XVI_Terver (969543), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Запишем формулу свертки: р1 (х) = Рхт(у)рхт(х — у)ду. Поскольку рх,(х) = О при х < 1 и рх,(х) = О при х < О, то при х < 1 подынтегральное выражение тождественно равно нулю, и, значит, РУ(х) =О, х <1. При х > 1 формула свертки принимает вид РУ(х) = Рх,(у) Рхт(х - у) 4), 1 причем, поскольку рх,(х) = О также при х > 2, то при х > 2 формулу свертки можно записать в виде РУ(х) = Рх,(у)рх,(х — у)тту. 1 о.7. Ре!пеппе типовых примеров Подставляя в полученные формулы выражения для равномерной и экспоненциальной плотностей распределения, находим х ру(х) =2 е 2(* в)ау=1-е 2(* 1) 1<х<2; 1 2 ру(х) =2 е (* в)ар=е (* ) — е (* ), х) 2.
1 Таким образом, х<1; 1<х<2; ру(х) = -2(е-2) -2(е-1) Пример 6.28. Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины (Хм Х2) (табл. 6.14). Найдем распределение вероятностей двумерной случайной величи- Таблица 6.Ц ны (Ум У2), где у1 =х,+х,'-гх,х„ 1 1 У2 = Х2 — — Х1 + -Х) — Х1 Х2.
2 2 2 2 Для того чтобы определить совместное распределения случайных величин У1 и У2, удобно сначала выписать общую таблицу, в которой в первой строке и первом столбце перечислены значения случайных величин У1 и У2, соответствующие всем парам значений случайных величин Х1 и Х2, на главной диагонали записаны вероятности, а на остальных метах стоят нули (табл.
6.16). 270 б. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Таблица 6.16 Объединял строки с одинаковыми значениями Уг, приходим к табл. 6.16. Таблица 6.16 Таблица 6.17 Наконец, объединяя столбцы с одинаковыми значениями Ум получаем табл. 6.17, окончательно задающую совместное распределение вероятностей случайных величин У1 и Уг. Пример 6.29. Двумерная случайная величина (Хм Хг) распределена равномерно в квадрате с вершинами в точках А1(0; -1), Аг(0; 1), Аг(2; 1) и А4(2; -1). Найдем совмес~пкую фуккцию распределения случайных величин Уг =Хгг и Уг =Хг+Хг.
Очевидно, что случайная величина У1 может принимать только значения от 0 до 1, а случайная величина Уг — от — 1 до 3. Поэтому Р~,,у,(у1,уг) = О, если у1 < 0 или уг ( (-1, и Р~„У,(умуг) = 1, если у1 ) 1 и уг ) 3. Пусть теперь 0 < уг < 1 и — 1 < уг < 3. Тогда значение РУ„У,(уь1уг) равно четверти 271 6,7. Равеиие еиисемс яР~ииРсе площади части Р квадрата, ограниченной прямыми у1 = -хз~, у1 = х~з и уз = х1+ хз. Область Р при различных соотношениях между у1 и у1 на рис. 6.10-6.14 отмечена штриховкой. Проводя вычисяения, получаем РУ.7 (У1 УЗ) = Далее, если 0 < у1 < 1, а уз ) 3, то Гу, у,(у1,уз) совпадает с функцией распределения г7, (у1), которая, как нетрудно видеть, равна ~7„72 (у» уз) — Рт (у1) — Л~ Наконец, при у1 ) 1 и -1 < уз < 3 совместная функция распределения Ру„у,(у1,уз) совпадает с функцией распределения ~у.(уз) 8 (Юе+1) 1-(З-р,)' 8 ~7.7е(У1 УЗ) = й7е(УЗ) = Рис.
6.10 Рис. 6.18 Рис. 6.11 О, (в+ ~/Ю 8 рз497 1 Ф 17У1— 1/У1 Уз ~ ~Д6 -1/У1 < УЗ < 1/У11', Д~ <уз <2- /у1,' 2 — 1/у1 <уз <2+ Щ 2+~/у1 <уз. 272 б. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН х 1 гх, е 2 х1 Рис. 6.13 Рис. 6.14 Полученные формулы определяют значения совместной фУнкЦии РаспРеДелениЯ РУьу, (У1, Уг) пРи всех значенилх У1 и Уг. Пример 6.30.
