Баскаков С.И. Электродинамика и распространение радиоволн (1992) (977984), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Подставив это выражение в (12.40), получим 'С Ыргз~ ззп// срмот (12.41) Следует отметить, что данная формула относится не только к моменту времени 1=0, но и к любому моменту времени. Конкретизируем равенство (12.41) для наиболее распространенного частного случая, когда объемный резонатор заполнен воздухом, а единственным источником потерь является неидеальность проводимости металлических стенок. Энергию, запасенную в резонаторе, можно найти проинтегрировав по объему квадраты амплитудных значений электрического или магнитного векторов: Ю' = — ' ~ Еаб(Г= Рэ ~ Н'ЖТ. (12.42) эт Мощность потерь, приходящаяся на 1 м' поверхности металлических стенок, была определена ранее в гл. 11 при расчете затухания в волповодах.
Численно эта мощность совпадает с модулем усредненного вектора Пойнтинга потерь ~ем. формулу (11.13)]: 1 П, „„.~ ='/эйеЛ,„)Н„(э=)т'ы1,/(8п)(Н,„)э, т2.б. Добротность вбъемньет реэонаторов 251 Некоторые частные случаи. Выведем формулу для расчета добротности колебания типа Ее1в в круглом объемном резонаторе, который имеет радиус а и осевую длину 1. Будем исходить из того, что здесь магвитный вектор имеет лишь азимутальную составляющую с комплексной амплитудой Н т (г) = Нв/т (ео1г/а), (12.45) где Не — произвольный множитель.
Электромагнитное поле колебания типа Е,ш неизменно вдоль оси г, так что интеграл, входящий в числитель формулы (12.44), сводится к интегралу Ломмеля (см. гл. 9): а НЕт=т ~Н',) т( — "1 Е = ! 'Нт( нй а / (12.46) В то же время числитель указанной формулы представляет собой сумму интеграла по боковой поверхности резонатора и двух одинаковых интегралов по торцевым стенкам: ) )Н„)тс15=Но/1(тш) 2яа1+Но/1(тв,) 2паэ= =2па ((+ а) Нв/„(тв,). (12.47) Подставив эти промежуточные результаты в (12.44), имеем (12.48) Уш„ер,е(а Ее е )тз (( + т) (),...=21.3 Р" )тае а +т (12.49) где все размеры даны в метрах. Пример 12.4.
Круглый резонатор с колебанием типа Ее,е выполнен из меди, заполнен воздухом и имеет размеры а=38.4 мм, 1=40 мм. Вычислить ширину полосы пропускания по уровню 0.707 от максимального значения АЧХ. Данная колебательная система имеет резонансную частоту (рее=с/)ее рее=с/(2.61и) =3 ° 10' Гц=3 ГГц. На основании формулы (12.49) добротность При практических расчетах целесообразно воспользоваться тем, что для моды Ев,е в круглом резонаторе ) ар — — 2.61а, атрее= =2пс/)в „,=2.405с/а. С учетом этого формула (12.48) запишется так: Глава 12. Калебателъные системы СВ'1.
Объемные резонаторы Яеы,=21.3(5.7 10~)~1~ ~ ' =16080. 38.4+ 40 Отсюда полоса пропускания резонатора Более=3 10'/16080=187 кГц. Как видно из приведенного примера, добротность объемного резонатора может составлять несколько десятков тысяч, в то время как добротность обычных колебательных контуров из сосредоточенных элементов в диапазоне умеренно высоких частот не превышает нескольких сотен. Большая добротность объемных резонаторов обусловлена тем, что при типичных значениях удельной проводимости материала стенок за каждый период собственных колебаний рассеивается лишь весьма незначительная часть запасенной энергии. Добротность резонатора, очевидно, растет с увеличением его геометрических размеров, так как запасенная энергия пропорциональна третьей, а рассеиваемая мощность — второй степени характерного геометрического размера, например радиуса резонатора. В справочной литературе приводятся формулы для расчета добротности многих резонаторов, используемых в радиотехнике.
Например, прямоугольный объемный резонатор с модой Ннн или, что то же самое, Еие имеет добротность е=. 2"геъ'о (12 50! ! (1 2 ! (1 2) аа Ь а) 14 Ь 1 В заключение следует указать, что, во-первых, реально достижимые значения добротностей, как правило, несколько ниже тех, которые теоретически предсказываются формулой (12.44). Причиной этого явления могут быть, например, дополнительные потери в трущихся контактах между боковой поверхностью резонатора и одной из его торцевых стенок, которую перемещают вдоль оси в целях перестройки по частоте. Во-вторых, проведенные здесь расчеты не учитывают поглощения части мощности во внешних устройствах, с которыми связан резонатор. Поэтому добротность резонатора, найденную описанным здесь способом, принято называть собственной или ненагруженной добротностью в отличие от нагруженной добротности, которая оказывается тем ниже, чем сильнее связь резонатора с внешними цепями.
