Баскаков С.И. Электродинамика и распространение радиоволн (1992) (977984), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Дело в том, что тороидальный объемный резонатор является прямым аналогом обычного колебательного контура, в котором электрическое и магнитное поля четко локализованы в пространстве. С повышением резонансной частоты приходится уменьшать размеры тороидальной полости, а это неизбежно сопровождается уменьшением запасаемой энергии и сокращением добротности. Принципиально другой, более многообещающий путь создания колебательных систем СВЧ состоит в использовании резонансных свойств отрезков распределенных линий передачи с малыми потерями. Рассмотрим полубесконечную двухпроводную линию передачи, короткозамкнутую на конце (рис.
12.2), в которой тем или иным способом возбуждены гармонические колебания, Как известно 13~, в такой линии устанавливается стоячая волна, представляющая собой сумму падающей и отраженной волн. Комплексная ампли- ййф~ 12.!. эволюция колеаательнмх систем 2ЗЗ туда напряжения стоячей волны О должна удовлетворять гранич- ному условию в точке короткого замыкания: (у=и„,„+и.„=О пр =О. (12.1) Если ).е — длина волны в линии, то комплексная амплитуда на- пряжения зависит от продольной координаты з следующим обра- зом: а) У (я) = — (У з(п (2гы)Ла).
(12.2) Отсюда видно, что граничное условие (12.1) выполняется в множестве точек оси г, удовлетворяющих соотношению у' ~э ~ з = Р)е1'2, (12.3) )т г где Р= — 1, 2, 3, ... — положи- с тельное целое число. Таким образом, если взять замкнутый с обоих концов отрезок линии длиной 1=Р).а/2, 4 то получим электромагнитную Рнс. !2.3. Колебательная система, об- систему, колебания в которой разоаанная отрезком линии передачи прн Отсу-твин потерь могут су- (а) н ее эквивалентная схема (б): ! — отрезок линии, ззмкнутмй с обеих сто- 1ЦЕСТВОВЗТЬ НЕОГРаннчепнО Дол- роо; У вЂ” элемент иниУктивной евкзи го без какого-либо воздействия со стороны внешних источников энергии.
В курсе теории цепей показано, что частотная характеристика такой системы вблизи резонансной частоты в точности соответствует частотной характе- ристике обычного колебательного контура с сосредоточенными эле- ментами, Эскиз конструкции распределенной колебательной систе- мы и ее эквивалентная схема представлены на рис. 12.3. Из формулы (12.3) следует, что замкнутый с двух сторон от- резок линии передачи в отличие от обычного колебательного кон- тура имеет бесконечное множество резонансных длин волн, опре- деляемых по формуле )'аоез = 21/Р (12.4) Физически такая множественность резонансов соответствует тому, что вдоль линии могут укладываться одна, две, три и т.
д. стоячие полуволны. Пользуясь описанным принципом, можно создавать объемные резонаторы в виде отрезков прямоугольного или круглого метал- лического волновода с короткозамыкающими стенками с обоих концов. Явления в таких резонаторах несколько сложнее, чем в короткозамкнутом отрезке двухпроводной линии, поскольку стоя- чие волны могут устанавливаться по всем трем координатным осям. 234 Глава 12. Колебательные системы СВЧ. Объелгные резонаторы 42.2. Прямоугольный объемный резонатор Здесь на простейшем примере будет рассмотрен метод, позволяющий рассчитать резонансную длину волны и структуру электромагнитного поля в объемном резонаторе, образованном отрезком прямоугольного волновода. Рассмотрим отрезок прямоугольного волновода сечением аХ(з, ограниченный двумя металлическими торцевыми поверхностями, которые располагаются в сечениях 2=0 и 2=1 (рис.
12.4). Подобная замкнутая металлическая полость представляет собой прямоугольный объемный резонатор. Исследуем один из частных видов собственных колебаний данного резонатора, руководствуясь следующими соображениями. Пусть по неограниченно протяРнс. 12.4. Прямоугольный объемный женному прямоугольному волноводу распространяется основная волна типа Ню, которую условно будем называть падающей. Эта волна движется в сторону возрастания координаты з и характеризуется единственной у-й составляющей вектора напряженности электрического поля с комплексной амплитудой Е „д=Е,„з)п (лх/а) е ' (12.5) Наличие торцевых плоскостей приводит к возникновению отраженной волны, для которой Е„„,=АЕ,„з(п (лх/а) е' (12.6) где А — ие известный пока амплитудный коэффициент.
