Баскаков С.И. Электродинамика и распространение радиоволн (1992) (977984), страница 69
Текст из файла (страница 69)
! ! на са 375 17.8. Метод геометрически» оптики ранственных производных первого порядка. При этом роль характерного масштаба пространственного изменения любых полевых величин играет длина волны. Поэтому справедлива оценка (го1 Й ~ счс70 /Л. В равной мере 1 72Й ! ест/тт /Лт; 1 щта и,Н 1 СстО /Л . Так как ! игаса р, 1 с о ра//„; ) атас) е, 1 сао ее//„ то имеют место оценки огас) ( — (йгас) р,) Н)/1 ~ гсзО /У„, 1- 1 2 Саа ! — [(йгас( е,) го1 Н] ~ сов„/(Е,Л). ! аа Отсюда, учитывая неравенства (17.76), приходим к выводу о том, что в плавно-неоднородной среде третье и четвертое слагаемые левой части уравнения (17.75) пренебрежимо малы по сравнению с первым и вторым.
Поэтому данное уравнение можно упростить, записав его в виде утН+ итар,Н= О. (! 7.77) Полученное равенство является уравнением Гельмгольца с переменным коэффициентом, который зависит от пространственных координат. Данное уравнение является основой для построения теории распространения электромагнитных волн в материальных средах с плавными неоднородностями. Отметим попутно, что если е,=сопз1, )с,=сопз1, т.
е. в случае однородной среды, уравнение (17.77) переходит в обычное уравнение Гельмгольца, причем такое уравнение становится уже не приближенной, а точной математической моделью изучаемых волновых явлений. 17.8. Метод геометрической оптики В данном параграфе рассмотрены основы метода приближенного решения волнового уравнения, который применяют в том случае, когда длина волны Л пренебрежимо мала по сравнению с любыми характерными размерами неоднородностей материальной среды. При этом уравнение (17.77) считается заведомо справедливым. Термин «геометрическая оптика» обусловлен тем, что описанная ситуация типична прежде всего для оптического диапазо- 376 Глава 17.
Интерференция и дифранция волн на волн. Однако этим методом удается эффективно решать многие задачи, связанные, например, с распространением радиоволн в ионосфере и тропосфере Земли, а также исследовать такие неэлектромагннтные волновые процессы, как распространение звуковых волн в Океане и движение сейсмических волн в земной коре. Считая, что потери в среде отсутствуют, запишем скалярный аналог уравнения (17.7?) следующим образом: ту'4+Реп (г) у=О, (17.78) где п(г) =)те(г) гс(г) — локальное значение коэффициента преломления неоднородной среды.
В основе метода геометрической оптики лежит интуитивное представление о том, что в пределах малой окрестности любой точки наблюдения волновой процесс представляет собой локально- плоскую волну, которая может быть описана выражением ф (г) = ехр [ — /реЕ (г)1. (17.79) Здесь с.(г) — не известная пока функция пространственных координат, которую называют эйконалом (от греч. шкыч — изображение). Заметим, что эйконал имеет физическую размерность длины.
Уравнение эйконала. Чтобы найти функцию Е(х, у, г), подставим выражение (17.79) в уравнение (!7.78), учтя прн этом, что ху'ф=-йч цгабф. По обычным правилам вычисления производной от сложной функции находим игаса ( = — 1ре (угас) Л) е — твее. (17.80) Как известно из векторного анализа, йч(оА)=(штаба)А+ рйчА, где скалярное поле се и векторное поле А — произвольные гладкие функции координат. Воспользовавшись этой формулой, получим йч ягас) с) = — ~,'(дгас( Е)'е-имс — Дее — уз с йч йгаб Л. (17.81) Подставляя выражение (17.81) в уравнение Гельмгольца (17.78), находим — ров(йтас( Е)'е — !Рес — Дее — 1з х йч 8гас( 7 +г~ен'е — 1~ с =О, (17 82) Теперь учтем, что в рамках метода геометрической оптики длина волны Х-е-0 и поэтому коэффициент фазы ре — е.оо.
Это дает возможность пренебречь вторым слагаемым в левой части равенства (17.82) по сравнению с двумя другими. После сокращения на общий множитель приходим к эквивалентному уравнению (йгас( Е)'=л'(г)., (17.83) 17 В. Метод геометрипегкой оптики 377 или в развернутом виде (! 7.84) б1./бв = + и (а), (17.85) откуда Е(а)=+) п(т.)с(Г+С, (17.86) где С вЂ” произвольная постоянная интегрирования. Отсюда полу- чаем общую формулу, описывающую геометрооптическую струк- туру волнового поля в плоскослоистой среде: е е 6(а)=Атехр ~ — Ло ~ п(0с)~+Ст1+А,ехр(1йо ) п(Ос(С+Са1, где А, и Аа — некоторые амплитудные коэффициенты.
