Баскаков С.И. Электродинамика и распространение радиоволн (1992) (977984), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Докажем, что на основании этих данных можно однозначно вычиСлить векторы электромагнитного поля во всех внутренних точках указанной пространственной области. Для этого рассмотрим в объеме )т две системы векторов. Одна из них. обозначаемая как (Е, Н), отображает искомое поле. Другая, (Е„Н,), представляет собой совокупность векторов вспомогательного ноля, которое создается воображаемым элементарным электрическим излучателем, размещенным внутри )т в произвольно выбранной точке наблюдения Р.
Будем считать, что ось излучатели ориентирована вдоль некоторого единичного вектора 1ь Для простоты записи предположим, что амплитуда тока в излучателе 1, и его длина 1 таковы, что 1е1=1. Тогда соответствующая плотность тока имеет комплексную амплитуду 1етв=Ь6(г — ге), где го — радиус-вектор точки Р относительно произвольно выбираемой точки начала координат. Обратимся к лемме Лоренца в форме (2.39), полагая, что индекс 1 относится к искомому полю и порождающим его токам, а индекс 2 — к вспомогательному полю. На основании фильтрую- щего свойства дельта-функции имеем 388 17.9.
Теорема эквивалеитиоеги 1,Е(Р)=] ()„,Е,— ),оиН,)б)е+ ~ ([Е,Н] — [ЕН [)08. (17.107) Теперь учтем, что с)8=-1„с(5, где 1„— единичный вектор внешней нормали на поверхности 5. Воспользовавшись известным прави- лом перестановки членов в векторно-скалярном произведении, пе- репишем (17.!07) следуюшим образом: 1, Е СР) = ~ () „,ń— Л„„Н,) сП/ + ~ ([Н1„[ Е, — [1„Е] Н„) с15.
.)в,'... = [Й1„], .)в„,=-[1„Е[. (17.108) В этом случае формула (17.107) принимает окончательный вид 1 Е(Р) = ~ (Я„,Е,— ),„„Н ) сИ'+~ (1„,„,Е,— Я„, „Н ) с(5. (17 109) Найдя указанным способом поле Е(Р), можно вычислить магнитный вектор Н (Р), непосредственно воспользовавшись вторым уравнением Максвелла Формула (17.109) выражает принцип, получивсний название теоремы эквивалентности, Полученный результат приобретает особенно простой вид в том случае, когда источники внутри У отсутствуют: 1,Е (Р) = [ ()„,„,Е, — Л„,'„„Й„) с(5. (17.110) 3 Согласно данному выражению, действие источников поля, находящихся вне [л, эквивалентно некоторому распределению поверхностных электрических и магнитных токов на 5.
Равенство (17.110) часто используют для расчета апертурных антенн, задавая в том или ином виде распределение эквивалентных поверхностных токов на раскрыве. При этом обычно руководствуются интуитивными соображениями, как это принято в методе физической оптики. Заметим, что в рамках такого подхода не удается радикально снизить сложность решения поставленной задачи, поскольку так или иначе приходится находить векторы вспомогательного электромагнитного поля. Далее введем формально плотности эквивалентных поверхност- ных электрических и магнитных токов на 5 [ср.
с (6.3)]: 386 Глава 17. Интерференция и дифранция волн ЗАДАЧИ 17.1. Элементарный электрический излучатель расположен на высоте т) над бесконечной идеально проводящей плоскостью. Ось излучателя ориентирована по нормали к плоскости. Найдите диаграмму направленности данной излучающей системы, т. е, функцию, описывающую зависимость напряженности электрического поля от полярного угла 0 иа расстояниях, достаточно больших по сравнению с длиной волны.
У к а з а н и е: воспользуйтесь граничным условием на поверхности идеального проводника. 17.2. Каково должно быть расстояние е) (см. условие предыдущей задачи) для того, чтобы под углом 0=60' излучение полностью отсутствовало? 17.3. Покажите, что при малой высоте расположения излучателя над идеально проводящей плоскостью, т. е. при 5т)«1, максимум излучения будет иметь место под углом 0=45'. 17.4.
Найдите диаграмму направленности излучателя, представляющего собой отрезок прямолинейного проводника длиной 21, в котором существует переменный гармонический ток с известной частотой от. Амплитуда и фаза тока одинаковы во всех точках проводника. Вычислите ширину основного лепестка диаграммы направленности при следующих параметрах: 1'=250 МГц, 1=0.8 м.
Границами основного лепестка считайте те точки, в которых функция, описывающая диаграмму направленности, первый раз обрадается в нуль. 17.5. Решите задачу 17.4 при условии, что вдоль излучающего провсдника распространяется бегущая волна тока вида 1(г) = =1оехр( — 1нз) с известным значением модуля волнового вектора й. Под каким углом к оси будет наблюдаться максимум излучения, если волна тока распространяется вдоль проводника с фазовой скоростью оэ=!.7с? 17.5.
Решите задачу о дифракции Фраунгофера при падении плоской линейно поляризованной электромагнитной волны на бесконечный идеально проводящий экран с круглым отверстием радиуса а. Волна падает на экран по направлению нормали, длина волны Хо считается известной. У к а з а н и е: введите цилиндрическую систему координат с осью г, проходящей через центр отверстия вдоль нормали к экрану.