Если учесть, что при 2=0 суммарное электрическое поле с проекцией Ее=Ее аад + Ее ото ДОлжнО обРатитьсЯ в нУль из-за гРаничпого условия на идеальном проводнике, то, как нетрудно видеть, А= — 1, Отсюда, используя формулу Эйлера для суммы двух экспоненциальных функций с мнимыми показателями, получим Ее —— - — /2Еыдд 51п (лх/сг) з1пйя. (12.7) Согласно данному равенству, рассматриваемый электромагнитный процесс является двумерной стоячей волной, которая существует как по оси х, так и по оси з; вдоль координаты у напряженность электрического поля постоянна.
Однако длина стоячей волны по оси з пока не определена, поскольку никаких требований по отношению к продольному волновому числу Ь пока не предъявлено. !2.2. Прямоугольный объемный рееонагор 2зо Эти требования естественным образом вытекают из граничных ус- ловий на другой торцевой плоскости: Е„=О при я=1, (12.8) откуда И =рл, (12.9) где по-прежнему р — любое целое положительное число, исключая нуль. Значение продольного волнового числа, удовлетворяющее равенству (12.9), будем называть резонансным знанениел ля„— — ря/1. (12.10) Отсюда легко перейти к резонансному значению длины волны в волноводе Х„„=2я//г „=21//г, (12.11) а затем, воспользовавшись дисперснонным соотношением для вол- ны типа Н1а в прямоугольном волноводе 1/Л =1/Л' — 1Д4и ), вычислить резонансное значение длины волны генератора: г и., - 2д~ (т/Н гаа ге Г.
(12.12) Пример 12.1. Определить, какова должна быть длина 1 закороченного с обоих концов отрезка прямоугольного волновода сечением 23К10 мм, если известно, что при резонансной длине волны Хо„.— — 3.4 см вдоль его оси укладываются три стоячие полу- волны, т. е.
р=3. Равенство (12.12) можно разрешить относительно 1 и полу- чить Подведем некоторые предварительные итоги. ° Для прямоугольной полости с идеально проводящими стенками решения уравнения Гельмгольца вида (12.7) существуют не при любом значении длины волны возбуждающего источника, а лишь при таких длинах волн, которые удовлетворяют резонансному условию (12.12). 1 Р/1/' (4//,1„, ) (1/иг) Подставляя сюда исходные числовые данные, находим 1=7.57 см. 23б Глава /2. Калебателоные системы ОВЧ. Объемные резонаторы ° Каждому допустимому значению целочисленного индекса р соответствуют своя резонансная длина волны и своя характерная структура пространственного распределения векторов электромагнитного поля, представляющая собой тип колебаний в прямоугольном объемном резонаторе.
В физике типы колебаний в резонаторах, как, впрочем, и типы волн в волноводах часто называют модами соответствующих распределенных систем (от латин. гпобцз— образ). ° Типы колебаний в прямоугольном объемном резонаторе можно классифицировать. Далее этот вопрос будет подробно изучен в 3 12.3. Здесь укажем лишь, что рассмотренная совокупность мод может быть обозначена как Н~оа. Такая символика показывает, что поле в объемном резонаторе порождаетсяволноводнойволной типа Ннь а вдоль оси з укладывается р стоячих полуволн. Структура электромагнитного поля.
Удобнее всего проследить структуру поля в резонаторе на примере простейшей моды Н~оь Здесь, очевидно, пространственное распределение напряженности электрического поля описывается формулой Е„=Е яп (лл/а) яп (ла//), (12.13) где Ео — произвольный амплитудный множитель. Магнитное поле в резонаторе находим непосредственно на основании второго уравнения Максвелла го1 Е= — /вронъ из которого после подстановки (12.13) вытекают формулы для всех трех проекций: Н„= ~ '" яп (лте/а) соз (лз//), Ро/ (12.