Первое слагаемое правой части описывает прямую волну, распространяющуюся в сторону увеличения координаты а, а второе соответствует обратной волне. Особой является ситуация, когда в некоторой точке ао выполняется равенство п(ао) =О. Пусть, например, при а(ао показатель преломления п положителен, а при г)аа отрицателен. В самой Данное нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка называют уравнением эйконала, Это уравнение, допускающее разнообразные обобщения, является основным соотношением геометрической оптики пространственно неоднородной среды.
Отметим следующие важные факты: Ф В уравнение эйконала пе входит длина волны. Поэтому метод геометрической оптики не учитывает каких-либо дифракционных эффектов и явлений интерференции волн. Ф Метод геометрической оптики справедлив лишь в том случае, когда п(г) )О во всех точках пространства. Дело в том, что уравнение Гельмгольца с отрицательным вторым слагаемым левой части принципиально не может иметь решений вида локально-плоских волн с постоянной амплитудой. Нормальное падение волны на плоскослоистую среду.
В качестве простейшего примера использования уравнения (17.84) рассмотрим задачу о волновом процессе в плоскослоистой среде без потерь, у которой показатель преломления п(а) зависит лишь от декартовой координаты а. Будем считать, что волны распространяются вдоль оси а, т. е. по направлению нормали к слоям. В данном случае из (17.84) получаем 378 Глава 77.
Интерференция и дифракция волн точке го и в ее малой окрестности метод геометрической оптики теряет силу, однако ясно, что правее точки ав волновой процесс будет отсутствовать. Поскольку в среде нет потерь, падающая волна целиком отражается назад. Рассмотреьную здесь точку принято называть точкой поворота. Отметим, что существуют математические методы, позволяющие уточнить картину волнового поля вблизи точки поворота [1О). Анализ показывает, что поле проникает за точку поворота на глубину порядка одной длины волны, затухая вдоль координаты а по экспоненциальному закону. Уравнение лучей.
Чтобы описать волновой процесс в приближении геометрической оптики, достаточно располагать семейством поверхностей постоянных фаз 7. (х, у, х)=-сопз1, (1?.87) ! которое образовано решениями уравнения эйконала (17.84). При этом можно задатьРнс.!7Л5. Лучевая кир- ся какой-либо начальной поверхностью вида (17.87), а затем, интегрируя уравнение эйконала, построить другие поверхности.
На практике предпочитают вместо совокупности эквифазных поверхностей строить лучевую картину поля, более традиционную и наглядную. Как известно из физики, лучи образуют семейство линий, ортогональных к волновым фронтам (рис. 17.15). Вектор, касательный к лучу в некоторой точке пространства, указывает направление перемещения волнового фронта локально-плоской волны. Отсюда следует, что касательная к лучу ориентирована вдоль вектора игаб 7., указывающего направление наибыстрейшего изменения эйконала в пространстве.
Рассмотрим какой-нибудь конкретный луч. Пусть г — радиус- вектор выбранной точки на луче, а з(г) — длина кривой, отсчитываемая вдоль луча в одном из двух возможных направлений. Исходя из уравнения эйконала, запишем единичный вектор 1, (лучевой орт) в некоторой произвольной точке: = — ягас1 7..
(17.88) н В прямоугольной декартовой системе координат этот единичный вектор имеет направляющие косинусы г(хаба, бн/йз и бг/бз, т. е. имеет место разложение вида |е ~л + ~у + ~г' дх . ду . йг . (17.89) йв йв ав 17.В. Метод геометрикеекой оптики 379 Приравняв правые части формул (17.88) и (17.89), приходим к дифференциальному уравнению лучей и — ==йгаб У., дт (! 7.90) которое эквивалентно системе трех скалярных дифференциальных уравнений дх дЛ ду дЕ дг дЕ.
и — = —, и —.= —, и — = —. (17.91) де дх де ду де дг Некоторое неудобство уравнений (17.90) и (17.91) состоит в том, что их правые части содержат эйконал А, который приходится находить каким-нибудь независимым способом. Однако эти уравнения можно преобразовать таким образом, чтобы в правые части входило только пространственное распределение показателя преломления и(г), известное заранее. Действительно, производная от любой функции ср пространственных координат вдоль локального направления некоторой кривой з(г) есть скалярное произведение орта 1, и вектора угас)ср: — =1,8гас1 р= — йгабсе. йт . йт (17.92) де де Дифференцируя обе части уравнения (17.90) по переменной з, применяя равенство (17.92), а также используя уравнение эйконала (17.84), получаем д / дт~ дт — (и — )= — (йгас1 Е)= — йгас1 ~ йгаб Е ~ = йе де йе де ! = — йтас) Л нгас( 1 нгаб Е ! =- — вегас( (вегас( Е)'= — дгаб ит=дгаб и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
