Баскаков С.И. Электродинамика и распространение радиоволн (1992) (977984), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Круглый объемный резонатор с воздушным заполнением имеет диаметр 5 см и длину 7.5 см. Определите резонансные длины волн для мод Ею~в и Еоп в данном резонаторе. Глава ГЗ, Неоднородные уравнения Маеквелла 2оа 12.5. Круглый объемный резонатор имеет идеально проводящие стенки и воздушное заполнение. Измерения показали, что колебание типа Ев,в имеет резонансную частоту 3.5 ГГц, а колебание типа Н1н — резонансную частоту 5.8 ГГц.
Определите радиус резонатора и его длину. 12.6. Вычислите добротность круглого объемного резонатора, выполненного из меди, имеющего радиус 3 см, длину 4 см н работающего на типе колебаний Ев1в 12.7. Имеется кубический объемный резонатор с длиной ребра а. В резонаторе возбуждена мода Н~вь Докажите, что добротность такой колебательной системы О=а/(2а), где е1 — толщина поверхностного слоя в материале стенок на резонансной частоте.
12.8. Определите добротность коаксиального объемного резонатора, работающего на основной Т-моде. Радиус внешнего проводника Ь=20 мм, радиус внутреннего проводника а=10 мм, длина резонатора 1=80 мм. Стенки резонатора выполнены из латуни. 12.9. Круглый объемный резонатор заполнен воздухом и работает на типе колебаний Ее~в. Резонатор имеет диаметр 1О см и длину 5 см. Известно, что в резонаторе запасена энергия 0.001 Дж. Вычислите амплитуду напряженности электрического поля на оси резонатора. Глава тринадцатая НЕОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ИЗЛУЧАТЕЛИ До сих пор рассматривались так называемые однородные задачи электродинамики, в рамках которых источники электромагнитного поля предполагались достаточно удаленными от той пространственной области, в которой требуется найти векторы электромагнитного поля.
Однако на практике, например при расчете антенн, нужно найти непосредственную связь сторонних электрических токов, являющихся источниками электромагнитного поля, с векторами Е и Н во всех точках пространства. Подобные же задачи приходится решать, исследуя возбуждение волноводов или объемных резонаторов с помощью штыря, щели, модулированного во времени электронного потока и т. д. 13.1. Постановка задачи С математической точки зрения решение всех перечисленных задач связано с неоднородной системой уравнений Максвелла, которая записывается следующим образом: тд2. Векторный и скалярный потенциалы 257 го1 Н вЂ” уыа,Е=1„, го1 Е+ гыр,Н= — О, г(1т В =О, б1т6=0. Для простоты считается, что во всех точках пространства объемная плотность электрического заряда р равна нулю.
В правой части первого уравнения из системы (13.1) фигурирует плотность стороннего электрического тока 1„, которая является заданной функцией пространственных координат. В этом смысле имеется прямая аналогия между неоднородной задачей теории электромагнитного поля и гораздо более простой задачей о токах и яапряжениях в электрической цепи, которая возбуждается известными сторонними источниками ЭДС. При записи системы (13.1) предполагается, что мгновенные значения физических величин изменяются во времени по гармоническому закону с постоянной угловой частотой в. Регпив такую базовую задачу, можно, по крайней мере теоретически, исследовать возбуждение однородного неограниченного пространства системой электрических токов со сложным спектральным составом, воспользовавшись методом преобразования Фурье (2).
13.2. Векторный и скалярный потенциалы электромагнитного попа Непосредственно решить систему уравнений (13.1), как правило, весьма трудно хотя бы потому, что нужно определить все шесть неизвестных проекций векторов Е и Н. Поэтому целесообразно попытаться найти некоторые вспомогательные функции, однозначно связанные с векторами напряженности электрического и магнитного полей и обладающие тем свойством, что переход к ним позволяет упростить процедуру решения неоднородных уравнений Максвелла. Такие вспомогательные функции в электродинамике называют потенциалалги электромагнитного поля. Отметим прежде всего, что третьему уравнению из системы (13.1) автоматически удовлетворяет векторное поле В, определяемое по формуле (13.2) В=го( А,. Здесь А,— некоторая векторная функция пространственных координат, которую называют электрическим векторным гготенг(иолом.
я — гзтч 258 Глава 18. Неоднородные уравнения Максвелла (13.4) Попытаемся связать электрический векторный потенциал с напряженностью электрического поля. Для этого подставим вектор Н из формулы (13.3) во второе уравнение из системы (13.!): го1 Е+1лвго1 А,=О, (13.5) т. е. го1 (Е+1лвА,)=0.
