Лекции по алгебре (968698)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

lekciipo algebrelEKTOR a w mIHAL<W—1..KURS, 1 POTOK, 2001 GODwERSIQ KOMPLEKTA LEKCIJ: 1.6 finalw KOMPLEKTE LEKCII: 7–10,13,16-17,19pOSLEDNEE OBNOWLENIE: 28.11.2001|TOT TEKST SKA^AN S SAJTA:http://mmresource.narod.ru/wSE LEKCII NABIRALISX PO KONSPEKTAM LEKTORA,NO TEM NE MENEE \TO WOWSE NE ISKL@^AET OPE^ATKII PROSTO O[IBKI! eSLI WY ^TO-TO TAKOE OBNARUVITE,PI[ITE NA mmresource@narod.ruuSPE[NOJ WSEM SESSII :-)1lEKCIQ 7lekciqlINEJNOE PROSTRANSTWO Mm,n (R)http://mmresource.narod.ru/7.1OKTQBRQ 2001 G.PRQMOUGOLXNYH MATRIC RAZMERA m × n.~EREZ M (R) OBOZNA^IM SOWOKUPNOSTX WSEH PRQMOUGOLXNYH MATRIC NAD R FIKSIROWANNOGO RAZMERA m×nDLQ KRATKOSTI OBOZNA^ENIQ, M (R) = M (R) — SOWOKUPNOSTX WSEH KWADRATNYH (n, n)-MATRIC). kAK DLQPROSTRANSTWA STROK R = M (R) I DLQ PROSTRANSTWA STOLBCOW Rb = M (R), TAK I DLQ DLQ M (R)OPREDELENY OPERACII SLOVENIQ MATRICC = A + B (c = a + b DLQ KAVDOGO MESTA (i, j))I UMNOVENIQ MATRICY NA ^ISLO c ∈ RD = cA (d = ca DLQ KAVDOGO MESTA (i, j)).kAK I DLQ SOWOKUPNOSTI STROK R = M (R), TAK I DLQ M (R) NEPOSREDSTWENNO PROWERQETSQ WYPOLNENIEWSEH AKSIOM I-III LINEJNOGO PROSTRANSTWA (W ^ASTNOSTI: NEJTRALXNYM \LEMENTOM W M (R) BUDET NULEWAQMATRICA 0 S NULQMI NA WSEH MESTAH; −A = (−1)A).eSLI A = (a ) ∈ M (R) I B = (b ) ∈ M (R), TO MY OPREDELILI IH PROIZWEDENIEm,n(nnn,nn1,nijijijnn,1m,nijij1,nm,nm,nijr,mijm,nAB = U = (uij ) ∈ Mr,n (R),POLAGAQ u = P a b (T.E.

\LEMENT MATRICY AB, STOQ]IJ NA PERESE^ENII i-J STROKI I j-GO STOLBCAPOLU^AETSQ ”UMNOVENIEM” i-J STROKI (DLINY m) MATRICY A I j-GO STOLBCA (DLINY m) MATRICY B).tAKIM OBRAZOM, USLOWIE WOZMOVNOSTI PEREMNOVITX DWE PRQMOUGOLXNYE MATRICY A I B ZAKL@^AETSQ WTOM, ^TO DLINA STROK LEWOGO MNOVITELQ A SOWPADAET S DLINOJ STOLBCOW PRAWOGO MNOVITELQ B.milik klk=1pRIMERYPROIZWEDENIQAB.µ¶ µ WY^ISLENIQ¶ µ¶1)10m12) ( k1 ,3)pUSTX1 n1 m+n=, m, n ∈ Z.0 101 l1.. .

. , kn )  ..  = (k1 l1 + . . . + kn ln ) ∈ M1 (R).ln1 0 ... 00 1 ... 0Er =  ... ... . . . ...  ∈ Mr (R) (EDINI^NAQ MATRICA RAZMERA r × r), A ∈ M0 0...r,m (R),TOGDA E A = A,r1w ^ASTNOSTI, ESLI E = E , A ∈ M (R), TO EA = A = AE.oBOZNA^IM ^EREZ E MATRICU, W KOTOROJ NA PERESE^ENII i-J STROKI I j-GO STOLBCA STOIT 1, A NA WSEHOSTALXNYH MESTAH STOIT 0. tOGDA W M (∈ R) IMEEM:½E , ESLI j = kE E =0 (NULEWAQ MATRICA) , ESLI j 6= k½1, ESLI j = k(ILI E E = δ E , GDE δ =— SIMWOL kRONEKERA).0, ESLI j 6= kAEm = A.4)nnijnilijijkljkilkljkwAVNYE SLEDSTWIQ:sLEDSTWIE 1.

