Баскаков С.И. Электродинамика и распространение радиоволн (1992) (977984), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Пусть центральная точка антенны размещена в начале прямоугольной декартовой системы координат (х, у, г), а ось антенны параллельна оси г (см. рис. 13.3). Предположим, что возбужадющий генератор включен в разрыв проводника, как это условно показано на рис. 13.1. Если б — толщина зазора между двумя частями антенны, а 0 — комплексная амплитуда напряжения источника, то очевидно, что г-я проекция электрического вектора в области зазора Ее= ()/6, в то время как на идеально проводящей поверхности антенны эта проекция будет равна нулю. Сделаем одно упрощающее предположение: будем мысленно 1Д4 Метод интевральньтх уравнений 40! где дифференцирование под знаком интеграла проводится по координате з, отвечающей точке наблюдения на поверхности анти!иы. 11олучено интегральное уравнение фрсдгольма 1-го рода относительно неизвестного распределения тока вдоль антенны.
Впервые оно было выведено еще в 1897 г. английским физиком Паклингтоном и носит с тех пор его имя. Решить уравнение Поклингтона аналитически не удается, так '!тс приходится прибе!путь к численному анализу. Для этого отрезок (- !)2, 1/2) мысленно разбивают па )тт равных частей и считают, ч!о в пределах каждой части сои!ветх!вующий ток из набора !ь 1ь,)н неизменен. Далее по описанной выше методике получают и решают систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных токов. Найдя распределение тока вдоль антенны, удается проанализировать такие важные технические характеристики, как диаграмма направленности антенны и ее комплексное входное сопротивление.
Уравнение (18.28) без труда обобщается на случай, когда происходит не возбуждение проволочной антенны сосредоточенным источником, а рассеяние падающей плоской волны прямолинейным отрезком проводника. Для этого достаточно потребовать, чтобы функция Е, из левой части уравнения в сумме с соответствующей проекцией падающего поля обращалась в нуль. Б 30-х и 40-х годах интегральное уравнение Поклингтоиа было подробно исследовано многими учеными, среди которых можно особо назвать Э. Халлека (Швеция) и Р.
Кинга (США). Некоторые результаты расчетов распределения тока вдоль тонких антенн содержатся в (15). Интегральное уравнение для задачи рассеяния. Попытаемся применить метод интегральных ур. впеиий к строг !му решению задачи о дифракциь гармонической электр вмагиигной волны на хорошо проводящем теле (рассеивателе) произвольной формы. С такой проблемок приходится часто сталкиваться при расчете рассеяния радиоволн радиолокационными целями.
Как известно, электромагнитная волна, падая на проводящее тело, создает на его поверхности электрический ток. Этот ток, и свою очередь, выступает источником вторичного (рассеянного) поля, которое складывается в пространстве с первичным полем. Распределение токов на поверхности рассеивателя заранее не известно, однако можно утверждать, что в любом случае касательная составляющая результирующего электрического вектора, равного сумме электрических векторов первичного и вторичного полей, должна быть ранна нулю в каждой точке поверхности.
Именно это соображение служит основой для вывода интегрального Глаза !8 !Сомньютерные методы решения задач элентродинамиси 402 уравнения относительно поверхностной плотности тока. Ранее в гл. 13 было показано, что электрический векторный потенциал поля в вакууме, возбуждаемого системой сторонних электрических токов с плотностью д„, подчиняется неоднородному уравнению Гельмгольца р'А, + ()'А', = — рэА,.
(18.29) При этом следует заметить, что ток в правой части этого уравнения совсем пе обязан быть именно сторонним током, а может наводиться в проводящем теле самим электромагнитным процессом„ т. е, быть «собственным» током. Будем считать, что имеется падающее (первичное) поле, описываемое векторными функциями Ееед Неля и, кроме того, рассеянное (вторичное) поле с векторами Ерее Нрае. Мы знаем, что частное решение векторного уравнения (18.29) находится простым интегрированием, если предварительно определена функция Грина Й(г, г,) соответствующего скалярного уравнения.