(13.6) В силу тождества (13.4) уравнение (13.6) будет выполняться всегда, если Е+1ыА,= — ягаб р,. Здесь у,— некоторая функция координат, называемая скалярным электрическим потенциалом. Знак правой части последней формулы обусловлен тем, что, как указывалось в гл. 10, для не зависящего от времени электростатического поля должно быть справедливо равенство Е= — ягас1 1),. При этом сохраняется традиционное направление стрелок на силовых линиях электрического поля, при котором истоками поля служат положительные заряды.
Итак, мы нашли способ выразить напряженности электрического и магнитного полей через векторный и скалярный электрические потенциалы: Н= — го1 А,. 1 Ре Е= — штабу,— 1ыА„ (13.7) Термин обусловлен тем, что эта функция естественно возникает в задачах о возбуждении электромагнитного поля сторонними электрическими токами. Таким же образом можно выразить векторное поле напряженности магнитного поля: Н = — го1 А,. ! (13.3) Ра Соотношения (13.2) и (13.3) весьма неопределенны в том смысле, что единственное условие, налагаемое на функцию А, (г), — это дифференцируемость, обеспечивающая существование ротора этого векторного поля.
Более того, приведенные равенства сохраняют силу, если к полю А, добавить еще одно векторное поле Г=дгаб и(г), где и(г) — произвольная гладкая функция радиу са-вектора. Это свойство непосредственно вытекает из тождества, доказываемого в векторном анализе, го1 ягаб и =О. 13 3. Калибровка потенциалов При этом достигнуто некоторое упрощение исходной задачи— вместо двух векторных функций ищется одна векторная и одна скалярная. 13.3.
Калибровка потенциалов. Неоднородное уравнение Гельмгольца Подставим соотношения (13.7) в первое уравнение Максвелла из системы (1ЗЛ): — гО1 гО1 А,+1' ээдтаб Уэ+/ыээ1шАэ — — 3с . (13.8) гэ Раскрывая векторную операцию го1 го1, отсюда получаем йгаб(81тАэ+l~~э1ээвэ) Р Аэ+У Аэ=1ээгстз (13.9) где у=)со)т е.1э, — комплексный коэффициент распространения однородной плоской волны в неограниченном пространстве. До сих пор никаких ограничений на функции А, и ср, не накладывалось. Потребуем теперь, чтобы оба эти потенциала совместно удовлетворяли соотношению у'А, — у'А,= — р,з„. (13.11) Полученное равенство представляет собой неоднородное уравнение Гельмгольца относительно векторного электрического потенциала, Правой частью этого уравнения служит известная функция, которая описывает распределение в пространстве плотности стороннего электрического тока.
Проведя операцию калибровки, удается выразить комплексные амплитуды обоих векторов напряженности электромагнитного поля через единственную функцию †электрическ векторный потенциал. Действительно, воспользовавшись равенством (13.10), можно записать формулы перехода (13.7) следующим образом: г)1ч Аэ+1'сээ,р,у,=О. (13.10) Формулу (13.10) называют соотношением калибровки потенциалов или условием Лоренца по имени голландского физика Г. Лоренца (1853 — 1928), внесшего большой вклад в развитие идей Максвелла.
Поскольку функции А, и ср, выбираются в значительной степени произвольно, калибровочное соотношение (13.10) может быть удовлетворено всегда. Используя условие Лоренца, можно существенно упростить уравнение (13.9) и записать его так: лбо Глава !3. Неоднородные уравнения Максвелла Е= (огас1 б1ч А,— у'А,), /шааиа Н= — го1А,.
1 1аа (13. 12) Итак, если решение неоднородного уравнения Гельмгольца (13.11) тем или иным образом получено, то окончательное нахождение векторов электромагнитного поля, возбужденного заданной системой сторонних источников, сводится к простым дифференциальным операциям. 13.4. Решение неоднородного уравнения Гельмгольца. Функция Грина Приступая к поиску строгого решения задачи о возбуждении неограниченного однородного пространства заданной системой сторонних источников, ограничимся наиболее важным частным случаем, когда потери в среде распространения отсутствуют. При этом комплексный коэффициент распространения т=)р и уравнение (13.11) приобретает вид 7 Аа+Р'Аа= 1аагат (13.13) Это неоднородное векторное дифференциальное уравнение естественным образом распадается на три независимых уравнении относительно проекций искомой функции А,(х, у, з) на оси декартовой системы координат: 'у~А + РА = 1аа"Г» УгА е+РгА е 1а л' в (13.14) относительно некоторой неизвестной функции 0(г) при заданной правой части г" (г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