tAK KAK PRI n ≥ 2 W M (R) EE = E 6= 0 = E E , TO:UMNOVENIE MATRIC NEKOMMUTATIWNOB IME@TSQ DELITELI NULQ (NENULEWYE \LEMENTY, PROIZWEDENIE KOTORYH RAWNO NUL@).zADA^A. nAJTI W M (R) WSE DELITELI NULQ. tO^NEE, DOKAZATX, ^TO DLQ A ∈ M (R) SLEDU@]IE USLOWIQRAWNOSILXNY:1) AX = 0 DLQ 0 6= X ∈ M (R);2) Y A = 0 DLQ 0 6= Y ∈ M (R);n11121212111a)1 )nnnn3) |A| = 0.2lEKCIQ 7http://mmresource.narod.ru/sLEDSTWIE 2. pUSTX i 6= j, c ∈ R, I e= E + cE ∈ M (R) (W \TOJ MATRICE, W OTLI^IE OT EDINI^NOJMATRICY, NA MESTE (i, j) WNE DIAGONALI STOIT 1). qSNO, ^TO |e | = 1.2A) eSLI e ∈ M (R) I A ∈ M (R), TO MATRICA A = e A POLU^AETSQ IZ MATRICY A \LEMENTARNYMIPREOBRAZOWANIQMI STROK 1-GO TIPA A = A + cA .2B) eSLI e ∈ M (R) I A ∈ M (R), TO MATRICA A = Ae POLU^AETSQ IZ MATRICY A \LEMENTARNYMIPREOBRAZOWANIQMI STOLBCOW 1-GO TIPA Ab = Ab + cAb .sLEDSTWIE 3.

pUSTX i 6= j I t — MATRICA, POLU^ENNAQ IZ EDINI^NOJ MATRICY E ∈ M (R)PERESTANOWKOJ i-J I j-J STROK (ILI, ^TO TO VE SAMOE, PERESTANOWKOJ i-GO I j-GO STOLBCOW). qSNO, ^TO |t | = −1.3A) eSLI t ∈ M (R) I A ∈ M (R), TO MATRICA A = t A POLU^AETSQ IZ MATRICY A \LEMENTARNYMPREOBRAZOWANIEM STROK 2-GO TIPA: A = A , A = A .3B) eSLI t ∈ M (R) I A ∈ M (R), TO MATRICA A = At POLU^AETSQ IZ MATRICY A \LEMENTARNYMPREOBRAZOWANIEM STOLBCOW 2-GO TIPA: Ab = Ab , Ab = Ab .sLEDSTWIE 4. pUSTXcijcijmcijm,n0imm,nijncijcij0ij0j0jcijiijijmij0jjiji0m,n0imij0m,n0imm0jjijiλ1 0d(λ1 , .

. . , λm ) =  ...0λ2............00...00 ∈ Mm (R) —.. . λmDIAGONALXNAQ MATRICA S \LEMENTAMI λ , λ , . . . , λ ∈ R NA DIAGONALI.qSNO, ^TO |d(λ , . . . , λ )| = λ λ · . . . · λ .4A) eSLI d(λ , . . . , λ ) ∈ M (R) I A ∈ M (R), TO111m21 2mmmmm,nλ 1 A1 λ 2 A2 d(λ1 , . . . , λm )A =  ...  —λ m AmMATRICA, POLU^AEMAQ IZ MATRICY A UMNOVENIEM STROK A , . . .

, A , SOOTWETSTWENNO, NA ^ISLA λ , . . . , λ4B) eSLI d(λ , . . . , λ ) ∈ M (R) I A ∈ M (R), TO MATRICA11nnmm.1m,n¡b1Ad(λ1 , . . . , λn ) = λ1 Ab2λ2 A...bnλn A¢—MATRICA, POLU^AEMAQ IZ MATRICY A UMNOVENIEM STOLBCOW Ab , . . . , Ab , SOOTWETSTWENNO, NA ^ISLA λ , . . .

