Баскаков С.И. Электродинамика и распространение радиоволн (1992) (977984), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Оба1ая задача о собственных колебаниях 239 сы типов волн в волноводе могут быть равны нулю, возникает вопрос о том, существуют ли резонаторные моды с индексом р= =О. Если р=О, то поле в резонаторе не меняется вдоль оси г. Обратимся к волноводной волне типа Е „. Здесь силовые линии электрического вектора в продольном разрезе имеют конфигурацию, показанную на рис. 12.6, а для случая и= 1. Данный рисунок отвечает случаю, когда рассматриваемый тип волны является распространяющимся, т. е. Хо(Х,р. Если же значение Хо стремится к Хвв, то длина волны в волноводе стремится к бесконечности и а) б) Рис.
12.6. К вопросу о сувтествовании колебаний типа Еы ю силовые линии вектора напряженности электрического поля приобретают вид «нитей», параллельных оси г (рис. 12.6, б). В пределе при ),=Х.с электрический вектор имеет лишь г-ю составляющую и граничные условия на двух идеально проводящих торцевых стенках резонатора выполняются автоматически независимо от расстояния 1 между ними. Таким образом, моды типа Е „, в прямоугольном объемном резонаторе возможны. Обратимся теперь к колебаниям Н-типа. Здесь исходная волна типа Н „ в волноводе, по определению, имеет электрические векторы, лежащие лишь в поперечной плоскости. Если все составляющие векторов поля не будут меняться вдоль оси г, как это должно быть в случае резонаторной моды типа Н о, то поле в любой точке резонатора должно обратиться в нуль, поскольку граничные условия на стенках с координатами г=О и г=1 выполняться не могут.
Таким образом, и прямоугольном объемном резонаторе колебания типа Н „ю физически не существуют. Итак, классификация типов колебаний в прямоугольном объемном резонаторе включает в себя следующие этапы: Ф одна из осей резонатора принимается за продольную ось регулярного прямоугольного волновода; Ф устанавливается, какой тип волны, Е „или Н „существует в таком волноводе; Ф определяется значение индекса р — число стоячих полуволн, которые укладываются между торцевыми стенками. Следует заметить, что такой принцип классификации в значительной степени условен, так как связан с произвольным выбором 240 Глава 72.
Колебательные системы СВЧ. Объемные резонаторы продольной оси регулярного прямоугольного'волновода. Чтобы уяснить это, обратимся к рис. 12.7, а, на котором изображена уже знакомая картина силовых линий векторов электромагнитного поля для колебания типа Ншг. Если теперь резонатор повернуть в пространстве таким образом, чтобы ребро с размером 1 было ориентировано вдоль осн у (рис. 12.7, б), то этот же самый электромагнитный процесс должен быть назван колебанием типа Е„,.
Легко проверить, что резонансные длины волн для обоих названных типов колебаний одинаковы. а) Рис. 12.7. К вопросу об условном характере классификапии типов колебаний в прпмоугольном объемном резонаторе Понятие основного типа колебаний. На практике обычно стремятся к тому, чтобы при заданной резонансной частоте геометрические размеры колебательной системы были минимальными. Этого удается достичь возбудив в резонаторе колебание основного (низшего) типа.
Так принято называть моду с наибольшей резонансной длиной волны при фиксированных размерах резонансной полости. Индексы т, п, р для основного типа колебаний, очевидно, должны подбираться так, чтобы предельно уменьшить знаменатель в формуле (12.7). Ясно, что один из индексов при этом должен быть равен нулю, а два оставшихся — единице. Нулевой индекс соответствует той декартовой оси, вдоль которой ориентировано ребро с наименьшей длиной. Пример 12.3. Прямоугольный объемный резонатор размещен в декартовой системе координат так, как показано на рис. 12.4. Резонатор имеет размеры: а=40 мм, Ь=25 мм, 1=15 мм. Опреде- 12.З.
Общая задача о собственных колебаниях лить, какая мода является основной, и вычислить соответствующую резонансную длину волны. В соответствии со сказанным индекс р=О должен соответствовать самому короткому ребру длиной 15 мм. Поэтому основным будет колебание типа Ено, для которого )ор„— — 2Д''(1!40)'+(1!25)' =42.4 мм. дзЕ дзЕ дзЕ + + +Роń— О.
(12.20) Проведенное ранее исследование наводит на мысль о том, что среди всевозможных решений таких уравнений должны быть особо выделены функции вида трехмерных стоячих волн Е з1п ( тая ) 3!и( ан ) з1п ( Р~ ) (12.21) со всевозможными комбинациями трех гармонических сомножителей. Прямая подстановка выражения (12.21) в уравнение (12.20) приводит к следующему выводу: уравнение Гельмгольца для резонатора имеет решение не при любом значении коэффициента фазы ро, а лишь в том случае, когда этот параметр принадлежит дискретной совокупности, определяемой выражением (12.22) Следует отметить, что в объемных резонаторах могут существовать вырожденные моды, у которых резонансные длины волн совпадают, несмотря на то что структуры поля совершенно различны.
