Не смотрите,что для педВУЗов.см на год(1965).Изучение начать с 6 страницы.Счастливой ботвы! (971242), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Следовательно, л(то), = — а(то)о или Ь(то),+Ь(то), = О. (6.8) Независимо от природы сил взаимодействия и длительности их действия общее количество движения двух изолированных тел остается постоянным. 10! Рассмотрим действие друг на друга двух изолированных тел, не взаимодействующих с другими телами. Будем считать силы во все время взаимодействия постоянными. В соответствии со вторым законом динамики изменение количества движения первого тела А(гпо), равно импульсу силы Р„, действующей иа него со стороны второго тела: й(пт~;, и'(то); ...; г~(то)„. Обозначим внутренние силы, действующие на точку с массой и, со стороны других точек, через Рм, Р„, ..., Ры, на точку с массой гл» вЂ” Рм, Р»», ..., Г,, н т.
д. (Первый индекс обозначает точку, на которую действует сила, второй индекс указывает точку, со стороны которой действует сила.) Запишем в принятых обозначениях второй закон динамики для каждой точки в отдельности: ~(т), =Ф„+Р,»+". +Р,.)Ж; ~~ (и п)2 (' 21 + ~23 + ' ' ' + ~2») ~~~ г~(шп)з = Гм+ ~з»+ + р».) «Г' (6.9) ((~ )„=(г"„,+г„,+... +г„,„,)ж. Число уравнений равно числу и тел системы, Чтобы найти общее изменение количества движения системы, нужно подсчитать геометрическую сумму изменений количества движения всех точек системы.
Просуммировав равенства (6.9), мы получим в левой части полный вектор изменения количества движения системы за время Ж, а в правой части — элементарный импульс результирующей всех сил, действующих в системе, Но так как система замкнута, то результирующая сил равна нулю. В самом деле, потретьему закону динамики каждой силе г',» в равенствах (6.9) соответствует сила Рн, причем г»= г»ь т е гы = гм г»з = ги г1»= г»гнт д н результирующая этих сил равна нулю.
Следовательно, во всей !02 Полученный результат может быть распространен на силы, меняющиеся со временем, и на любое число взаимодействующих тел. Для этого интервал времени М, в течение которого происходит взаимодействие тел, разобьем на столь малые промежутки ПГ, в течение каждого из которых силу можно с заданной степенью точности считать постоянной. В течение каждого промежутка времени будет выполняться соотношение (6.8). Следовательно, оно будет справедливо и для всего интервала времени Лй Для обобщения вывода на п взаимодействующих тел введем понятие замкнутой системы.
Замкнутой называется система тел, для которой результирующая внешних сил равна нулю. Пусть п материальных точек с массами ть та, „ щ„ образуют замкнутую систему. Изменение количества движения каждой из этих точек в результате взаимодействия ее со всеми остальнымиточками системы соответственно: замкнутой системе изменение количества движения равно нулю: л л ~„г((то)! = а ~ (то), = О, (6,10) 1-! ! ! или !" ( )» (Рл1+ Р»2+ ' ' + ~л »-1) ! ~+ Рле(л Сложив левые и правые части уравнений, мы получим: слева— полный вектор изменения количества движения системы; справа— импульс результирующей внешних сил: л л дХ( )=ХРй1 1=1 1 ! или, обозначая результирующую внешних сил Р: д У ( )1 = Р" йг, 1-! т, е.
изменение полного количества движения системы тел равно импульсу результирующей внешних сил. Равенство (6.13) может быть записано в другом виде: л — (то), =- с, 1-1 (6.14) т. е. производная по времени от общего количества дви- ьоз л (то), = сопз(. (6.11) 1=! Полное количество движения замкнутой системы— величина постоянная во все время движения (закон сохранения количества движения). Закон сохранения количества движения — один нз фундаментальных законов физики, справедливый как для систем макроскопических тел, так и для систем, образованных микроскопическими телами: молекулами, атомами и т.
п. Если на точки системы действуют внешние силы, то количества движения, которым обладает система, изменяется. Напишем уравнения (6.9), включив в них результирующие внешних силР„г„Г„..., рл, действующих соответственно на первую, вторую и т. д. до и й точки: ( )1 ( 12+ р12 ! ' ' ' ! Е1») 1~~ +~! !(1~ а(то),=(ем+4:.,+... +Р,„)йà — , 'РзаЧ; д(то)з = Г»!АР»2+ +Рзл)дГ+ Реей'* (612) женки системы точек равна результирующей внешних сил, действующих на точки системы.
Проецируя векторы количества движения системы и внешних сил на три взаимно перпендикулярные оси, вместо векторного равенства (6.14) получим три скалярных уравнения вида: и — 7 (пто)„= Р„; ! — 1 ( н — 1~~ (пш)„, =- Рт, с=! — ~, (ттп„— г,. (6.15) нь гл а в Рис.
56, Сохранение количества движения в системе человек — тележка. 1. Пусть на покоящейся тележке неподвижно стоит человен (рис. 56„а). Количество движения системы человек — тележка равно нулю. Замкнута ли эта система? На нее действуют внешние силы— сила тяжести и сила трения между колесами тележки и полом.
Вообще говоря, система не замкнута. Однако, поставив тележку т Ф. Э и г е л ь с, Диалектика природы, Госполитиадат, 1946, стр. 68. Если вдоль какой-либо оси, скажем оу, составляющая резуль-' тирующей внешних сил равна нулю, то количество движения вдоль этой оси не изменяется, т. е., будучи вообще незамкнутой, в направлении оу система может рассматриваться как замкнутая.
