XVI_Terver (969543), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Как вычислить параметры нормального распределения, приближенно описывающего распределение функции от случайного вектора в соответствии с методом линеаризации? 6.20. Дискретная случайная величина Х имеет ряд распределения, представленный в табл. 6.18. Найдите ряд распределения случайной величины У, если: а) У=10Х вЂ” 1; б) У=-Хз; в) У=2х. Таблица 6.И Ответ: ряд распределения случайной величины У представлен: а) в табл. 6.19; б) в табл.
6.20; в) в табл. 6.21. Таблица 6.30 Таблица 6.19 281 Вопросы пэалочп Та6лииа 6.31 6.21. Случайная величина Х распределена равномерно в интервале (О, 3). Найдите функцию распределения случайной величины У = Х~+ 1. Ответ: О, у<1; Г~ (у) =,4~:т/3, 1<у<10; 1, у > 10.
6.22. Случайная величина Х имеет экспоненциальное распределение с параметром Л. Найдите плотность распределения случайной величины У, если: а) У=с-" 6) У=Х' в) У=1(Х' г) У= /Х. Ответ: О, у Ф (О, 1); Лул 1, уЕ(0,1); о, у < о; Ле лоу/(ЗЩ), у > 0; О, у<0; Ле 1~я/(Зу~/у), у > 0; О, у<0; г) рь(у) = х~„~ 2Луе ", у>0. 6.23. Случайная величина Х распределена по нормальному закону со средним значением т и дисперсией о~.
Найдите плотность распределения случайной величины У, если: а) У=)Х~; б) У=ахсФ6Х; в) У=Ха; г) У=с~ (плотность логари4мичесни нормального, или логнормального, распределения). 282 б. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Ответ: р<О, о, а) ру(р) = -(я-зи)'/(2а') ). -(я+тих)~/(2а') , у>О; Ч2~пт у ф (-к/2, к/2); о, е (~Ко т)~/(~а~) , рб(- /г, /2); 2~/гягг сова у б) ру(р) = р<О; , р>О; о, в) ру(р) ж -( /у — аъ) /(2а ) ). -(,/у+ив)~/(аа~) р<О; о, г) ру(у) = -()ая — эв)'/(аа') , р>О. ~/2~гау 6.24.
Распределение двумерной случайной величины (Х1, Х2) Таблица 6.68 задается табл. 6.22. Найдите Ряд распределения случайной величины У, если: а) У =Х1 — 2Х2 — 8; б) У= (Х1 — 12) +Х2~ — 1; в) У = (Х1 — 12)/Ха. О т в е т: ряд распределения случайной величины У предста; ален: а) в табл. 6.23; б) в табл. 6.24; в) в табл.
6.25. Таблица 6.3) Таблица 6.66 283 Вопросы и эаяачи Таблица 6.п5 6.25. Двумерная случайная величина (Хм Хг) распределена равномерно в прямоугольнике с вершинами в точках А1(0; О), Аг(0; 2), Аз(3; 2) и А4(3; 0). Найдите функцию распределения случайной величины У, если: а) У = Х1+Хг, б) У = Х1/Хг.
Ответ: у<0; 0<у<2; 2<р<3; 3 <у<5; у>5; О, уг/12, (у-1)/3, [12 — (5 — у) ]/12, 1, а) Ру(у) = О, р<О; р(Ып) — г г ьь/гпо/гул/г-1(н+й )-(а+а)/г у>0 г(-",)г® О, у < О; б) Гу(у) = у/3, 0<у<3/2; 1 — 3/(4у), у > 3/2. 6.26.
Независимые случайные величины Х1 и Хг имеют стандартное нормальное распределение. Найдите плотности распределения случайной величины У = Х1/Хг. Ответ: 1 ~"'(У) „(1 + г)' 6.27. Независимые случайные величины Х1 и Хг имеют распределение Хг с й и н степенями свободы соответственно. Найдите плотность распределения случайной величины У = = нХ1/(йХг) (плотность Р-раснределениэа или распределения Фишера — Снедекора). Ответ: 284 б. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 6.28. Независимые случайные величины Х4 и Хз имеют экспоненцнальное распределение с параметрами А1 = 1 и Лз = 2 соответственно. Воспользовавшись формулой свертки, найдите плотность распределения случайной величины У = Х1 + Хз.
Ответ: (О, р<0; ( 2(е "— е з"), р)0. 6.29. Независимые случайные величины Х1 и Хз имеют равномерное распределение на отрезках «О, 1] и «О, 2] соответственно. Воспользовавшись формулой свертки, найдите плотность распределения случайной величины У = Х1 + Хз. Ответ: О, р Ф (0, 3); р/2, 0<р<1; 1/2, 1<р<2; (3 — р)/2, 2 < р < 3. 6.30. Распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины (Хм Хз) задается табл. 6.26. Найдите распределение вероятностей двумерной случайной величины (Ум Уг), где У1 = Х1Хз, Уз = (Х1 — Хз)~. Таблица 6.86 Таблица 6.87 О т в е т: Совместное распределение вероятностей двумерной случайной величины (Ум Уз) представлено в табл. 6.27.
6.31. Двумерная случайная величина (Х1, Хз) распределена равномерно в прямоугольнике с вершинами в точках А1 (1; — 1), Аз( — 1; 1), Аз(0; 2) и А4(2; О). Найдите совместную функцию распределения случайных величин У1 = (Х1 — Хз) и Уг = =х,+х,. 285 Воаросы и задача Ответ: Й;,ь"з(рьуг) = 6.32. Двумерная случайная величина (Хь Хз) имеет совместную плотность распределения / О, (хь хг)(сР; где Р— треугольник с вершинами в точках Аз(0; О), Аз(1; 1) и Аз(2; 0). Найдите совместную плотность распределения слу- Ъ вели Н1;=Хз/(Хз+1) иУ2=Х1+Х,.