Двумерная случайная величина (Х1, Хг) имеет совместную плотность распределения 1 Рхьхг(~1~хг) = я(х1 + хг + 1 Найдем совместную плотность распределения случаиных величин у1 —— ех' + е"' и уг = ех' — ех' С помощью преобразования ь'~(х1,хг) = е*' + е*', 12(х1,хг) = е*' — е*' осуществим взаимооднозначное преобразование плоскости в область Р', задаваемую неравенствами у1 + уг ) О, у1 — уг ) О, причем обратное преобразование Ф (у ) =1 ("'2"') Фг(у1,уг) =~ ( — "',"') 273 б.7.
Реявшие типовых примеров имеет непрерывные частные производные и якобиан 1 1 91+Уз 91+Уг 1 1 91-Уг 91 Уг 91 Уг Поэтому Р1ьъе(91~9г) =Рхьхе(Ф1(91~9г)~Фг(91~9г))!4~ = О, (91 Уг)ФЮ' 2 г ~ (91 Уг) ЕВ я(1п (~' «')+1в~(»вЂ” ~)+1) (уг — угг) Пример 6.31. Двумерная случайная величина (Х1, Хг) распределена равномерно в круге Р, определяемом неравенством хг1+ (хг — 1)г < 1 (рис. 6.15). Найдем совместную ~лотность распределения случайных величин 1'~ =Х1+Хг и Ъ'г =Х1 — 2Хг+3 Совместная плотность распределения двумерного случайного вектора (Х1, Хг) имеет вид / О, (х1, хг) фЮ; Линейное преобразование 111(х1,хг) = х1+хг, уг(х1,хг) = х1 — 2хг+3, д 1 — Ф1(91,9г) = оУ1 91+ Уг д 1 — Фг(91,9г) = д91 91-9 д 1 — Ф1(91 Уг) = д»г 91 + Уг д 1 — Ф1(91,9г) =- дУг У1 — Уг 274 6. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН в матричной форме имеет вид У(х) — хВ+ с,  —, с — (О, 3), /1 где  — невырожденная матрица. Это преобразование осу1це.
ствляет отображение круга Р в множество Р' (рис. 6.16) точек внутри эллипса с центром в точке 0(1;1), задаваемого уравне- 5у1з+ 2у1уз+ 2уз~ — 12у1 — буз = О. Рие. 6.16 Рис. 6.16 Нетрудно подсчитать, что йе1 В = -3. Обозначая В = В 1 обратную к В матрицу, получаем 1 ) О (у1 уэ) к р 1 ~ае1В~ ~ 11(3„) (у, у,) ~Р Пример 6.32. Пусть Х = (Х1, Хэ, Хз) — тирехмерныб саучайнмб аеноьор, распределенный по нормальному закону 275 6.1. Решение типовых прпыероп с вентпором средних значений ейо = (2, -1, 0) и матрицей новариаиий 3/2 1/2 1/2 Ех 1/2 3/2 1/2 1/2 -1/2 1 Найдем вектор средних значений ей -.
и матрицу ковариаций Ер случайного вектора У = ХВ+ 4 где 1 2 1 В= 0 1 0 и сее( 3,-2 0). 2 -1 0 Имеем 1 0 2 3/2 1/2 1/2 Ер В ЕхВ 2 1 1 1/2 3/2 -1/2 х 1 0 0 1/2 -1/2 1 х 0 1 0 = 2 19/2 3 1 2 1 тйр=йоВ+сш(2, -1,0) О 1 0 + 2 -1 0 + (-3, -2, 0) = (-1, 1, 2). Пример 0.33. Пусть Х = (Хм Хз, Хз) — трехмерный случайный вектор — имеет нормальное распределение с вектором средних значений ей о = (3, 1, 2) и матрицей ковариаций Еош — 1 5 1 276 б. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Найдем вектор с и матрицу В линейного преобразования, переводюцего вектор Х в вектор 1', имеющий сшандаршное нормальное распределение. Запишем квадратичную форму Ех(х), соответствующую матрице Ео.