Мы рассмотрели передачу механического движения от одних тел к другим без перехода его в другие формы движения материи. Величина «то оказывается здесь мерой просто перенесенного, т. е. продолжающегося, движения...и'. Применение закона изменения количества движения к задаче о движении системы тел позволяет исключить из рассмотрения все внутренние силы, что упрощает теоретические исследования и решения практических задач.
на рельсы и соответствующим образом обработав поверхность рельсов и колес, т. е. значительно уменьшив трение между ними, можно силой трения пренебречь. Сила тяжести, направленная вертикально вниз, уравновешивается реакцией деформированных рельсов, и результирующая этих сил не может сообщить системе горизонтального ускорения, т, е. не может изменить скорость, а следовательно, и количество движения системы'. Таким образом, мы можем с известной степенью приближения считать данную систему замкнутой. Положим теперь, что человек сходит с тележки влево (рис.
56, б), имея скорость со Чтобы приобрести эту скорость, человек должен, сократив свои мышцы, подействовать ступнями ног на площадку тележки и деформировать ее. Сила, действующая со стороны деформированной площадки на ступни человека, сообщает телу человека уснорение влево, а сила, действующая со стороны деформированных ступней человека (в соответствии с третьим законом динамики), сообщает тележке ускорение вправо. В результате, когда взаимодействие прекратится (человек сойдет с тележки), тележка приобретет некоторую скорость о,. Для нахождения скоростей о, и оа с помощью основных законов динамики надо было бы знать, как меняются силы взаимодействия человека и тележки со временем н где приложены эти силы. Закон сохранения количества движения позволяет сразу найти отношение скоростей человека и тележки, а также указать их взаимную направленность, если известны значения масс человека ж, и тележки иа.
Пока человек неподвижно стоит на тележке, общее количество движения системы равно нулю. С точностью, позволяющеи пренебречь действием внешней силы трения, после того какчеловек сходит с тележки со скоростью со количество движения системы остается равным нулю: птто, + тапа = О. Отсюда или оа = — — оы ~! та Скорости, приобретенные человеком и тележкой, обратно пропорциональны их массам. Знак минус указывает на их противоположную направленность. ' Так как массы тел, образующих систему, постоянны, то количество движеиия системы может меняться только при иамеиеиии скоростей тел. 105 2.
Если человек, двигаясь со скоростью о„вбегает на неподвижно стоящую тележку и останавливается на ней, то тележка приходит в движение, так что общее количество движения ее н человека оказывается равным количеству движения, которым обладал раньше человек один: тго, = (т,+т,) о,. 3. Человек, движущийся со скоростью о„вбегает на тележку, перемещающуюся ему навстречу со скоростью о,, и останавливается иа ией. Далее система человек — тележка движется с общей скоростью о. Общее количество движения человека и тележки равно сумме количеств движения, которыми они обладали каждый в отдельности: тго, + т,о, = (т, + тг) о.
4. Использовав то обстоятельство, что тележка может перемещаться только вдоль рельсов, можно продемонстрировать векторный характер изменения количества движения. Если человек входит и останавливается на неподвижной до этого тележке один раз вдоль направления возможного ее движения, второй раз — под углом 45', а третий — под углом 90' к этому направлению, то во втором случае скорость, приобретенная тележкой, примерно в полтора раза меньше, чем в первом (соз 45' 0,7), а в третьем случае тележка неподвижна (соз 90'=О).
(6.17) 1Об 4 3. ДВИЖЕНИЕ ЦЕНТРА МАСС МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ Покажем, что поступательное движение механической системы как целого можно характеризовать движением одной точки — цент- ра масс системы, считая, что в ней сосредоточена масса всех тел, входящих в систему. Перепишем равенства (6.4) в виде: х,Ет, = Е(тх),; у, Ет, = Е ( лу),; (6.16) г, Ет, = Е(тг), продифференцируем по времени: (Ет,) "" = Е ~ т, "" ~; г// 1 ' щ / (Ет,) — = Е (т,— ); аг» / нг '».
л/ (, и)' ( т) — = Е (т, — '). »/г» / »/г; Л т ( 'и/)' В равенствах (6.17) слева стоит произведение суммарной массы тел Ет, = /(4, образующих систему, и компонент —, —,— йг» лу»»/»» »// т т представляющих собой слагающие скорости движения центра масс системы по осям координат, а справа — компоненты вектора полного количества движения тел системьп М „. = Е(то)м (6.18) Полное количество движения механической системы равно количеству движения материальной точки с массой, равной массе тел системы и движущейся, как движется ее центр масс. Продифференцируем равенство (6.18) по времени и сравним с выражением (6.14).
В равенстве (6.18) после дифференцирования справа, а в равенстве (6.14) слева стоит одна н та же величина— производная от вектора полного количества движения тел системы. Следовательно, ( вс) р (6.19) Ф где (Мо ) — количество движения центра масс системы, Р— вектор результирующей внешних сил, действующих на тела системы.
Центр масс механической системы движется так же, как двигалась бы материальная точка, в которой сосредоточена масса всех тел системы, под действием результирующей внешних сил, приложенных к телам, образующим систему. Если механическая система замкнута, т. е. с" = О, то Мо, = сопз1. Центр масс замкнутой механической системы находится в покое или движется равномерно и прямолинейно. Закон движения центра масс механической системы не дает полной картины движения отдельных ее тел, ио позволяет установить некоторые важные особенности движения системы в целом. Рассмотрим, например, движение солнечной системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
