XVI_Terver (969543), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Пример 7.1. Пусть Х вЂ” число угаданных номеров в „Спортлото 6 из 49" (см. пример 6.4). В соответствии с рядом распределения в табл. 6.3 имеем МХ = 0 рв+1 р1+3 рз+4 ре+5.рв+ +6 рв-0 ° 0,436+1 0,413+2 О,'1324+3 0,0176+ +4 0,00097+5 1,8 10 ~+6 7.10 в 0,735. Таким образом, среднее число угаданных номеров равно 0,735. Ю вЂ” ! 0047 7.к матеиатачееаое оиилаиие еаучайиой аеаичииы 291 Пример Т.Ь. Положительная целочисленная случайнал величина Х имеет закон распределения, задаваемый выражением р;=Р(Х=1) =, 1=1,2,... 1 1(1+1) ' Тогда 00 00 ° СО и, значит, математическое ожидание случайной величины Х не существует. Определение Т.2.
Мапаемапаическим оэкиданнем (средним значением) МХ непрерывной случайной величины называют интеграл МХ = хр(х) дх. При этом предполагается, что +оо ~х~р(х) Их < +со, т.е. несобственный интеграл [ 17Ц, определяющий математическое ожидание, сходится абсолютно. Заметим, что определение 7.2 является естественным обобщением определения 7.1, так как для непрерывной случайной величины с плотностью распределения р(х) Р(х < Х < х+ Ьх) - р(х)дх.
Так же как и в дискретном случае, математическое ожидание непрерывной случайной величины можно интерпретировать как центр масс стержня, плотность массы которого в точке х равна р(х). ни 292 7. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН П имер 7.6. Найдем математическое ожидание равномерно распределенной на отрезке [а, Ь] случайной величины Х. Поскольку в этом случае р(х) = 0 при х < а и х ) 6, то +00 х 1 1 з з Ь+а МХ= хр(х)ахсО 6 ах= 6 2(Ь вЂ” а ) = Как и следовало ожидать, МХ совпадает с серединои отрезка [а, 6). Пример Т.Т.
Найдем математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по нормальному закону с параметрами т и сг: +СО +СО Г * <.,,СД..., МХ= ху, (х)дхсО у — е юХх. СΠ— 00 Делая замену у = (х — т)/о, получаем +00 +00 МХ= ~ е "/за = / — е гг/Сау+ 00 — СО +00 +00 +т — е "/ ду Ос — уе " ~~ду+т со(у)ду. ~/2~г ~/2~г / Первый интеграл равен нулю в силу нечеткости подынтегральной функции, а второй равен единице как интеграл от стандартной нормальной плотности. Таким образом, МХ=т, т.е.
параметр т им имеет смысл математического ожидания случайной величины Х (см. 4.6). Т.1. Математическое ои илаиие саучайиой аеличииы 293 Пример 7.8. Пусть Х вЂ” случайная величина, имеющая распределение Вейбрало (см. 4.6). Тогда, поскольку р(х) =О при х<О, то МХ = хр(х) Нх = ссВхле акоех. Делая замену р = ахр, получаем МХ = ре оа '/др'lд ' Ь = о Г1 '/~ 1 'lре Ч„=са-'IДГ~~ +1 Пример 7.9.
Математическое ожидание случайной величины Х, имеющей гамма-распределение, задается выражением Г Лчхч л МХ= / — е *ех. 1 г(7) о Делая замену р = Лх, получаем МХ= — / у "е "Ир= 1 Г Г(7+1) 7 лг(7) / лг(7) л' о что следует из свойства гамма-функции Эйлера: Г(7+1) = 7Г(7). 294 7. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Пример 7.10. Случайная величина Х имеет распределение Коши, т.е. распределение с плотностью 1 р(х) = Тогда [х[Их я(1+ хг) поскольку подынтегральная функция эквивалентна 1/(ях) при х + +ос.
Поэтому математическое ожидание случайной величины Х не существует. Замечание 7.1. В общем случае математическое ожидание случайной величины задается выражением МХ = хаг (х), где г (х) — фуккцол распреде.юекил случайной величины Х, а интеграл понимают в смысле Римана — Стилтьеса [ХЦ. Поскольку мы рассматриваем только дискретные и непрерывные случайные величины, последнее выражение можно трактовать как обобщенную запись формул для математических ожиданий дискретной и непрерывной случайных величин.
7.2. Математическое ожидание функции от случайной величины. Свойства математического ожидании Прежде чем переходить к описанию свойств матлематвического охсидакил случайной величины, позволяющих, как будет видно иэ примеров, в ряде случаев существенно упростить 7.2. Математическое оиилааие фувкваи от сеучаивой аеаичивы 295 его вычисление, определим математическое ожидание функции случайной величины (случайного вевчаора).
Итак, пусть У=У(Х) рв — Р(Х = хв) и ее математическое ожидание определяется формулой МУ = МУ(Х) = ~~) У(х;)р;. «=1 (7.1) Если же величина Х принимает счетное число значений, то математическое ожидание У определяется формулой МУ = МУ(Х) = ~~) У(х;)р;, (7.2) но при этом для существования математического ожидания требуется абсолютная сходимость соответствующего ряда (1Х], т.е. выполнение условия ~~> ~У(х;)~р; < +со.