Е о(х) = хг1 — 2х1хг + 2х1хз + бхгг + 2хгхз + Зхз. Воспользовавшись методом Лагранжа выделения полных ква- дратов, получим ЕЯ(х) = (х1 — хг+хз) +4хг+4хгхз+2хз = = (х1 — хг+хз) +(2хг+хз) +х3 = З1 +яг+яз. г г г г г г где З1 =Х1 — Хг+ХЗ,' зг = 2хг + хз, ЗЗ = хз. Значит, В '= О 2 1, В= О 1/2 -1/2 Вектор с задается равенством 1 1/2 -3/2 с=-(3, 1, 2) О 1/2 -1/2 =(-3, -2, 3). О О 1 Пример 6.34. Для определения абсолютного значения скорости движущейся в пространстве частицы были замерены ее составляющие (получены значения Х1, Хг и Хз).
Абсолютное 6.7. Репииие типовых примеров значение скорости У вычислялось по формуле Х +Х +Хзх. Считая, что результаты измерений представляют собой независимые нормально распределенные случайные величины и отсутствуют систематические погрешности, причем средние квадратичные отклонения ~т1, оз и из малы по сравнению с истинными значениями составляющих там хпз и тпЗ, НайдЕм раС- пределение полученного абсолютного значения скорости У. Из условия задачи следует, что измеренные параметры представляют собой трехмерный случайный вектор Х = = (Х1, Хз, Хз), распределенный по нормальному закону с вектором средних значений тох = (тп11 таз таз) и матрицей ковариаций <тз О 0 о 3 о о о 4 Ех = а полученное абсолютное значение скорости У является (ска- лярной) функцией от вектора Х.
Для нахождения распределения У воспользуемся методом линеаризации. Тогда полученное абсолютное значение скорости У распределено приближенно по нормальному закону со средним значением =х(~х)=~/ ~+ ,'+ ,'. 278 б. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Для определения дисперсии нормального закона вычислим ма трицу частных производных ~~=яд=( — ~щ~ )= — х1+ хг+ хз~я=,у, г г г д*, 2 2 21 дхг — Х1 + Х2 + Хз~бю1В л д дхз д х1+ 2+хз!лаем ня+ ч~ "з~я~ ПЪ2 «Я +~~ +~~ тз „Я +з1 + ~ Имеем т.
=в'я~в= -( Ятв1+~й Ям33ь7 Ятй+Рз ~Я ь~Яг ~ +~Я~ 1пг х О пгг О „Я3в1 +Я 1ПЗ ~Я +51 +й7 П1 1П1 + П2 Пг + П31ПЗ г г г 2 г г Еу = п2+ пг+ п2 Перемножая матрицы, находим, что дисперсия нормального за- кона, приближенно описывающего распределение полученного абсолютного значения скорости У, определятся формулой 279 Волросы я задачи Вопросы и задачи 6.1. Как могут быть связаны между собой случайные величины7 6.2.
Что называют функцией от одномерной случайной величины? 6.3. Как найти ряд распределения функции от дискретной случайной величины? 6.4. Как найти функцию распределения функции от непрерывной случайной величины? 6.5. Как найти плотность распределения монотонной функции от непрерывной случайной величины? 6.6. Как найти плотность распределения кусочно монотонной функции от непрерывной случайной величины? 6.7. Как найти плотность распределения линейной функции от непрерывной случайной величины? 6.8. Как найти ряд распределения скалярной функции от дискретного случайного вектора? 6.0. Как найти функцию распределения скалярной функции от случайного вектора? 6.10.
Что называют сверткой (композицией) плотностей распределения случайных величин? 6.11. Как найти функцию распределения векторной функции от случайного вектора7 6.12. Как изменится плотность распределения векторной функции от случайного вектора при линейном преобразовании? 6.13. Какое распределение имеет случайный вектор, полученный из нормально распределенного случайного вектора с помощью линейного преобразования? 280 б. ФУНКЦИИ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 6.14.
Как изменяются вектор средних и матрица ковариаций нормально распределенного случайного вектора при линейном преобразовании? 6.15. Какими параметрами определяется общий нормальный закон? В каком случае нормальный закон называют вырожденным? 6.16. Какими свойствами обладает ковариационнзя матрица общего нормального закона? 6.17. Какая связь существует между нормально распределенным случайным вектором и случайным вектором, распределенным по стандартному нормальному закону? 6.16. В чем заключается метод линеаризации? Когда его можно применять'? 6.10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
