XVI_Terver (969543), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Метод лииеаризации. Пусть Х = (Х1, ..., Х„) — и-мерный случайный вектор, распределенный по нормальному (не- вырожденному) закону с матрицей ковариаций Е о и вектором 258 В. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН средних значений т -.. Вернемся к общему случаю и предположим, что У = У(Х) — векторная функция от случайного вектора Х. В ряде практических задач функция У(х) хотя и не является линейной, но тем не менее хорошо аппроксимируется линейной в области реального изменения случайного вектора Х.
Тогда можно воспользоваться метподом лниеарнзацни, который мы сейчас опишем. Положим тйр = У(тХ). (6.20) Кроме того, считая, что функция У(х) дифференцируема в точке й -., введем матрицу (6.21) В окрестности точки та» функцию УЩ можно приближенно заменить линейной (Ч): У(х) — тйр+ (х — ЖХ)В. Па~тому У(Х) ~ йу+ (Х вЂ” шу)В, и, значит, случайный вектор У распределен приближенно по нормальному закону с вектором средних йзр, определяемым формулой (6.20), и матрицей ковариаций Ер, задаваемой формулой (6.17), в которой матрица В вычисляется по формуле (6.21).
Пример 6.19. Для определения плотности минерала был взят образец цилиндрической формы с неизвестными радиусом основания тп1, высотой тз и массой шз. Измерения проводились со случайными погрешностями и дали следующие результаты: радиус основания Х1, высота Хз и масса Хз. Плотность б.б. Ливейвые вреобрввоввиив гвуееовых ввеиеив 259 минерала У была вычислена по формуле Хз яХ12Х2 Считая, что результаты измерений Х1, Х2, Хэ являются независимыми случайными величинами, имеющими совместное нормальное распределение с вектором средних (п11, т2, тз) (в этом случае говорят, что отсутствуют систематические погрешности измерений) и средними квадратичными отклонениями (п1, а2, оэ) (которые предполагаются малыми по сравнению с истинными значениями радиуса еп1, высоты п12 и массы шз), найдем распределение полученной плотности У минерала.
Из условия задачи следует, что измеренные параметры представляют собой трехмерный случайный вектор Х=(Х„Х, Х ), распределенный по нормальному закону с вектором средних значений й1Х = (1п1 п12 п1з) и матрицей ковариаций а полученное значение плотности минерала У является скаляр- ной функцией вектора Х: У(Х) 1ГХ12Х2 Для нахождения распределения У воспользуемся методом линеаризации.
В соответствии с формулами (6.20) и (6.21) 260 б. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Пзг т1' = 1"(тх) = г 2Г»212112 (6.22) д хз дхг лхгзхз ~илгяя д хз дхз лхзхз ~я — гав д дхз ггхгхз ~я=газ 2 пгз лтзгтз Пзз лпззтв 1 2 1 лтзгтз Далее, воспользовавшись формулой (6.17), имеем: 1 1гпгзпгз лтзтз ггтзгпз Г 2 1 2 1 2 гпз лтзт Пгз х 0 агг 0 гггп т 1 2 1 4тгтзп1+ т1тзпг+ т1тгаг (6.23 2 2 2 2 2 2 2 2 2 лгтбт4 ) 2 Таким образом, полученное значение плотности У распре. делена приближенно по нормальному закону со средним значением и диснерсиег1, определяемыми формулами (6.22) и (6.23).
6.7. Решение типовых примеров Пример 6.20. Дискретказ слрчаг1кал ееличика Х имеет Таб „а 6 д Рлд РаспРеделениц пРедставленный в табл. 6.8. Найдем Ряд распределения случайной Р 0,2 0,1 0,1 0,2 0,4 в ы У = 2Х2 + 1. 261 б.7. Рептеппе типовых примеров Значениям -2, -1, О, 1 и 2 случат1нот1 величины Х соответствуют значения 9, 3, 1, 3 и 9 случайной величины У. Воспользовавшись табл. 6.8, получим ряд распределения случайной величины У, представленный в табл. 6.9. Теперь, для того чтобы получить окончательный ответ, нужно объединить столбцы с одинаковыми значениями У (табл.