Решение вида (13.28) содержит интеграл по объему )т, занятому токами. Если рассеивающее тело является идеальным проводником, то вместо объемной плотности токов следует оперировать плотностью поверхностного электрического тока Яеье „так что электрический векторный потенциал рассеянного поля в любой точке пространства с радиусом-вектором г вычисляется по формуле Ар„,(г) = ~3„... (г,)0(г,г,) с15, (18.30) где, как и ранее, го — радиус-вектор точки на поверхности рассеи. вателя, в которой сосредоточен элемент наведенного тока.
Данный потенциал нужен нам не сам по себе, а как средство выразить через него магнитный вектор рассеянного поля: ! . ! г Нрье — го1 А„„, = — ~ го! (),юем ( г,) 0 (г, г„)) б 5. (18.3Ц Теперь воспользуемся известной формулой векторного анализа„ приведенной в Приложении Б, согласно которой ротор от произведения векторной функции на скалярную вычисляют так: го! (е„„ь (ге) 0 (г, г,)) =0(г, г) го1 А„„,(ге)— — ~Л'„„м(го) агасси 0 (г, га)з! ° (18.32) Заметим при этом, что операции го1 и дгаб, входящие в (18.32), должны находиться путем дифференцирования соответствующих И4.
Метод интегральнвгх уравнений 403 аргументов по координатам точки наблюдения. В то же самое время функция 3„„, зависит лишь от положения точки с радиусом- вектором го, в которой располагается вторичный источник поля. Г1о этой причине имеем го1Апов е(ге) = — О, и поэтому в соответствии с (18.31) 1 Г Нрае ~ [)еов.е(10) эта ~ (1 1О)] (18.33) Ро Теперь прибавим к обеим частям полученного равенства векторное поле Не.„, которое считается заданным.
В левой части при этом будет фигурировать суммарное магнитное поле Н,=Не,х+ + Н„е, которое на идеально проводящей поверхности рассеивателя однозначно связано с плотностью поверхностного электрического тока формулой (6.3): 3е,„, =[1„Н,], где 1 — единичный вектор внешней нормали к поверхности. Таким образом, выполнив векторное перемножение обеих частей преобразованного равенства на 1,, получаем окончательно 1 Г. Л„,„,=[!„Не,е] — —,) 1„[Л„„,(ге) ягас(0(г, г,) ] б5. (18.34) Ро Данное равенство является искомым интегральным уравнением относительно плотности электрического тока, наведенного на поверхности рассеивателя падающей электромагнитной волной. В отличие от уравнения Поклингтона оно является интегральным уравнением Фредгольма 2-го рода, причем уже не одномерным, а двумерным.
Если его решение тем или иным способом получено, мы без принципиальных затруднений простым интегрированием и элементарными дифференциальными операциями находим расее. явное электромагнитное поле во всех точках пространства. Полезно отметить, что в соответствии с (18.34) связь между магнитным вектором падающего поля и плотностью навсдснного тока оказывается в общем случае нелокальной. Тем не менее, если длина волны падающего излучения значительно меньше радиусов кривизны рассеивающей поверхности, из-за быстро осциллирующего характера функции С(г, ге) в подынтегральном выражении происходит частичная компенсация влияния достаточно удаленных участков токонесущей поверхности.
Как следствие, связь между поверхностным током и магнитным вектором падающего поля становится приближенно локальной. Именно это обстоятельство дает возможность использовать принцип физической оптики при исследовании явлений дифракции электромагнитных волн на проводящих телах, достаточно больших по сравнению с длиной волны. 404 Глава !8. Комяэюгеряые методы решения эадая электродияалшяи 1зеализация численного алгоритма решения интегрального уравнения (18.34) может оказаться весьма трудоемкой.
Это связано прежде всего с высоким порядом той системы линейных алгебраических уравнений, которая приближенно заменяет исходное ингегральное уравнение. реально удается проводить расчеты лишь для тел с размерами не более нескольких длин волн. Существенного упрощения можно достичь в тех случаях, когда рассеивающий объект представляет собой тело вращения [38). Интегральное уравнение В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