Примером могут служить колебания типов Езм и Н~зз в резонаторе кубической формы. Структура электромагнитного поля в прямоугольном резонаторе. Строгий подход к проблеме собственных колебаний электромагнитного поля в замкнутой полости прямоугольной формы с идеально проводящими стенками основан на поиске комплекснозначной функции Е(х, у, г), которая удовлетворяет однородному уравнению Гельмгольца узЕ+ озЕ=-0 (12.19) во всех внутренних точках резонатора.
Это векторное уравнение есть сокращенная форма записи трех скалярных уравнений относительно декартовых проекций Е„ (символом а обозначены х, у или г): Глава 12. Колебательные системы СВЧ. Объемные резонаторы 242 где пт, п, р — положительные целые числа, не равные нулю одновременно. Отсюда естественным образом вытекает полученное ранее соотношение для расчета резонансных длин волн вида (12.17).
Теперь учтем, что на идеально проводящих стенках резонатора касательные составляющие электрического вектора должны обратиться в нуль. В развернутой форме это требование означает, что Е„=О при у=О, у=Ь, я=О, я=1; Е„=О при х=О, х=а, а=О, а=1; (12.23) Е,=О при х=О, х=а, у=О, у=Ь, Равенства (12.23) позволяют конкретизировать допустимые реше- ния и записать их так: Е„=А сов~ х) з!п ~ " у)ейп ( Е„=В з!п~ х) сов~ у) з!п ~ Р з), Е,=С з!п~ х) з!п~ "' у)соз ( х), (12.24) где А, В, С вЂ” не известные пока коэффициенты Далее следует принять во внимание то, что проекции электрического вектора внутри резонатора обязаны не только удовлетворять уравнению Гельмгольца (!2.20), но и соответствовать векторному полю без источников, для которого (12.25) дх ду дг Подставив выражения (12.24) в формулу (12,25), приходим к выводу о том, что между амплитудными коэффициентами должна существовать линейная связь А — + — +С вЂ” =О.
ы а р а ь (12.26) Отсюда получаем еще одно уравнение связи  — — А — =О, а ь (12.27) Будем рассматривать поле колебания типа Е в, для которого Н,=О или в соответствии со вторым уравнением Максвелла дЕе ддл — — =О. дх ду /2Х Круглый объемный резонатор 2243 Решая систему алгебраических уравнений (12.26) и (12.27) отно- сительно неизвестных А и В, получаем С а! 1(т/а)а + (и/Ь)г) (12.28) В= — С— И [(т/а)з + (и/Ь)з) Итак, комплексные амплитуды проекций вектора напряженности электрического поля для колебания типа Е „в прямоугольном объемном резонаторе имеют вид (12.29) где С вЂ” произвольный амплитудный коэффициент.
Комплексные амплитуды декартовых проекций магнитного вектора и ыоезео . / та '1, /ии ~ /ра Н„=- /С— з)п ~ - х) соз1 — - // ~ соз 11 — я), (12.30) — — — ~ — х) з(п~ — д) ~/ ), /т', =О. Проекции векторов электромагнитного поля для резонаторных мод типа Нт е находят аналогичным способом.
$2А. Круглый объемный резонатор Рассмотрим цилиндрический объем, образованный отрезком круглой металлической трубы радиусом а; отрезок имеет длину 1 и ограничен с обеих сторон проводящими торцевыми стенками (рис. 12.8). Такая система представляет собой круглый объемный резонатор. Поставим задачу найти полную совокупность резонансных частот данной колебательной системы. Внутри регулярного круглого волновода могут распространяться волны типа Е и Н „. Длина волны в волноводе Х, связана с Глава г2.
Колебателзные системы СВЧ. Объемные резонаторы 244 1 Лерез = р ( —;::) ( —:,)' (12.31) колебания типа Н,р ! Лерез р'(-: —: —:-)'( —;)' (12.32) Ответ на вопрос о возможности существования мод с нулевым значением индекса р таков же, как и в случае прямоугольного объсьшого резонатора: типы колебаний Е е возможны, а типов Н е ие существует. Основной тип колебаний. Из формул (12.31) и (12.32) видно, что резонансная длина волны тем больше, чем меньше корень тын ( ) и индекс р. Поэтому основной (низшей) модой в круглом объемном резонаторе может оказаться либо тип коле баний Й1и (1г= 1.841, р= 1), либо тип Еою (те1=2.405, р=О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