6.10). Таблица 6.10 Таблица 6.9 Пример 6.21. Случайная величина Х имеет энспоненциальное распределение с параметром А = 1. Найдем фуннцито распределения случайной величины У = (Х вЂ” 2)2. Случайная величина У может принимать только неотрицательные значения. Поэтому при у < 0 Ру(у) = О. При у > 0 функцию распределения Ру(у) определяем по формуле Ру(у) = рл(х) Их. у(в)<х Поскольку в данном примере У(х) = (х-2)2, то область интегрирования представляет собой интервал (2 — ~/у, 2+ ~/у). Согласно определению плотпностаи распределения экспоненциального закона, получаем: при у<4 2+~/У Ру(у) = е *ах =е +тх — е 2-.
/У 262 6. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВВЛИЧИН при у > 4 2+, /у Ру(у)= е *гаях=1 — е О Таким образом, О, у<О; ГУ(у) = е ~+~ — е ~ ~, 0<у<4; 1 — е ~ ~~я, у>4. Пример 6.22. Случайная величина Х имеет Равно.керкый закон раскределекил в интервале (О,я). Найдем плотность распределения случайной величины У = сое Х.
Функция У(х) = соех является непрерывной убывающей в интервале (О, я) и отображает этот интервал в интервал (-1, 1). Обратная функция ф(у) =У '(у) =агссоеу имеет производную Ф(у) =-,' Поскольку плотность распределения случайной величины Х / О, х(г(О,я); Рх(х) — ~„..„0., О, у У(-1, 1); 1/(яф — уз) у Е (-1 1). Пример 6.23. Случайная величина Х равномерно распределена в интервале (0,2я). Найдем плотность распределения случайной величины У = соеХ. 263 б.7. Решевпе типовых примеров Эта задача отличается от предыдущей только тем, что теперь функция У(х) = сов х не является монотонной в интервале (0,2гг).
Однако она является непрерывной функцией, имеющей два интервала монотонности: (О, гг) и (гг, 2х). Обозначая для любого у, -1 < у < 1, решения уравнения у = сов х в интервалах (О, х) и (гг, 2я) через угг(у) и фз(у) соответственно (грг(у) = агссову, фг(у) = 2гг — агссову), находим рг(у) рх(Ф1(у))~Ф1(у)1+рх(ггз(у))!Ф2(у)) О, УФ( — 1,1); 1/(ггпу~~- уз), у Е ( — 1, 1). Таким образом, мы получили тот же ответ, что и в предыдущем примере.
Пример 6.24. Распределение Таблица 6.11 диснрегпной случайной величины Х 1 (Хг, Хг) задается табл. 6.11. Нж- Хв дом Ряд Распределения случайной -1 0,07 0,10 0,13 величины У = Х~~ + Х~~ — 1. 1 0,20 0,23 0,27 Табл. 6.11 представим в виде табл. 6.12, состоящей из двух строк, причем в верхней строке перечислены все значения случайной величины У, а в нижней— соответствующие вероятности.
Таблица 6.12 Таблица 6.18 Объединяя теперь столбцы с одинаковыми значениями У, получаем окончательно ряд распределения случайной величины У (табл. 6.13). Пример 6.25. Двумернал случайная величина (Хм Хз) распределена равномерно в круге хг, + хз ~< 1. Найдем функцию распределения случанной величины У = ХгХз. Значение функции распределения Гу(у) случайной величины У равно вероятности попадания двумерного случайного 264 б.
ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАИНЫХ ВЕЛИЧИН вектора (Х1, Хг) в область х1хг < р. Эта вероятность, в свою очередь, равна площади ЯВ области Р, состоящей иэ точек круга, координаты которых удовлетворяют неравенству х1хг < р (на рис. 6.6 и рис. 6.7 область Р эаштрихована), поделенной на площадь круга и.