в=1 (7.2) Пример 7.11. Определим математическое ожидание выигрыша У в „Спортлото б из 49" (см. пример 6.4). Поскольку является функцией от случайной величины. Для определения МУ = МУ(Х) можно было бы сначала по формулам из 6.2 найти распределение случайной величины У и затем уже, воспользовавшись определением 7.1 или 7.2, вычислить МУ. Однако мы применим другой, более удобный подход. Рассмотрим сначала дискретную случайную величину Х, принимающую значения х~,...,хо.
Тогда случайная величина У = У(Х), как мы уже знаем, принимает значения У(х~), ..., У(х„) с вероятностями 296 7. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН У является функцией от случайной величины Х вЂ” числа уга- данных номеров, то, воспользовавшись формулой для матема- тического ожидания функции от случайной величины и рядом распределения (см. табл. 6.3), получим МУ = М(Х) = У(0)Р(Х = 0)+ У(1)Р(Х = 11+ +У(2)Р(Х = 2)+У(3)Р(Х = 3)+У(4)Р(Х = 4)+ + У(5) Р(Х = 5) + У(6) Р(Х = 61 и в — 0,3 (0,436+0,413+0,1324)+2,7 0,0176+ +54,7 0,00097+699,7 2 10 ~+9999,7 7 10 в -0,179.
Для непрерывной случайкой величпкы Х, имеющей плошпосшь расцределеппл р(х), математическое ожидание случайной величины У = У(Х) можно найти, используя аналогичную (7.3) формулу М = МУ(Х) = У(х)р(х) йх, (7.4) причем и здесь требуется выполнение условия ~У(х) ~р(х) ох < +со. В дальнейшем, чтобы каждый раз не оговаривать условие существования математического ожидания, будем предполагать, что соответствующие сумма или интеграл сходятся абсолютно. Таким образом, математическое ожидание выигрьппа отрицательно и равно примерно 18 к., а это означает, что играющий в среднем проигрывает больше половины стоимости билета (30 к.). Естественно, мы получим то же значение МУ, если воспользуемся рядом распределенил случайной величины У, представленным в табл.
6.5. ф 7.2. Мэтематичесиое оиилвиив функции от саучвйиой веаичииы 297 Аналогично можно вычислить математическое ожидание фуннннн от многомерной случайной величины. Так, математическое ожидание МУ функции У = У(Хм Хз) от дискретной двумерной случайной велнчнны (Хы Хз) можно найти, воспользовавшись формулой МУ = МУ(ХыХз) = ЯУ(х;,уу)р|у, где р; = Р(Х1 = х;, Хз = у ), а функции У = У(Хы Хз) от двумерной непрерывной случайной величины (Хм Хз) — формулой МУ = МУ(ХыХз) = У(х,у)рхьх,(х,у)дхду, (7.5) где рты,(х, у) — совместная плотность распределения случайных величин Х1 и Хз. Докажем теперь теорему о свойствах математического ожидания.
Теорема 7.1. Математическое ожидание удовлетворяет следующим свойствам. 1. Если случайная величина Х принимает всего одно значение С с вероятностью единица (т.е., по сути дела, не является случайной величиной), то МС = С. 2. М(аХ+Ь) =аМХ+Ь, где а, Ь вЂ” постоянные. 3. М(Х1+Хз) = МХ~+МХз.
4. М(Х1Хз) = МХ1 МХз для независимых случайных величин Х1 и Хз. ч Если случайная величина Х принимает всего одно значение С с вероятностью единица, то МС=С 1=С, откуда следует утверждение 1. Доказательство свойств 2 и 4 проведем для непрерывных случайных величин (для дискретных случайных величин пред- 298 7. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН лагаем читателю провести самостоятел ), ьно) а свойство 3 дока- жем для дискретных случайных величин (для непрерывных— доказать самостоятельно). Найдем математическое ожидание случайной вели ичины У = = аХ + Ь (У(х) = ах + Ь): +оо МУ = М(аХ+ 6) = (ах+ 6)рх(х)оЬ = +оо +оо =а хрх(х)ах+6 рх(х)дх=аМХ+Ь 1, оо — оо т.е. приходим к утверждению 2. Пусть теперь У =Х1+Хз (У(хмхз) =х1+хо). Тогда МУ =М(Х1 +Хо) = ~~> (х;+у )р; = 17 = ~~х;р; +~ уур; =~~> х;~ рИ+Яру~) р; = в,у в,у 1 3 1 =Ях1рх,*+~~ 91рх,,у=МХ1+МХз, и, значит, утверждение 3 доказано.
(воспользовавшись формулой 7.5 и теоремой 5.3) имеем: +оо+оо МУ = М(Х1Хз) = х1хзрх„х,(хмхз) йх1йхз = +оо+оо х1хзрх, (х1)рх,(хз) Их1~1хг = +оо +оо х1рх, (х1) Их1 хгрх,(хз) Ихз = МХ1МХз. 7.2. Математическое ожидавяе фувкянн от случайной вевячвям 299 Замечание Т.2. В соответствии с ранее принятым соглашением в теореме 7.1 предполагается, что математические ожидания случайных величин Х, Хг и Хг существуют.
Однако математическое ожидание суммы случайных величин может существовать даже тогда, когда математические ожидания обоих слагаемых не существуют. Так, М(Х вЂ” Х) =МО = О несмотря на то, что МХ может и не существовать. Очевидно также, что свойство 3 можно обобщить на случай произвольного числа слагаемых, т.е. М(Х +... +Х„) = МХ„+... +МХ„. Замечание Т.З.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