Ответ: О, (уь рз) ФР', РЪд Ъз(у1зуз) (уз+2)(уз+1)(1 Ю) 2(зз+1) з 1 Ер~ (р, +1)з где Р' — область, ограниченная линиями р1 = О, уз = 0 и (уз + 2)(уз — 1) = -2. 6.33. Двумерная случайная величина (Хь Хз) распределена равномерно в параллелограмме с вершинами в точках Аз( — 1; — 1), Аз( — 1; 3), Аз(4; 5) и А4(4; 1). Найдите плотность распределения случайных величин Уз = 2Х1 + Хз — 1 и 1~з = =х,-зх,+г. Ответ: / О, (уь р,) ФР', 1/140 (уз уз) 6 Р' где Р' — параллелограмм, ограниченный прямыми Зуз + уз— — 27=0 Зу1+уз+8=0 уз+12рз+96=0 и у1+12уг — 44=0 о, рзз/рз/4, ,ф7/2, р,(г, 1, рз(0 или рз(0; 0 < уз < 4 и 0 < уз (~ 2; 0<уз <4 и рз>2; уз >4 и 0<уз<2; р1>4 пуз>2 286 б.
ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 6.34. Пусть Х = (Хм Хз, Хз) — трехмерный случайный вектор, распределенный по нормальному закону с вектором средних значений шХ = (1, 2, 1) и матрицей ковариаций ЕХ= 1 4 -1 Найдите вектор средних значений шр и матрицу ковариаций ЕУ- случайного вектора У = ХВ+ с, где 1 -1 В= 1 1 и с=(1 3).
0 1 Ответ: т- =(2, -1), Е- = ~ /7 41 14 6,~' 6.35. Пусть Х = (Х1, Хз) — двумерный случайный вектор, распределенный по нормальному закону с вектором средних /2 11 значений йХ = (1, 3) и матрицей ковариаций ЕХ = ~ ~1 3,~ Найдите вектор с и матрицу В линейного преобразования У = ХВ + с, переводящего вектор Х в вектор У, имеющий стандартное нормальное распределение. Одним из возможных ответов является: 1 Л5/5 0 ~ -~~5/15 ~/3/3 / 6.36. '11эехмерный случайный вектор Х=(Х1, Хз, Хз) имеет нормальное распределение с вектором средних значений т = = (10, 5, 3) и матрицей ковариаций 0,01 0,0042 — 0,0024 Ех = 0 0042 0 0036 0 00288 -0,0024 0,00288 0,0064 Вопросы я эадвчя 287 Воспользовавшись методом линеаризации, найдите параметры нормального закона, приближенно описывающего распределение величины У = (ЗХ~~+ 1)/(Х~~+ 2Хзз).
Ответ: тву=7, оум0,26. 6.87. Независимые случайные величины Х~ н Хз распределены по нормальному закону с математическими ожиданиями шх, = шх~ = 900 и средними квадратическими отклонениями ах, = ох, = 3. Воспользовавшись методом линеаризации, найдите приближенное распределение случайного вектора У = = (У~, Уз), где У~ = Х~Хз/(Х~+Хз) и Уз = Х~~/(Хг+ 100). Ответ: Случайный вектор У имеет распределение, близкое к нормальному закону с вектором средних значений тр —— = (450, 810) и матрицей ковариаций (1,125 0,405 1 ~ 0,405 16,544) ' 7.
'ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУ"ЧАЙНЫХ ВЕЛИ'ЧИН Из результатов предыдущих глав следует, что вероятности любых событий, связанных с каждой случабкоб величиной (в том числе многомеркой), полностью определяются ее законом распределения, причем закон распределения дискретной случайной величины удобно задавать в виде ряда раснределениц а непрерывной — в виде плотности распределения. Однако при решении многих задач нет необходимости указывать закон распределения случайной величины, а достаточно характеризовать ее лишь некоторыми (неслучайными) числами.
Такие числа (в теории вероятностей их называют числовыми характеристиками случайной величины) будут рассмотрены в настоящей главе. Отметим, что основную роль на практике играют математическое ожидание, задающее „центральное" значение случайной величины, и дисперсия, характеризующая „разброс" значений случайной величины вокруг ее математического ожидания. В математической статистике [ХЧ??] для построения доверительных интервалов и проверки статистических гипотез широко используются квактили. 7.1. Математическое ожидание случайной величины Как уже отмечалось выше, наиболее употребляемой на практике числовой характеристикой является математическое ожидание, или, по-другому, среднее значение случайной величикы.
Роль математического ожидания более подробно будет выяснена ниже (см. 9). 7л. вчвтемачичесхое ожидание счучейиой вевичииы 289 Определение 7.1. Матпеманчическим ожиданием (средним значением) МХ дискретной случайной величикы Х называют сумму произведений значений х, случайной величины и вероятностей р; = Р1Х = х;), с которыми случайная величина принимает эти значения: МХ = ~;х;р;. При этом, если множество возможных значений случайной величины Х счетно, предполагается, что ~х;~р; (+ос, т.е. ряд, опредеапощий математическое ожидание, сходится абсолютно (1Х]; в противном случае говорят, что математическое ожидание случайной величины Х не существует. Математическое ожидание дискретной случайной величины имеет аналог в теоретической механике. Пусть на прямой расположена система материальных точек с массами р; ( ~,р, = = 1) и пусть х; — координата е-й точки. Тогда центр масс системы будет иметь координату 2,'хР; 2 хР; Х= ' = ' ='„Е;хара '>,'р, в 1 совпадающую с математическим ожиданием МХ случайной величины Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