, λ .w ^ASTNOSTI, UMNOVENIE SLEWA MATRICY A NA MATRICU d(1, . . . , λ = c, . . . , 1), c 6= 0, RAWNOSILXNOPRIMENENI@ K STROKAM MATRICY A \LEMENTARNOGO PREOBRAZOWANIQ 3-GO TIPA A = cA (UMNOVENIE SPRAWANA MATRICU TAKOGO TIPA DA<T PRIMENENIE \LEMENTARNOGO PREOBRAZOWANIQ 3-GO TIPA K STOLBCAM MATRICY A).zAME^ANIE. qSNO, ^TO λE = d(λ, . .

. , λ) I (λE)A = λA = A(λE) DLQ E = E , A ∈ M (R), T.E. SKALQRNAQMATRICA λE PERESTANOWO^NA S L@BOJ DRUGOJ MATRICEJ IZ M (R).zADA^A. pUSTX Z(M (R)) = {A ∈ M (R)|AB = BA ∀B ∈ M (R)} tOGDA A ∈ Z(M (R)) W TOM I TOLXKO WTOM SLU^AE, KOGDA A = λE , λ ∈ R.sLEDSTWIE 5 (MATRI^NAQ ZAPISX SISTEMY LINEJNYH URAWNENIJ).dLQ SISTEMY LINEJNYH URAWNENIJ1n1i0ininnnnnnnn a11 x1 + .

. . + a1n xn = b1...am1 x1 + . . . + amn xn = bmx1., X =  .. xn,WOZMOVNA MATRI^NAQ ZAPISX AX= B, GDE A = (a ) — (m, n)-MATRICA KO\FFICIENTOWb.— STOLBEC NEIZWESTNYH, B =  ..  ∈ M (R) — STOLBEC SWOBODNYH ^LENOW. tAKIM OBRAZOM STOLBEC   kkbb... ..

 ∈ M (R) — RE[ENIE SISTEMY LINEJNYH URAWNENIJ, ESLI A  ..  =  .. .ij1m,11m11knbm1,nkn3lEKCIQ 7http://mmresource.narod.ru/tEOREMA (OB ASSOCIATIWNOSTI PROIZWEDENIQ MATRIC).pUSTX A = (a ) ∈ M (R), B = (btOGDA (AB)C = A(BC).dOKAZATELXSTWO 1. pUSTXijij )r,m∈ Mm,n (R), C = (cij ) ∈ Mn,p (R).U = AB = (uij ) ∈ Mr,n (R),V = BC = (vij ) ∈ Mm,p (R),S = (AB)C = U C = (sij ) ∈ Mr,p (R),T = A(BC) = AV = (tij ) ∈ Mr,p (R).tAK KAK uilmP=aik bkl , vkj =k=1nPbkl clj ,l=1TOsij =tij =nXl=1mXuil clj =aik vkj =n XmXl=1 k=1m XnXaik bkl cljaik bkl cljk=1 l=1k=1DLQ WSEH (i, j), T.E.

S = T (S U^<TOM PEREMENY PORQDKA SUMMIROWANIQ).dOKAZATELXSTWO 2. pUSTX W DIAGRAMME¤C bn B bm A brb p −→RR −→ R −→ RCBALINEJNYE PREOBRAZOWANIQ A, B, C OPREDELENY, SOOTWETSTWENNO, MATRICAMIASSOCIATIWNOSTI PROIZWEDENIQ OTOBRAVENIJ)A, B, C.tOGDA (W SILU(AB)C = A(BC).wY^ISLQQ MATRICU \TOGO LINEJNOGO PREOBRAZOWANIQ (W SILU TEOREMY O MATRICE PROIZWEDENIQ LINEJNYHPREOBRAZOWANIJ), POLU^AEM, ^TO(AB)C = A(BC).¤sLEDSTWIE. sOWOKUPNOSTX KWADRATNYH (n × n)-MATRIC M (R) OTNOSITELXNO OPERACII UMNOVENIQQWLQETSQ MONOIDOM (T.E.

