Баскаков С.И. Электродинамика и распространение радиоволн (1992) (977984), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Функция Грина. Способ решения уравнения (13.15) существенным образом опирается на то, что это уравнение линейное, а значит, подчиняется принципу суперпозиции. Рассмотрим некоторую точку пространства Я, имеющую радиус-вектор го. Пусть г" (гс)— Ч гАаа+ РгАаа= — Ра.хааа. Все три уравнения нз системы (13.14) совершенно идентичны. Поэтому задачу о возбуждении электромагнитных волн в свободном пространстве без потерь можно свести к решению неоднородного скалярного уравнения Гельмгольца вида Чги+бгО=Г (13.15) 1в.4. Решение неоднородного уравнения Гельмгольца 261 значение правой части уравнения (13.15) в этой точке.
Окружим точку (,1 физически малой окрестностью с объемом ЛУ и назовем величину р(го)бу интенсивностью источников в данной точке. Если функция г(го) всюду принимает лишь конечные значения, то эта интенсивность стремится к нулю при ЛУ вЂ” «О. Принято говорить, что в этом случае источники распределены в пространстве непрерывно. Однако теоретически возможна и другая ситуация, когда в точке Я размещен источник конечной интенсивности, которая остается неизменной при сколь угодно малом значении ЛУ.
Говорят, что при этом в точке пространства с радиусом-вектором г, расположен дискретный источник. Если интенсивность источника равна единице, то правая часть уравнения (13Л5) записывается в виде г' (г) = Ь (г — го), (13.16) где Ь(г — го) — трехмерная дельта-функция, которую можно формально представить в виде произведения трех одномерных дельта- функций: б(г — го) =б(х — хо)б(у — уо)б(з — хо). Свойства дельта-функции излагаются, например, в курсе теоретической радиотехники 12).
Укажем, в частности, иа следующее: при всех г~го функция б(г — го) равна нулю, однако 6(г — )бУ=Ц 6( — хо)6(у — уо)6( — о)бхбуб = Ц 6(х — хо)6(У Уо)6(х хо)бхобуо11хо=1 при интегрировании по любому объему, содержащему точку Я; в последней формуле х, у, х — координаты точки наблюдения, а хо, уо, хо — координаты точки источника. По определению, функцией Грина О(г, го) уравнения Гельмгольца (13.15) называют решение неоднородного уравнения Ч20(г, го)+Ра(г, го)=6(г — го), (13.17) которое описывает гармонический волновой процесс, распространяющийся по всем направлениям из точки размещения источника. Покажем, что, располагая функцией Грина, можно до конца решить задачу о возбуждении свободного пространства произвольной совокупностью сторонних источников, как непрерывных, так и дискретных, причем на основании принципа суперпозиции процедура решения сведется к вычислению некоторого интеграла.
Для этого сначала умножим обе части уравнения (13.17) на неизвестную функцию (), а затем обе части уравнения (13.15) — на функцию О. Вычитая преобразованные равенства почленно, будем иметь (13.18) 262 Глава И. Неоднородные уравнения Максвелла Возьмем некоторый достаточно большой объем )с с поверхностью 5, содержащий точку Я, и проинтегрируем по нему обе части формулы (13.18). При этом объемный интеграл от левой части моягно заменить поверхностным интегралом, воспользовавшись известной из векторного анализа формулой Грина ~ (Уу'0 — Ори) бУ =~ ((л'пгаб 0 — 08габ(л) Ю= =~ (из(г — г,) — 0Н(б . (!3.19) Физически ясно, что при достаточном удалении точек поверхности 3 от точки размещения источника Я значения функций 0 и Й на Б могут быть сделаны сколь угодно малыми, так что поверхностный интеграл в (13.19) обратится в нуль.
Отсюда приходим к соотношению, которому должно удовлетворять искомое решение 0(г): (л'ь(г — го)(И/=) 0Гб(л. (13.20) Обе функции, 6(г — го) и С(г, г,) симметричны относительно своих аргументов, т. е. я 0 го)=ь (го г) 0 (г 'о)=0 ('о г). На этом основании интегрирование в формуле (13.20) можно в равной мере проводить как по координатам точек наблюдения, так и по координатам точек источников. Интегрируя по координатам точек источников хо, уо, го и используя фильтрующее свойство дельта-функции 12), получаем общее решение неоднородного скалярного уравнения Гельмгольца с произвольной правой частью: (л (г)=) 0(г га)л ('о)бмо "уобко (13.21) Физический смысл этого решения прост и нагляден — результирующее возмущение, наблюдаемое в точке с радиусом-вектором г, есть взвешенная сумма элементарных возмущений от всех источников; роль весовой функции играет при этом функция Грина уравнения Гельмгольца.