253 г2.7. Некоторые другие типы резонаторов 42.7. Некоторые а1ругне типы объемных резонаторов Помимо уже рассмотренных прямоугольных и круглых объемных резонаторов в технике СВЧ применяют резонаторы других конструкций. В первую очередь следует назвать коаксиальный объемный резонатор, представляющий собой ззкороченный с обоих концов отрезок коаксиального волновода (рис. 12.14). Такой резонатор, как правило, работает на волнах типа Т, н поэтому его поперечные размеры могут быть любыми независимо от значения резонансной частоты. Это обстоятельство благоприятствует л-л и Рис. !2.!4.
Колебание типа Тее1 н коакеиальиом объемном резона- торе использованию коаксиальных объемных резонаторов на волнах дециметрового диапазона, где аналогичные прямоугольные или круглые резонаторы имели бы недопустимо большие габариты. Моды в коаксиальном резонаторе можно обозначить как Тее (нулевые значения двух первых индексов указывают на отсутствие стоячих волн вдоль координатных направлений г и гр, последний индекс равен числу стоячих полуволн вдоль координаты з). Так, на рис. 12.14 изображена структура силовых линий векторов электромагнитного поля для колебания типа Тень Наличие внутреннего проводника увеличивает поверхность стенок резонатора.
Поэтому добротность коаксиального резонатора несколько ниже добротности аналогичной колебательной системы, построенной на базе полого металлического волновода. Наилучшее соотношение между объемом и поверхностью, а значит, и наивысшую добротность можно получить в сферическом объемном резонаторе.
Эта колебательная система представляет собой металлическую сферу, радиус которой близок к резонансной длине волны. Однако сферические резонаторы трудно перестраивать по частоте, и поэтому их редко применяют на практике. Глава 12. 1(олебательные системы СВЧ. Объемные резонаторы 254 гт' = 11(2лг). (12.51) Полагая приближенно, что магнитное поле в резонаторе однородно вдоль оси г, находим магнитный поток, сцепленный с током смещения: а е откуда эквивалентная индуктивность тороидальвого резонатора — = — 1и ~ — ~ .
в,а т б 1 эк 2а та~ (12.52) Эквивалентную емкость тороидального резонатора найдем по приближенной формуле плоского конденсатора Сл„= еепаз1'ат. (12.53) Таким образом, резонансная частота данной колебательной системы у'р„— 1/(2п ) Х.„С„). (12.54) Ранее в данной главе упоминалось, что в электронных приборах СВЧ используют тороидальные объемные резонаторы (рис. 12.15), которые по своей конструкции не сводятся к закороченному с двух концов отрезку регулярного волповода. Для такого резонатора можно приближенно считать, что энергия электрическо- го поля локализуется в чалой цилиндри- Н Н ческой области зазора с осевым размером с(, причем обычно с(«)т.
Энергия же магнитного поля в основном концентрируется в тороидальной области с наруже е ° ным диаметром 2Ь и внутренним диамет- Э Э ° 'о ром 2а. Найдем приближенное выражение э е, ° ° резонансной частоты данной колебае е ~ ° ° тельной системы. Для этого будем счиФга тать, что в области зазора вдоль оси резонатора протекает некоторый ток Рнс. 12.15. торонднлъный смешения с комплексной амплитудой 1. объемный резонатор За счет этого по закону Ампера в торои- дальной области на расстоянии г от оси возникает магнитное поле с единственной азимутальной проекцией вектора напряженности !2.7.
Некоторые другие типы резонаторов 255 Пример 12.5. Найти резонансную частоту торондального резонатора с размерами а=5 мм, Ь= — 15 мм, !2=1 мм, Ь=10 мм. Резонатор заполнен воздухом. В данном случае Е„= !п 3=2.2 10 — е Гн, 4л 10 — т.10 — т 2л 10 вл.25 1О в б д РВ тг,й Збл.!Π— з откуда по формуле (12.54) получаем 7рев —— 4.08 ГГц. Рассмотренный здесь тороидальный объемный резонатор является, по сути дела, квазистационарной колебательной системой, у которой в отличие от распределенных систем имеется лишь одна резонансная частота. Его преимущество заключается в сравнительно небольших геометрических размерах.
Однако добротность тороидального резонатора, как правило, значительно меньше, чем у резонаторов, получаемых закорачиваннем отрезков регулярных волноводов. Существует множество других конструкций объемных резонаторов, которые изучаются в последующих радиотехнических курсах. зддАчи 12.1. Кубический объемный резонатор имеет воздушное заполнение и идеально проводящие стенки с размером 20 мм. Вычислите резонансную длину волны для основной моды. 12.2. Прямоугольный объемный резонатор, заполненный воздухом, имеет размеры а=2 см, Ь=4 см, 1=3 см.
Определите, какой тип колебаний в данном резонаторе является основным; какова его резонансная частота; какая мода является ближайшей высшей. 12.3. Перестраиваемый объемный резонатор выполнен на основе прямоугольного металлического волновода сечением 23К Х10 мм. Для перестройки резонатора одну нз торцевых стенок (поршень) перемещают вдоль оси волновода. Вычислите, в каких пределах следует перемещать поршень, чтобы резонатор перестраивался в диапазоне частот от 10 до 12 ГГц. 12.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
