — и!2(ср(п/2, как это принимается в рамках метода физической оптики, но и могут затекать на теневую сторону. $7.1. Уравнения Максвелла в неоднородной среде Электродинамика неоднородных сред в настоящее время является обширной научной областью с многочисленными и важными инженерными приложениями.
В данном параграфе выведены дифференциальные уравнения, которые описывают распространение гармонических электромагнитных волн в неограниченной неоднородной среде. Будем считать, что в каждой точке такой среды между комплексными амплитудами векторов поля существует линейная связь, устанавливаемая материальными уравнениями 0=в,Е, В=р,Н. (17.69) Здесь а,(х, у, г) и рв(х, у, г) — абсолютные диэлектрическая и магнитная проницаемости соответственно, являющиеся произвольными заданными функциями координат. Для простоты величины ев и )св являются не тензорами, а скалярами, т. е. речь будет идти о распространении волн в неоднородной изотропной среде.
Будем рассматривать гармонический волновой процесс с частотой со, существующий в неоднородной среде без сторонних источников. Система четырех уравнений Максвелла в данном случае имеет вид го1 Н=) ввяЕ, го1 Е = — )шр, Й, йчЕ=О, (17.70) откуда йчН (агади)н (17.71) Ра Отметим, что в магнитно неоднородной среде вектор дгаб р, отличен от нуля, поэтому поле Н здесь не является соленоидальным. йч В=О. Поставим задачу получить векторное дифференциальное уравнение относительно комплексной амплитуды Н магнитного вектора, которое было бы эквивалентным полной системе (17.70).
Начнем с того, что несколько преобразуем четвертую строку: йч В =йч Ос,Н) = (агаб р,) Н+р, йч Н= О, Глава !7. Интерференция и дифракция вали 374 Теперь вычислим ротор от обеих частей первого уравнения из системы (17.70): го1 го1 Н=?св го1 (в,Е). (17.72) Воспользуемся известными формулами векторного анализа и за- пишем го1 го1 Й= пгас) б(ч Н вЂ” у'Н, го1 (в, Е)=((дгас( а,) Е!+в,го1 Е.
(17. 73) (1?.74) (17.75) Данное векторное дифференциальное уравнение второго порядка в общем случае оказывается весьма сложным. Существенного упрощения можно добиться лишь в том случае, если заранее из физической постановки задачи известно, что пространственная неоднородность среды является плавной. Чтобы придать этому предположению количественную формулировку, введем характерные размеры пространственных областей с переменными диэлектрической и магнитной проницаемостями.
Обозначим эти величины как 1, и !„соответственно. Будем говорить, что пространственная неоднородность среды является плавной, если оба характерных размера значительно превышают длину волны: 7,!Л>) 1; г,!Л Ъ) 1. (17.76) К плавно-неоднородным средам часто можно отнести ионосферу Земли, в которой характерный размер неоднородностей распределения электронной концентрации имеет порядок сотен метров, Условия (17.76) будут выполняться на волнах метрового и декаметрового диапазонов.
Разнообразные естественные среды, в которых распространяются волны оптического и инфракрасного диапазонов, практически всегда можно считать плавно-неоднородными. Неравенства (17.76) дают основание отбросить в основном уравнения (17,75) несколько пренебрежимо малых слагаемых. Чтобы оценить порядки величин слагаемых, входящих в это уравнение, следует прежде всего заметить, что вычисление ротора сводится к нахождению некоторой определенной комбинации прост- Поле Е, входящее в равенство (17.74), можно выразить через поле Н, воспользовавшись первой строкой из (!7.70), а затем найти го1 Е из второй строки. Подставляя все эти промежуточные результаты в (17.72), приходим к следующему результату: т!'Н+ тв,р,Й+йгас( ~ — (вегас) р,) Й?с+ — ((пгаб в,) го1 Н) =.О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