Это следует иэ того, что случайная величина (Х1, Хг) равномерно распределена. Рис. 6.6 Рис. 6.7 При р < -1/2 область Р пуста, а при р > 1/2 эта область совпадает с кругом. Поэтому 1 О, р<--,; й;(р) = \ г Пусть теперь -1/2 < р < О. Тогда пересечение гиперболы х1хг = р и окружности хг1+ ягг = 1 происходит в четырех точках (см. рис. 6.6): А1 — 1/2+ 1/4 — рг; Аг — 1/2 — 1/4 — рг. Аз 1/2 — 1/4 — рг' — 1/2+ 1/4 — рг А4 1/2+ 1/4- рг — 1/2- 1/4- рг 265 6.Т. Репгеиие типовых примеров координаты которых находятся кз системы уравнений < х1+хг =1; 2 х1хг = р.
Значит, 8 =2 / (ф — л — — )Н х1 /1 1 = — — 2 агсвш — — ~/ — — рг + 2 1п — — — — 1 2 2 Ч4 (~2р 4рг и поэтому при — 1/2 < р < 0 1 2 . 1 ~~ 2 /1 1 Рг (р) = — — — агсаш — — у — — рг+ — 1п ~ — — — — 1 2 и 2 Ч4 гг ~2р 4рг Аналогично при 0 < р < 1/2 имеем (см. рис. 6.7): 1 2 1 ~~ 2 /1 1 Р~(р) = — + — агса1п — — у — — рг — — 1п ~ — — — — 1 2 я 2 Ч4 я 1,2р 4рг хг<0; „е хг е, хг)О.
— в~1/2 Ь/2-1 -вв/2 ~/2~г2в/гГ(2) О, рх„х,(хыхг) = Полученные формулы задают значения функции распреде. лепил Р1. (р) при всех значениях аргумента р. Пример 6.26. Независнлеые серчайнгяе величины Х1 и Хг имеют стандартное нормальное распределение и распределение Хг с й степенвлги свободы соответственно (см. 4.6).
Найдем плотность распределения случайной величины У = Хг/ь/Хр/й. Поскольку случайные величины Х1 и Хг являются независимыми, двумерная случайная величина (Хы Хг) имеет совлгестнрго плотность распределения: 266 б. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЬХХ ВЕЛИЧИН Значение функции распределения Ру(р) равно вероятности попадания двумерного случайного вектора (Хм Хг) в область Р (на рис. 6.8 эта область заштрихована), определяемую неравенствами х1 <у, хг>0, 1/хг/й т.е.
х, Рис. 9.9 Рис. 9.9 Сделаем замену з = ~/хг. Тогда где область интегрирования Р' (рис. 6.9) представляет собой угол между лучами х1 = -$, л = 0 (3 > 0) и х1 = рс, з = = ~ГЙ (б > 0). Переходя теперь к полярным координатам х1 =рсобф, з=решф, получаем Ру(р) =, аш ~~рйр р е Р ~ рбр. ~(2'г2ь~гГ(~г) ис~б(~/й/Л) о 267 6.7. Решеипе типовых примеров Снова делая замену и = рз/2 и учитывая, что и~ ~~ е Мп=Г 0 находим ~а+1'1 е Так как нам необходимо определить плотность распределения случайной величины У, мы не будем вычислять интеграл в последней формуле, а воспользуемся формулой дифференцирования интеграла: агсф(Л/у) Учитывая, наконец, соотношение вш(агс$6х) = Я+х~ приходим к окончательному ответу: 268 в.
Функции От случАЙных Величин Распределение случайной величины У называют распределением Сюттьюдентпа (1-распределением). Распределение Стьюдента, наряду с распределением Х~, играет важную роль в математической статистике. Пример 6.27. Случайная величина Хт распределена равномерно на отрезке (1, 2], а случайнал величина Хг имеет показательное ~экспоненииальное) с параметпром А = 2 распределение. Предполагал, что случайные величины Хт и Хз являются независимыми, и воспользовавшись формулой свертпки, найдем функцию распределения и плотность распределения случайной величины У = Хт + Хь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