17.7. Апертура антенны СВЧ-диапазона имеет форму круга диаметром 1.2 м. Источник с частотой 9 ГГц создает на апертуре эквифазное распределение электромагнитного поля. Оцените расстояние, вплоть до которого ближнее поле антенны имеет вид «лучевой трубки». Глава аееемнщщатав КОМПЬЮТЕРНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ Материал предшествующих глав убеждает в том, что получить точное решение электродинамической задачи возможно лишь в том случае, когда исходная физическая проблема радикально упрощена за счет целого ряда идеализаций.
Это касается прежде всего выбора предельно простых геометрических форм тех пространственных областей, в которых существует электромагнитное поле. Приходится также пренебрегать неоднородностями материальных сред, не учитывать конечной проводимости стенок и т. д. На сегодняшний день единственный способ получить интересные в прикладном отношении данные об электродинамических системах заключается в использовании численных методов анализа, реализуемых на быстродействующих компьютерах. В последние годы вычислительные методы решения электродинамических задач прочно заняли одно из ведущих мест в арсенале разработчиков СВЧ-устройств.
Есть все основания ожидать, что тенденция расширения сферы их применения сохранится и в обозримом будушем. Вообще говоря, численные методы можно использовать для решения любой задачи, если мы располагаем соответствующей математической моделью. Так, компьютер может потребоваться и для расчета полей в волноводе со сложной формой сечения, и для решения дисперсиониых уравнений замедляющих структур, и для поиска 'лучевых траекторий в пространственно неоднородной среде, например в ионосфере Земли. Ясно, что численные подходы к столь разнородным проблемам будут совершенно различными.
Изза ограниченного объема книги сосредоточим внимание лишь на тех специфических для электродинамики задачах, которые связаны с численным решением уравнений Максвелла в замкнутых системах с идеально проводящими стенками. Более того, чтобы сделатъ изложение конкретным и содержательным, ограничимся анализом лишь одной системы — прямоугольного металлического волновода с неоднородным диэлектрическим заполнением.
Конечно, при этом не удастся представить развернутую картину современных методов вычислительной электродинамики. Однако, совершив этот предварительный экскурс, заинтересованный читатель сможет работать самостоятельно, используя многочисленные литературные источники, например [20, 2!]. Последний параграф главы, стоящий несколько особняком, посвящен использованию интегральных уравнений для 'численного решения электродинамических задач. Так как в стандартном вузовском курсе математики интегральным уравнениям уделено очень скромное место, здесь приводятся некоторые математические сведения для первоначального ознакомления с предметом.
13» Глава !8. Хомпыотерные методы решения задач электродинамики 388 18Л. Прямоугольный вопиовод с неоднородным заполнением Основным объектом, рассматриваемым в данной главе, является прямоугольный металлический волновод (рис. 18.1), который отличается от аналогичной линии передачи, изучавшейся в гл. 8, тем, что относительная диэлектрическая проницаемость заполняюющей среды е(х) является произвольной функцией поперечной координаты х. Если сторонние источники внутри волновода отсутствуют, то электромагнитный процесс внутри волновода должен подчиняться однородной системе урав- У пений Максвелла Ь го1 Н= !лиепе (х) Е, го1Е= — уыр Н, (18.1) с(1ч Е= О, а л б(н Н=-О. Рис.
18.1. Поперечное сече- Среди всевозможных мод, котоние прямоугольного волноводе с неоднородным ди рые могут существовать внутри тако- электрическим заполнением го волновода, будем интересоваться типом волны, напоминающим в основных чертах моду Нгз в прямоугольном волноводе с однородным заполнением. Будем считать, что электрический вектор поля имеет лишь пРоекЦию на ось д с комплексной амплитУДой Ги(х, з), которая к тому же не зависит от у. Таким образом, для интересующего нас поля Е„(х, х)= — Ее(х)ехр( — улх), (18.2) причем как продольное волновое число Л, так и функция Еи(х) заранее не известны. Чтобы получить дифференциальное уравнение относительно Еэ(х), вычислим ротор от обеих частей второй строки из (!8.1), а затем воспользуемся первой строкой: го1 го1 Е= умре го1 Н=ыезсрее (х) Е = (ззе (х) Е, где рз — коэффициент фазы плоской волны в вакууме.
Отсюда, приняв во внимание третью строку из (18.1), получаем дифференциальное уравнение 1!эЕ+Рзе(х) Е=О, (18.3) 18.г. Метод сеток 389 которое в интересующем нас случае приобретает вид дгй» дгЯе + — + рсе (х) Ее — — О. (ИА) дхг дег Подставив сюда функцию В„в форме (18.2), приходим к дифференциальному уравнению относительно действительной функции Е„(х) дгЕи г — +(рсг(х) — Ьг1 Е„=О, (18.5) которое следует дополнить очевидными граничными условиями Е„(О)=Е„(а) =О.
(18.6) Из теории дифференциальных уравнений известно, что полученная здесь краевая задача (в математике ее часто называют задачей Штурма — Лиувилля) имеет нетривиальные, т. е. не равные нулю тождественно, решения лишь в том случае, когда параметр й принадлежит счетному множеству (йь йг, ) так называемых собственных значений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
