XVI_Terver (969543), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Пример 6.13. Найдем совместную плотность распределения случайного вектора (Ь'и 1'2) из примера 6.12. Воспользуемся формулой (6.14). Поскольку в данном случае Ф1(У11У2) = У1созУ2) Фг(У11У2) = У1в1пУг~ О < У1 < +со, О < Уг < 2к, 1 2 2 У1~ Рхьхв(т1(У1~У2)1фг(У11У2)) = — е т1~, и согласно (6.14), получаем, что при У1 > О, О < Уг < 2я р1',гв(У1 Уг) = У1е Так как все значения случайного вектора (ум уг) содержатся в множестве ((У1, Уг): У1 > О, О < Уг < 2к) (см.
пример 6.12), то в остальных случаях руьу,(У1,У2) = О. Таким образом, мы пришли к тому же результату, что и в примере 6.12, но только в терминах плотности распределения. Покажем, как будет выглядеть формула (6.14) в случае линейного преобразования уг(х1,хг) = х1бн+ хгбг + с, 1 = 1,2, или в матричной записи У(У) = УВ+с, )г = (7м 1гг), х = (х1, хг), с= (с1 сг), 250 6. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН где В = (ЬИ) — невырожденнзя матрица. Обратное преобразование ф(р) = (р - с)В, р = (рь рг), также будет линейным, причем матрица В=В г является обратной к В, а якобиан,7 равен определителю 1 йегВ = —, бег В' где бег  — определитель матрицы В.
Поэтому формула (6.14) принимает вид (6.15) Пример 6.14. Пусть двумерная случайная величина (Хь Хг) имеет равномерное внутри треугольника Р с вершинами в точках (О, 0), (О, 1) и (1, 0) распределение. Найдем плотность распределения двумерного случайного вектора У = ХВ+ с, где с = (-1, 2), а В = ~ ). Нетрудно видеть, что совместинал плотносшь распределения Рхьхг(хьхг) = 2, если точка (хь хг) принадлежит треугольнику Р, в противном случае Рх,,хг(яьиг) = О. При рассматриваемом линейном преобразовании треугольник Р переходит в треугольник Р' с вершинами в точках ( — 1;2), (2;3) и (О;3), а йегВ = — 2. Поэтому в соответствии с формулой (6.15) Р% У,(рь рг) = 1 б.б.
Векториые фуикиии от сзучаввого еекторвого аргумеит а 251 если точка (у1, уг) принадлежит треугольнику Р', в противном случае Ргз,г (рь Рг) = О Ф В заключение приведем простой, но важный для дальнеишего результат, устанавливающий достаточное условие независимости функций от независимых случайных величин. Лемма 1. Пусть случайные величины Х1 и Хг являются независимыми, а функции У1(хьхг) и Уг(х1,хг) таковы, что У1(х1,хг) = У1(х1), т.е.
У1(х1,хг) зависит только от х1, а Уг(хьхг) = 1г(хг), т.е. Уг(х1, хг) зависит только от хг. Тогда случайные величины У1 = У1(Х1,Х2) = У1(Х1) и Уг = Уг(Х1,Хг) = Уг(Х2) также являются независимыми. < Действительно (ограничиваясь кепрерывкыки сарчв((кыезк велкчккаези Х1 и Хг), в соответствии с (6.13) и теоремой 5.3 имеем: й;,гз(рьрг) = Рхьх,(х1,хг)11х11(хг= зз(кьвз)<Ю Гз(вз,аз)<ю Рхз (х1)рхз (х2) Ж1 ззхг = Рхз (х1) ззх1 х зз(кз)<ю Ъз(зз)<91 зз(ез) <тз х Рхз(хг)ззхг = Й'з(У1)гъ~(уг).