14) На =О, Н = соз (лх/и) 51п (ля/1). /Вол аЬоа Необходимо обратить внимание на следующее важное обстоятельство: комплексные амплитуды обеих проекций магнитного вектора содержат мнимые единицы, в то время как комплексная амплитуда единственной отличной от нуля проекции электрического вектора чисто действительна. Это говорит о том, что между мгновенными значениями напряженностей электрического и магнитного полей в резонаторе существует сдвиг фаз по времени на угол 90'. Поэтому в объемном резонаторе, как и в любой другой электромагнитной колебательной системе, происходит непрерывный обмен энергией между электрическим и магнитным полями.
Дваж- 12.8. Общая ладана о собственных колебаниях 237 ды за период собственных колебаний .вся энергия электрического поля переходит в энергию магнитного поля и наоборот. Сказанное иллюстрируется мгновенными картинами распределения силовых линий электромагнитного поля в объемном резонаторе с типом колебаний Н„, (рнс. 12.5). Картины построены для различных моментов времени в пределах половины периода. с=а с=гул " 1=усе к Х х 1= утув с=та г =вг/в Рис. !2.5. Структура электромагнитного поля для колебания типа Ыыа в последовательные моменты времени Отметим также, что среднее значение вектора Пойнтинга, образованного полями вида 112.13) и (12.14), тождественно равно нулю. Отсутствие усредненного потока энергии через идеальный резонатор говорит об автономном, не зависящем от параметров внешних устройств характере собственных колебаний в такой электро- динамической системе.
На языке теории электрических цепей энергию, запасенную в резонаторе, можно назвать реактивной энергией. $2.3. Общая задача о собственных колебаниях в прямоугольном объемном резонаторе. Классификация типов колебаний Рассмотрим всю совокупность собственных колебаний различных типов в замкнутой полости прямоугольной формы с идеально проводящими стенками. Для этого вновь обратимся к рис. 12 4 и положим, что ось я является осью стоячей волны, а в попереч- Глава !2. Колебателеные системы СВЧ. Объемные резонаторы 238 ной плоскости ХОУ устанавливается распределение поля, отвечающее волне типа Е „прямоугольного волновода. Как уже гое ворилось, резонансное значение длины волны в волноводе зависит от пелочисленного параметра р — числа стоячих полуволн вдоль продольной оси резонатора; Л,р„ — — 21/р.
С другой стороны, ВЕЛИЧИНЫ Ле рез И Лерез СВИЗИНЫ ОбщИМ дИСПЕрСИОННЫМ СООТНОШЕ- нием 1/Лз ,= 1/Лт „ + 1/Л„' . (12.15) Поскольку волна типа Е, имеет критическую длину Л„р=2/)/ (тп/а)'+(и/Ь)', (12.16) из равенства (12.15) получаем формулу для расчета резонансной длины волны колебания типа Е в прямоугольном объемном резонаторе 2 Ло...— (12.17) )т(оз/а)т + (а/б)а+ Г р/Ь)т В практических расчетах часто используют также соответствующую резонансную частоту '-=, '. =Ы(-:)'.(-:)' (-;) (12.18) Если допустить, что по прямоугольному волноводу распространяется волна типа Н „, то аналогичным образом п замкнутой полости возникают колебания типа Н „,.
Совершенно очевидно, что их резонансные длины волн и резонансные частоты определяются выражениями (12.17) и (12.18). Пример 12.2. Прямоугольный объемный резонатор заполнен воздухом и имеет следующие размеры: а=36 мм, 5=22 мм, 1= =65 мм. Определить резонансную длину волны для колебания типа Енз. В данном случае пг=1, и=1, р=2. Подставив эти числа вместе с заданными размерами ребер в формулу (12.17), получаем 2 Лорел 32.5 мм. )т (1/86)о + (1/22)т + (2/65)т Следует отметить, что в выражения (12.17) и (12.18) размеры а, Ь и 1, относящиеся к осям х, у и а соответственно, входят совершенно равноправно. Поскольку известно, что некоторые индек- 123.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