Отметим, что полученная формула применима к любым диф'ференциальным уравнениям в частных производных, которые описывают разнообразные процессы в пространственно распределенных системах — диффузию, распространение теплоты и т. д, Различными окажутся лишь конкретные формы функций Грина. В литературе функцию Грина часто называют фундаментальным реше- И.4. Решение неоднородного уравнения Гельмгольца 2бз нием соответствующего уравнения, подчеркивая этим значимость данного понятия. Явное выражение функции Грина для уравнения Гельмгольца. Однородное трехмерное пространство является изотропным — характеристики волн никак не связаны с направлением их распространения. Поэтому можно заранее утверждать, что функция Грина гл(г, гь) фактически зависит лишь от одного аргумента )с=~гв — гь~ — длины радиуса-вектора, проведенного из точки размещения источника в точку наблюдения. Очевидно, что при всех ггчаО функция 6()г) является решением однородного уравнения Гельмгольца ~гО ()Р)+ РгО (Д) =О, или, раскрывая оператор Лапласа в сферически симметричном случае (д/дО=д/дцг=О), йг0 2 д0 ддг + — — + Ра=о.
(13.22) Из данного уравнения можно исключить слагаемое с первой производной, если воспользоваться подстановкой ф=йб. Тогда, как .нетрудно убедиться, относительно новой неизвестной функции ф имеем уравнение +Рот=О (13.23) с двумя очевидными решениями: яргд(гт) =ехр(~)р)().
Каждоетакое решение описывает комплексную амплитуду бегущей гармонической волны, распространяющейся вдоль радиальной координаты. Одна из этих волн движется в направлении из бесконечности к источнику, а другая — от источника на бесконечность. Поскольку физический смысл может иметь лишь последняя из упомянутых волн, приемлемым решением оказывается только функция ьр()г) = =ехр( — 1'ргг), которая приводит к следующему выражению функции Грина: д Я)=А (13.24) Л где А — некоторая постоянная. Принято говорить, что формула (13.24) описывает однородную сферическую волну, Амплитуда этой волны убывает обратно пропорционально первой степени радиуса-вектора.
Чтобы найти числовое значение постоянной А, следует обратиться к уравнению (!3.17), записав его в виде т7~0 ()~)+~гО ф) =б()~). (13.25) 264 Глава !3. Неоднородные уравнения Максвелла Опишем вокруг точки размещения источника малый шар Р радиуса $; пусть à — поверхность этого шара. Проинтегрировав обе части уравнения (13.25) по объему Р, имеем ~ ра0 бР + (Р ~ Об Р = ~ З Я) бР = 1. ю и й Если я — «О, то в левой части последнего равенства следует сохра нить только первое слагаемое, поскольку вблизи точечного источника модуль функции, определяемой равенством (13.24), изменяется весьма резко и значение дифференциального выражения Ч'С существенно превышает значение самой функции С. Таким образом, ) чге0с1Р =) б(чдгабббР=~ йтаб0бГ=1. (13.26) и и г Примем во внимание, что градиент сферически-симметричной функции (а именно такой, как указывалось, обязана быть функция Грина) численно равен пронводной по радиальной координате: нгас( С= (бС/йт)1,.
Тогда равенство (13.2б) приобретает вид (б0(бЯ)1н ~4л(я=1, откуда бО/(Я= — 11(4 нет'), Решив это вспомогательное дифференциальное уравнение, находим, что в непосредственной близости от источника функция Грина 0 Я) = — 1д4т0~). Значит, постоянная, входящая в выражение (13.24), А= — 1/(4н). Окончательный вид искомой функции Грина таков: е лен 0(Я)=— 4нР или в — лси-см 0(г, г,)=— (13.27) 4я 1 г — го! Данная формула на основании равенства (13.21) позволяет записать решение неоднородного скалярного уравнения Гельмгольца (13.15): 1 Г -,— И1 — с.! (/(г)= — — ~~ Г" (г,) б.то буо бзо. р Ид. Элементарный электрический излучатель Этот результат естественным образом обобщается на случай век- торного уравнения (13.13): р .
е УР1е ге! Л,(г) = — ' ~ Л„(га) дхас1дабло. 4л .) " ' 1г — го1 (13.28) 43.5. Элементарный электрический излучатель Элементарным электрическим излучателем (вибратором) называют идеализированную излучающую систему, в которой переменный электрический ток протекает вдоль отрезка прямой линии при исчезающе малой площади поперечного сечения. Считается, что длина излучающей области 1 значительно меньше длины электромагнитной волны /. в окружающей среде.
') ) 113,„ //! 1 / / / / Рис. 13.1. Элементарный электрический излуча- тель Рис. 13/й К нахождению разности хода волн от двух крайних точек излучателя (13.29) 1=1 з(п а, Физическая картина протекания тока по элементарному электрическому излучателю такова. Пусть, например, в разрыв излучающего отрезка проводника включен источник гармонической ЭДС. Тогда ток проводимости проходит по одному плечу излучателя, создает в пространстве ток смещения и через другое плечо возвращается в источник (рис. 13.1). Малость длины излучателя по сравнению с длиной волны позволяет рассматривать его как точечный источник электромагнитных волн. Действительно, в произвольным образом расположенную точку наблюдения Р приходят сферические волны, возбуждаемые всеми участками излучающего проводника.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