1'з(ез) <Ю 252 а Функции От случАЙных Величин Замечание 6.4. Утверждение леммы 1 обобщается на случай и случайных величин Хт, ..., Х„. Пример 6.15. Пусть Хт, ..., Մ— независимые случайные величины, имеющие стпандартпное нормальное распределение. Тогда случайные величины Хтз,..., Хв также являются независимыми и распределены по закону Х~ с одной степенью свободы (см. пример 6.5), и, как следует из теоремы 6.1, случайная величина У=Х +...+Х имеет распределение Хз с п степенями свободы. Извлекая квадратный корень из У, получаем при п = 2 и и = 3 распределения Релея и Максвелла (см. пример 6.10). Отметим еще раз, что приведенные в настоящей главе результаты сформулированы для векторов размерности и = 2 лишь для краткости и наглядности изложения.
Нетрудно показать, что они остаются справедливыми для случайных векторов, имеющих произвольную размерность п > 2. 6.6. Линейные преобразования нормально распределенных случайных величин. Метод линеаризации В силу особой важности для практических применений в этом параграфе мы подробно остановимся на линейных преобразованиях многомерных случат1ных величин, распределенных по нормальному закону. Пусть Х = (Хь ..., Х„) — и-мервый случабкыб ввнтиор, распределенный по нормальному закону с матприцеб новариацит1 Ео и вектпором средних значение тй-. Рассмотрим новый случайный вектор У = (Ут, ..., У„), полученный из вектора Х' с помощью линейного преобразования (6.16) У =ХВ+с, 6.6. Лииейвые вреобрвзовввив гвуееовьгв величии 253 р (Д р ((р ст)В) -л((д-е)в- Вх)тх((6-е)н-гах) (~/2зг)в(г(е( Ео) е ! г(ей В~ е е(~ у) у(г7 (~Г2гг)в(бе1(В~ЕХВ)) е 1 --(г7-жу)ер(К-игр) ! т ,е е 3 (~/2и)в(йеФЕр) л где В = В г — матрица, обратная к матрице В; Ео = Е ~— матрица, обратная к матрице Е -,; Ер = В'Е~В; (6.17) Ер = Ер~ — матрица, обратная к матрице Ер, (6.18) гйо = гй о В + с.
Таким образом, случайный вектор У также распределен по нор- мальному закону с вектором средних значений гй - и матрицей ковариаций Ер, определяемыми формулами (6.18) и (6.17). Пример 6.16. Предположим, что двумерный случайный вектор Х = (Хг, Хз) имеет нормальное распределение с вектором средних значений гут,7 = (1, 2) и матрицей ковариаций 1-1~ Еу = ).
Найдем вектор средних значений гйр и матрицу ковариаций Ер случайного вектора У = ХВ+ с, где В=~ ~ ис=(-1 -3). l1 ), () где  — невырожденнал квадратнал матрица порядка и [111], а с — и-мерный вектор. Тогда в соответствии с формулой (6.15) случайный вектор У имеет плоганосгаь распределения 254 6. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН В соответствии с формулами (6.17) и (6.18) имеем: 1 1 -1 2 0 1 0 1 Значит, вектор У имеет двумерное стандартное нормальное распределение. ф Пусть н-мерный случайный вектор Х имеет многомерное нормальное распределение с матрицей ковариаций Е» и вектором средних значений тй».
Формула (6.17) является формулой преобразования матрицы квадратичной формы. Поскольку матрица Е- является положительно определенной, то всегда можно подобрать невырожденное линейное преобразование В таким образом (например, используя метод Лагранжа [1У]), чтобы матрица Ер, определенная формулой (6.17), была единичной. Полагал теперь с = -туь»В, из формулы (6.18) заключаем, что тйр есть нулевой вектор.
Таким образом, приходим к выводу, что вектор У имеет многомерное стандартное нормальное распределение. Выражая теперь вектор Х через вектор У по формуле (6.19) Х УВ +т приходим к следующему результату (ср. с результатом в 5.4): н-мерный случайный вектор Х, распределенный по нормальному закону с произвольными вектором средних значений гй» и матрицей ковариаций Е -,, может быть получен с помощью преобразования (6.19), где вектор У распределен по стандарганому нормальному закону. б.б. Лииейвые иреобразоввиив гауееовых величин 255 Пример 6.1Т.
Пусть Х = (Х1, Хо) имеет нормальное распределение с вектором средних значений т = (-2, 4) и матри- /0,04 0,041 цей ковариацш1 ~М 1,0 04 02 (. ~айдем вектор с и ма~ рицу В линейного преобразования, переводящего вектор Х в вектор У, имеющий стандартное нормальное распределение. Запишем квадратичную форму, соответствующую матрице Е о и преобразуем ее методом Лагранжа [1ч') к каноническому виду, являющемуся суммой квадратов: О 04х~+ О 08ху+ О 2у = (О 2х+ О 2у) + (О 4) = г~~ + а~э, где в1 = 0,2х+0,2у; лч = 0,4у.
Поэтому матрица В 1 имеет вид (0,2 0,2 1 1~ 0 04/' а матрица  — вид В Вектор с задается равенством с= — (-2 4) ~ ' ~ = (10 -15). /5 — 2,5 1 ~,0 25,~ Отметим, что к стандартному нормальному распределению приводят и другие линейные преобразования, например преобразование с матрицей: 5 -2,5 0,6 0,8 5 2,5 256 б. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Общий нормальный закон.
Как известно (см. 5.5), не- вырожденный п-мерный закон вполне определяется вектором средних значений т и матрицей ковариаций Е, которал является положительно определенной. Для общего и-мерного нормального закона условие положительной определенности матрицы ковариаций Е заменяетсл условием неотрицательной определенности этой матрицы [1Ч]. В частности, если беФЕ = О, то нормальное распределение называют вырожденным. Оказывается, что вырожденное нормальное распределение не является распределением непрерывного случайного вектора. Определим общий нормальный закон, исходя из формулы (6.16).
Скажем, что вектор У распределен по общему п-мерному нормальному закону, если он может быть получен иэ нормально распределенного случайного вектора Х с помощью линейного преобразования (6.16). При этом матрица В может быть и вырожденной [П1]. Более того, матрица В не обязательно должна быть квадратной, а может иметь размерность и х л, и тогда из и-мерного нормально распределенного вектора Х с помощью линейного преобразования получается Й-мерный нормально распределенный вектор У. Если матрица ковариаций Е имеет ранг л [П1], то и-мерный вектор У может быть выражен с помощью линейного преобразования (6.16) через й-мерный вектор Х, имеющий стандартное нормальное распределение. В частности, если матрица Е нулевая, т.е. ее ранг равен нулю, то вектор У состоит из неслучайных координат У, = с;, т.е.
вектор с неслучайными координатами представляет собой частный случай нормально распределенного вектора. Формулы (6.17) и (6.18), выведенные нами для матриц ковариаций и векторов средних невырожденных нормальных распределений, полностью сохраняются и для общих нормальных распределений (напомним, что матрица В может быть не квадратной). Более того, в следующей главе будет показано, что эти формулы имеют место для произвольно распределенных случайных векторов. б.б. Дивеввые преобреэовевил гвуеоовых величие 257 Пример 6.18. Пусть двумерный случайный вектор Х = = (Хм Х2) распределен по стандартному нормальному закону. Рассмотрим трехмерный случайный вектор У = (Ум У2, Уэ), полученный из вектора Х с помощью линейного преобразования У = ХВ+ с, где Следовательно, вектор У имеет нормальный трехмерный закон с матрицей ковариаций Ер — — 1 1 = 2 2 2 и вектором средних значений в- = (1, О, -1).
Матрица Ер является вырожденной, причем ее ранг равен единице, собственные значения Ле = 6, Л2 = Лэ = О и собственный вектор, соответствующий ненулевому собственному значению Лм имеет вид е1 = (1, 1, 1). Последнее означает, что трехмерный случайный вектор У может принимать только значения у1 = « + 1, р2 = л, рэ = в — 1, т.е. множество всех его значений лежит на прямой р1 = «+ 1, р2 = а, рэ = в — 1. Иными словами, знал, например, значения координаты У2 случайного вектора У, можно однозначно определить значения остальных координат по формулам У1 =У2+1 и уз =У2 — 1> что следует и непосредственно иэ определения вектора У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