OPERACIQ UMNOVENIQ OPREDELENA NA M (R), ASSOCIATIWNA I OBLADAET NEJTRALXNYM\LEMENTOM E = E ).tEOREMA (O DISTRIBUTIWNOSTI UMNOVENIQ MATRIC).pUSTX C = (c ) ∈ M ; A = (a ), B = (b ) ∈ M (R); D = (d ) ∈ M (R). tOGDA C(A + B) = CA + CBW M (R); (A + B)D = AD + BD W M (R).dOKAZATELXSTWO. dEJSTWITELXNO, DLQ L@BOGO MESTA (i, j) IMEEMnnnijr,mijijr,nm,nijn,pm,pmXcik (akj + bkj ) =k=1nX(ail + bil )dlj =l=1mXcik akj +mXk=1nXk=1nXl=1k=1ail dlj +cik bkjbil dlj ,^TO DOKAZYWAET NA[I UTWERVDENIQ. ¤sLEDSTWIE.

dLQ L@BYH KWADRATNYH MATRIC A, B, C ∈ M (R) IMEEMn(A + B)C = AC + BCC(A + B) = CA + CB.4lEKCIQ 7http://mmresource.narod.ru/iTOGOWAQ TEOREMA OB ALGEBRE MATRIC.sOWOKUPNOSTX PRQMOUGOLXNYH MATRIC M (R) RAZMERA m×n NAD R (W ^ASTNOSTI, KWADRATNYE MATRICYOBRAZUET OTNOSITELXNO OPERACII SLOVENIQ ABELEWU (KOMMUTATIWNU@) GRUPPU, T.E.OPERACIQ SLOVENIQ ASSOCIATIWNA;OPERACIQ SLOVENIQ KOMMUTATIWNA (T.E. A + B = B + A DLQ WSEH A, B ∈ M (R));SU]ESTWUET NEJTRALXNYJ \LEMENT 0 (NULEWAQ MATRICA);DLQ KAVDOJ MATRICY A ∈ M (R) SU]ESTWUET PROTIWOPOLOVNYJ \LEMENT −A = (−a ), T.E. A +I.Mn (R))1)10 )2)3)(−A) = 0 = (−A) + A.m,nm,nm,nijoPERACII UMNOVENIQ MATRICY A NA ^ISLO c ∈ R, A → cA, W MII.1) 1 · A = A;2) (c1 c2 )A = c1 (c2 A).m,n (R)oPERACII SLOVENIQ I UMNOVENIQ NA ^ISLA c ∈ R W MIII.1) c(A + B) = cA + cB;2) (c1 + c2 )A = c1 A + c2 A.m,n (R)UDOWLETWORQ@T USLOWIQM:UDOWLETWORQ@T USLOWIQM:tAKIM OBRAZOM, I, II, III OZNA^A@T, ^TO M (R) — LINEJNOE PROSTRANSTWO.IV.

s OPERACIQMI SLOVENIQ A + B I UMNOVENIQ AB SOWOKUPNOSTX KWADRATNYH MATRIC M (R) QWLQETSQKOLXCOM, T.E.1) PO SLOVENI@ — ABELEWA GRUPPA;2) PO UMNOVENI@ MATRIC — MONOID, T.E.2A) UMNOVENIE MATRIC ASSOCIATIWNO, T.E. (AB)C = A(BC) DLQ L@BYH A, B, C ∈ MT (R);2B) EDINI^NAQ MATRICA E QWLQETSQ NEJTRALXNYM \LEMENTOM DLQ OPERACII UMNOVENIQ, T.E. AE = EA = ADLQ WSEH A ∈ M (R);3) oPERACII SLOVENIQ I UMNOVENIQ MATRIC UDOWLETWORQ@T ZAKONAM DISTRIBUTIWNOSTI:3A) (A + B)C = AC + BC;3B) C(A + B) = CA + CB.V. s OPERACIQMI SLOVENIQ A+B I UMNOVENIQ AB MATRIC I OPERACIQMI UMNOVENIQ cA MATRICY NA ^ISLOc ∈ R KWADRATNYE MATRICY M (R) QWLQ@TSQ ALGEBROJ, T.E.1) KOLXCOM (OTNOSITELXNO SLOVENIQ I UMNOVENIQ MATRIC);2) LINEJNYM PROSTRANSTWOM (OTNOSITELXNO SLOVENIQ MATRIC I UMNOVENIJ MATRICY NA ^ISLO)I DOPOLNITELXNO:3) (cA)B = c(AB) = A(cB) DLQ c ∈ R, A, B, C ∈ M (R).dOKAZATELXSTWO SWOJSTWA V.3.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций